Full transcript
0:06हेलो 10th क्लास। इस वीडियो में हम अपनी
0:08आज की क्लास कंटिन्यू करेंगे।
0:10ट्रिग्नोमेट्री चैप्टर हमने स्टार्ट करा
0:12हुआ था। आइडेंटिटी बेस्ड क्वेश्चन है
0:14प्रूफ करने का। sec की पावर 4 थीटा - sec²
0:18थीटा = tan की पावर 4 थीटा + tan² थीटा।
0:22बेटा क्वेश्चन दोनों एंड से सॉल्व किया जा
0:24सकता है। चाहे आप लेफ्ट हैंड साइड से
0:26स्टार्ट कर लो, चाहे राइट हैंड साइड से
0:27स्टार्ट कर लो। बोथ वेज़ क्वेश्चन को सॉल्व
0:30करना आपका पॉसिबल रहेगा। जिस मर्जी साइड
0:32से आप इसको ट्राई कर लीजिए। बोथ वेज़ हो
0:35जाएगा क्वेश्चन सॉल्व। ठीक है जी? अब
0:40ये देखो सॉल्यूशन
0:43हम स्टार्ट करेंगे अपनी लेफ्ट हैंड साइड
0:46से।
0:47क्वेश्चन आपका ये रहा। अब लेफ्ट हैंड साइड
0:51स्टार्ट करते हैं। लेफ्ट हैंड साइड पे
0:52क्या लिखा हुआ है? sec की पावर 4 थीटा -
0:57sec² थीटा
0:59बेटा मुझे एक बात बताओ अगर यहां पर ऐसे
1:02लिखा होता कुछ x 4 - x² तो क्या करते x²
1:07को कॉमन लेते ना x² को ऐसे केस में आप
1:10कॉमन लेते ना वही सेम चीज आपने यहां पे भी
1:13करनी है। कॉमन लीजिए भाई
1:16इन दोनों में से जो छोटी चीज है वो आपकी
1:19क्या आ जाएगी? कॉमन आ जाएगी। इन दोनों में
1:21से जो आपकी छोटी चीज है वह कॉमन आएगी।
1:24दोनों में से छोटा कौन है? sc² sc² थीटा
1:30को कॉमन ले लीजिए। sec की पावर 4 में से
1:33sec² चला गया तो बचेगा sec² थीटा माइनस
1:37sc² में से sc² गया तो क्या बचेगा? वन।
1:40इसके बाद और आप क्या कर सकते हैं यहां पर?
1:44इस क्वेश्चन के अंदर वंस आपका इतनी गेम
1:47होती है कंप्लीट। इसके बाद सोचो कोई ना
1:49कोई आइडेंटिटी तो बनेगी। कर ले sc² को चलो
1:52आपने अभी कुछ नहीं भी लिखना। इसको ऐसे ही
1:55रहने दो। चलो
1:57sec² थीटा बेटा sec² - 1 क्या होता है?
2:02आइडेंटिटी याद आई कोई sec² - 1 चलो हम
2:06अपना सेट देखते हैं। हमारी आइडेंटिटी होती
2:08है
2:10tan² थीटा + 1 = sec² थीटा। अगर मैं वन को
2:16उधर ले जाऊंगा। तो बनेगा tan² थीटा =
2:21sec² थीटा - 1
2:24तो ये जो sc² थीटा - 1 है इसको मैं क्या
2:29लिख सकता हूं यहां पर
2:32tan²
2:34थीटा अपने आइडेंटिटी वाले सेट टू से थोड़ा
2:37सा तो tan आ गया जो मुझे प्रूफ में चाहिए।
2:39अब tan ही चाहिए ना प्योरली एक आइडेंटिटी
2:42बेटा इस जगह पे लगा देते हैं हम इस जगह पर
2:47पहले यहां पर लगाई अब यहां पर लगाएंगे। इस
2:50जगह पर क्या आइडेंटिटी बन जाएगी?
2:53यह ऊपर वाली कि tan² थीटा + 1 होता है
3:00sec² थीटा। ऐसा कर लेते हैं हम। हमारा ये
3:04जो क्वेश्चन है ये कुछ ऐसा बनेगा।
3:08इस sec² को भी मैं बाद में लिख सकता हूं।
3:11ऐसे
3:14tan²
3:16थीटा
3:18+ 1 और बाहर क्या पड़ा हुआ है? tan²
3:24थीटा काफी मेरा क्वेश्चन tan tan में आ
3:27गया। अब बस एक लास्ट स्टेप करेंगे।
3:29ब्रैकेट्स ओपन करेंगे और बेटा और आपका
3:31आंसर आ जाएगा। जस्ट ब्रैकेट्स ओपन करिए।
3:34ये tan² जब tan² से मल्टीप्लाई होगा तो
3:37बनेगा tan की पावर 4 थीटा। फिर ये tan² जब
3:41वन से होगा तो बनेगा tan² थीटा। क्या यही
3:45आपकी राइट हैंड साइड थी? जरा चेक करना
3:47अपना क्वेश्चन। ये देखो
3:50यही तो राइट हैंड साइड थी। दैट इज़ योर
3:52आरएचएस। लास्ट में लिख दोगे। सिंस
3:56एलएचएस = आरएचएस।
3:59हेंस प्रूव्ड एक से दो नंबर का क्वेश्चन
4:03है। दो नंबर में बहुत बार ये आया हुआ है।
4:05इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है। ये इसमें करना
4:06होता है। बस आइडेंटिटी लगाइए। जेनुइनली
4:10ईजी क्वेश्चन था।
4:14आगे देखते हैं। अब
4:24अगला क्वेश्चन देखिए भाई। नेक्स्ट
4:26क्वेश्चन है। प्रूव दैट अंडर रूट के अंदर
4:28sec² थीटा + cosec² थीटा इक्वल टू बिना
4:32रूट के tan थीटा + cot थीटा। तो देखते हैं
4:35क्या बनता है इस क्वेश्चन में।
4:38इस क्वेश्चन को करने का ट्राई करते हैं।
4:40स्टार्ट में भी चलो हम ऐसा करते हैं। यहां
4:43पर ना मैं लेफ्ट हैंड साइड ही स्टार्ट
4:44करता हूं। अपनी लेफ्ट हैंड साइड से अपना
4:46सॉल्यूशन जो है इसको स्टार्ट कर लेते हैं।
4:49लेफ्ट हैंड साइड की वजह रीज़न क्या है?
4:52लेफ्ट हैंड साइड से स्टार्ट करने में ये
4:54फायदा होगा बेटा। मेरे को लेफ्ट हैंड साइड
4:55में दिख रही है आइडेंटिटी। और आइडेंटिटी
4:58दिखेगी स्क्वायर दिखेगा तो आइडेंटिटी लग
5:00ही जाएगी।
5:02तो लेट्स सी क्या बनता है।
5:05लेफ्ट हैंड साइड है रूट के अंदर sec² थीटा
5:11ये देखो
5:15रूट के अंदर sec² थीटा +
5:20cosec² थीटा हमने अपनी ट्रिग्नोमेट्री में
5:24एक चीज़ सीखी है भाई कि स्क्वायर दिखे तो
5:25क्या लगा दिया करो? आइडेंटिटी लगा दिया
5:27करो। तो sec² की जगह हम 1 + tan² लिख
5:32देंगे। आइडेंटिटी होती है और cosec² की
5:34जगह 1 + cot² लिख देंगे। ये भी क्या होती
5:37है? आइडेंटिटी होती है। बस रूट में इस
5:41sec² की जगह आ जाएगा 1 + tan² या tan² + 1
5:45जो भी आप लिखते हैं। प्लस में तो एक ही
5:46बात है। प्लस इस cosec² की जगह आ जाएगा
5:51cot² थीटा + 1। अगर मैं इसके अंदर से लाइक
5:55टर्म्स कंबाइन करूं तो ये 1 + 1 क्या बन
5:57जाएगा? टू
6:00रूट में 2 +
6:03tan² थीटा + cot² थीटा। अब बेटा एक गेम
6:07खेलनी पड़ेगी यहां पे बड़े ध्यान से। बहुत
6:09ध्यान से देखना। वेरीेंट क्वेश्चन है।
6:12अगर मैं इसको ऐसे लिख दूं तो क्या आपको
6:16कोई ऐतराज है? तो मेरे को बता दीजिए भाई।
6:18अगर मैं इसको कुछ इस प्रकार से लिखूं तो
6:20किसी को कोई ऐतराज टोटल तीन टर्म्स थी
6:23प्लस के अंदर टू था tan² था cot² था।
6:28मैंने इन्हें अभी भी प्लस में ही लिखा है।
6:30बस tan² और cot² को एक साथ लिख दिया। टू
6:32को अलग लिख दिया। इस क्वेश्चन में जो काम
6:35करोगे ना आप ये आपने पहले कभी किसी
6:36क्वेश्चन में नहीं करा। बहुत ध्यान से
6:38देखना ये चीज। यहां से इंपॉर्टेंट स्टार्ट
6:40हो रहा है।
6:41ऐसा करने का हमें बेनिफिट क्या मिलेगा
6:43भाई? अब एक चीज देखना। ये आपको विद टाइम
6:46विद प्रैक्टिस आने लग जाएगा।
6:50रूट के अंदर tan² ठीक है जी पड़ा हुआ है।
6:55cot² पड़ा हुआ है। टू पड़ा हुआ है। अगर मैं
7:00इस टू के साथ जबरदस्ती
7:03ये देखना है। मैं ब्लैक मार्कर से अभी लिख
7:05रहा हूं। मैं जबरदस्ती लिखूंगा। एक tan
7:08थीटा और एक cot थीटा लिख दूं। तो इसमें
7:12किसी को कोई प्रॉब्लम ना बोलना पक्का होगी
7:14प्रॉब्लम कि क्यों लिखा?
7:17पहली बात तो अगर मैं इसे लिख भी देता हूं
7:19ना तो भाई जी कोई फर्क ही नहीं पड़ेगा।
7:23फर्क क्यों नहीं पड़ेगा ऐसा लिखने से?
7:25क्योंकि tan और cot एक दूसरे के
7:27रेसिप्रोकल होते हैं। एक दूसरे को ये काट
7:29ही देंगे। अगर मैं tan * cot लिख भी देता
7:32हूं ना तो कोई फर्क नहीं पड़ेगा। क्यों
7:34नहीं पड़ेगा? क्योंकि cot को बेसिक्स में
7:361 / tan लिख सकते हैं। ये tan और cot आपस
7:40में कट ही जाते हैं। इसी तरीके से sin *
7:42cosec लिख दो तो कोई फर्क नहीं पड़ता। वन
7:44नहीं आएगा। sec * cos लिख दो तो कोई फर्क
7:47नहीं पड़ता। कट जाते हैं। रेसिप्रोकल हो
7:49के वन नहीं आएगा। चलो भैया ठीक है। सुन
7:51लिया। लिख सकते हैं। लिखा क्यों? बेटा
7:53इसको लिखने का एकमात्र वजह थी। ये
7:56आइडेंटिटी बन रही है। a²
7:58+ b² + 2 तो क्वेश्चन में था ही मेरे पास।
8:03अगर मैं ऐसे लिख देता हूं ना तो मेरे पे
8:05वो a * b वाली टर्म भी बन जाएगी। और मैं
8:08रिवर्स अपनी आइडेंटिटी लगा सकता हूं
8:10यूजिंग आइडेंटिटी।
8:12a² + b² + 2ab किसकी आइडेंटिटी होती है
8:15भाई? a + b केल स्क्वायर की। ये चीज अचीव
8:20करने के लिए मैंने जो करा है करा है भाई।
8:22अब देखो
8:24एक बार इतनी गेम होगी। मेरा क्वेश्चन क्या
8:26था? ये रूट में tan² रूट में cot² + 2 tan
8:30cot रूट के अंदर मेरा बन जाएगा
8:34a + b² यानी tan थीटा + cot थीटा का होल
8:38स्क्वायर स्क्वायर से रूट कट जाएगा मेरे
8:41पे आ जाएगा tan थीटा + cot थीटा और बेटा
8:45चेक करना मेरी राइट हैंड साइड यही थी क्या
8:47चेक करो राइट हैंड साइड क्या यही थी tan
8:51थीटा + cot थीटा ये चीज करी है भाई
8:54बहुतेंट क्वेश्चन था बड़े ध्यान से देखना
8:57जहांजिसको डाउट होगा बताना। वेरी गुड
8:59क्वेश्चन।
9:02फेक आइडेंटिटी क्रिएट करी इसके अंदर। हमने
9:04स्पेशल क्वेश्चन था। नेक्स्ट क्वेश्चन
9:06देखिए आप प्रूफ का। शायद आपको क्वेश्चन
9:09लिखते-लिखते पता लग जाए आप क्या करेंगे
9:11यहां पर। 1 + cos थीटा / 1 - cos थीटा - 1
9:17- cos थीटा / 1 + cos थीटा = 4 cot थीटा
9:26* cosec थीटा
9:30cosec थीटा cosec है बेटा ये
9:34अब एलएचएस देखें तो सबको शायद आईडिया हो
9:37रहा होगा क्योंकि मल्टीपल फ्रैक्शंस हैं
9:40बीच में प्लस या माइनस है तो क्या करते
9:42हैं? जी तो फ्रैक्शंस के बीच में प्लस या
9:44माइनस हो तो इतना पता है एलसीएम करते हैं।
9:47लेफ्ट हैंड साइड स्टार्ट करो और एलसीएम से
9:49ही देखते हैं क्वेश्चन। अपने पास ना एक
9:51काम करो क्वेश्चन नोट कर लो वरना बार-बार
9:53आपको स्क्रॉल करने में प्रॉब्लम होएगी।
9:55क्वेश्चन नोट कर लो।
9:57अब जब हम इसका एलसीएम लेंगे
10:01लेफ्ट हैंड साइड। दो अलग-अलग टर्म्स का
10:05एलसीएम क्या आता है? उनका मल्टीप्लाई तो
10:08डिनोमिनेटर में आपके पास आ जाएगा 1 -
10:13cos थीटा
10:161 + cos थीटा
10:23अब देखो भाई इसके पास इन दोनों में से
10:27क्या नहीं है 1 + cos थीटा उसको ऊपर 1 +
10:30cos थीटा से मल्टीप्लाई करेंगे तो बनेगा 1
10:33+ cos थीटा का होल स्क्वायर आगे आगे माइनस
10:36का साइन है। आप भी लगा देना। इसके पास इन
10:39दोनों में से क्या नहीं है? 1 + cos 1 -
10:41cos में से 1 - cos 1 - cos को ऊपर 1 -
10:45cos से मल्टीप्लाई करेंगे तो बन जाएगा 1 -
10:48cos थीटा का होल स्क्वायर। क्वेश्चन में
10:51खास चीज क्या है बेटा? तीनों अलजेब्रा की
10:53आइडेंटिटीज़ लगेंगी। तीनों
10:56थ्री आउट ऑफ थ्री आइडेंटिटीज़ जो होती है
10:58अलजेब्रा की वो एक कल्ला क्वेश्चन आपको
11:00दिखा देगा। कैसे दिखाएगा? ये देखो।
11:04यहां बनेगा a - b * a + b
11:10ऊपर बनेगा a + b²
11:14यहां बनेगा a - b²
11:17तीनों की तीनों अलजेब्रा आइडेंटिटीज़ आपको
11:19एक अल्ला क्वेश्चन दिखा देगा इसलिएेंट
11:21क्वेश्चन है और एलसीएम का कांसेप्ट भी
11:24सिखा दिया साथ ही अब एक-एक करके तीनों
11:27आइडेंटिटीज़ बेटा यहां जगह कम है आप लिख
11:29लेना a + b² क्या होता है a² ² + b² + 2ab
11:35तो ये बनेगा
11:371²
11:39+ cos² ट्रिग्नोमेट्री में स्क्वायर पहले
11:42लगाते हैं + 2 * 1 * cos यानी 2 cos थीटा
11:47इसी तरीके से इस वाली जगह पर a - b होल
11:51स्क्वायर बनेगा
11:54a² यानी 1²
11:58+ b² यानी cos²
12:01- 2ab ab -2 * 1 * cos यानी 2 cos थीटा
12:08और नीचे डिनोमिनेटर में a - b a + b क्या
12:11होता है? a² - b²
12:16अब इतना करने के बाद लेट्स सी कुछ बन रहा
12:19है इसके अंदर।
12:22ये 1² हो जाएगा बेटा। वन ऊपर न्यूमैरेटर
12:26में 1 + cos² थीटा + 2 cos थीटा ये जो
12:31न्यूमैरेटर आ रखा है y जी ये लिख रहे हैं
12:34+ 1 + cos² थीटा - 2 cos थीटा और बेटा
12:40डिनोमिनेटर में एक चीज मेरे को करने की
12:42इच्छा हो रही है। डिनोमिनेटर में है 1 -
12:45cos² थीटा। 1 - cos² थीटा क्या आपकी कोई
12:49आइडेंटिटी होती है?
12:52पहला सेट क्या होता है आइडेंटिटी का? sin²
12:54+ cos² = 1 1 - cos² क्या होता है?
12:59sin² थीटा तो डिनोमिनेटर में तो क्या करा
13:02जी? आइडेंटिटी लगा दी। न्यूमैरेटर देखो। -
13:072 cos थीटा + 2 cos थीटा कट जाएगा। 1 + 1
13:10क्या हो जाएगा? 2 तो 2 + cos² + cos² जैसे
13:16x² + x² 2x² होता है। cos² + cos² क्या हो
13:20जाएगा? 2 cos² थीटा अप
13:25sin² थीटा इतनी गेम आ गई भाई। यहां तक
13:29आपने कुछ अचीव करा अभी
13:34एक चीज ये 2 cos थीटा कट रहा है ना? हां।
13:38कुछ गड़बड़ तो नहीं करी? बेटा। गड़बड़ कर
13:41दी। ध्यान से देखो। यहां पर एक गड़बड़ हुई
13:45है।
13:48यहां पर बीच में माइनस था। गलती से प्लस
13:52लगा दिया गया। ये देखो।
14:00ये देखना जरा। यहां माइनस था। यहां पर
14:04गलती से प्लस साइन आ गया। तो ये माइनस
14:06आएगा। इसकी जगह ब्रैकेट लगेगी बकायदा।
14:12और यह वाले स्टेप हम दोबारा करेंगे। यह
14:14देखो।
14:23अभी ध्यान से देखना। करते हैं इसे।
14:311 + cos² थीटा + 2 cos थीटा अगर हम
14:37ब्रैकेट खोल देंगे तो -1 - cos² थीटा
14:43और ये माइनस माइनस
14:46+ 2 cos थीटा बनेगा
14:52अपॉन sin² तो चलो ठीक ही है तो कटिंग में
14:56फर्क पड़ेगा बेटा फर्क बस ये पड़ेगा कि
14:57कटिंग में कुछ और कटेगा। अब जैसे cos² से
15:00cos² कट गया। वन से वन कट गया।
15:05आपके पास अब कोई प्लस माइनस की गड़बड़ हो
15:08जाती है तो बाकी बहुत फर्क पड़ता है फिर
15:09क्वेश्चन पे।
15:11अब आपके पास ऊपर बच रहा है सिर्फ एक ये 2
15:14cos थीटा और एक और 2 cos थीटा। जैसे 2x +
15:172x 4x होता है तो ये बनेगा 4 cos थीटा /
15:21sin² थीटा। ये आ रहा है भाई। अब मैं देखता
15:26हूं मेरी आरएचएस क्या आई या नहीं आई? फोर
15:29आ रहा है आरएचएस में और cot और cosec आ
15:31रहा है। हो जाएगा बेटा ये प्रूफ लॉट ऑफ़
15:33बिग डील कैसे? फोर आ गया ना? एक काम करो
15:37यहां पर मल्टीप्लाई वाला डिनोमिनेटर
15:39स्प्लिट करो।
15:41डिनोमिनेटर को स्प्लिट करो। कहने का मतलब
15:44कैसे? ये देखो। 4 cos थीटा रहने दो। sin²
15:49है ना? एक बार लिख दो sin x² क्या होता
15:52है? x * x तो sin² क्या होगा?
15:58sin * sin बस याद रखना sin डिनोमिनेटर में
16:01था इसलिए यहां भी डिनोमिनेटर में लिखा है।
16:03बस चेंजेस क्या करे भाई? ये जो sin² था
16:06इसको sin * sin लिख दिया। आपका आंसर आ गया
16:08बेटा। कैसे? ये देखो
16:12cos / sin क्या होता है? cot तो 4 cot
16:15थीटा इंटू 1 / sin क्या होता है? cosec
16:20cosec थीटा। यही आपका आंसर था। दैट इज योर
16:24आरएचएस। हेंस प्रूव्ड। ठीक है बेटा? ये
16:28तीन क्वेश्चंस अच्छे से आप करिए। एक
16:30क्वेश्चन आपको ट्राई के लिए दे रहे हैं।
16:32आपने खुद करना है। जितना आपको लगे कि आपसे
16:35प्यार से हो सकता है, ट्राई करिएगा।
16:37अटेम्प्ट जरूर करना। बेले मत बैठना। इन
16:39कैटेगरी का नहीं है। अलग क्वेश्चन है
16:41थोड़ा।
16:46क्वेश्चन रहेगा। प्रूव दैट।
16:50यह आपने खुद ट्राई करना है।
16:53cot थीटा - cos थीटा
16:56/ cot थीटा + cos थीटा
17:01=
17:031 - sin थीटा / 1 + sin थीटा। इस क्वेश्चन
17:07को देने की खास वजह कई बच्चों के माइंड
17:10में आएगा। आरएचएस से स्टार्ट कर लेते हैं।
17:12बेटा आरएचएस से स्टार्ट करोगे आंसर तो भी
17:14आ जाएगा। ठीक है? आरएचएस से स्टार्ट करोगे
17:17तो रैशनलाइज़ करना। अगर इधर से स्टार्ट कर
17:20रहे हो तो रैशनलाइज करना। अगर आप इधर से
17:23स्टार्ट कर रहे हो लेफ्ट हैंड साइड से तो
17:24क्या करना? एक बेसिक फंक्शन है, एक एडवांस
17:27फंक्शन है। आप अगर एलएचएस से स्टार्ट
17:29करोगे ना मर्जी है आपकी। एलएचएस से
17:31स्टार्ट करोगे तो cos को cos ही रहने देना
17:34और cot को cos / sin लिख लेना।
17:37और अगर आप आरएचएस से स्टार्ट कर रहे हो तो
17:40रैशनलाइज़ करना। फिर देखते हैं आपका बस
17:43प्रूव आना चाहिए। एलएचएस से स्टार्ट करा
17:44है तो आरएचएस आ जानी चाहिए। आरएचएस से
17:47स्टार्ट कर रहे हैं तो एलएचएस ये करके ये
17:49चार क्वेश्चनों की पीडीएफ भेजना। इसके
17:51सिमिलर क्वेश्चन आपको होमवर्क में मिल
17:53जाएंगे। दैट्स इट।