Full transcript
0:00hemos definido un grupo como un par
0:03formado por un conjunto y una operación
0:05un conjunto y una ley de composición
0:08interna Vale ahora en general si tenemos
0:11un grupo G con una operación únicamente
0:16vamos a decir que G es un grupo y la
0:18operación habitualmente se sobreentender
0:21y si no se sobreentiende diremos
0:23explícitamente Cuál
0:26es vale luego esa es prima las notas que
0:30tenemos en la pantalla la segunda es que
0:32el neutro es único vale en un grupo hay
0:34un elemento neutro y en esta segunda not
0:37estamos afirmando que es único esto por
0:40qué es bueno pues vamos a hacer la
0:42demostración
0:43supongamos que e1 y E2 son
0:54neutros queremos ver que son iguales
0:56vale como se hace casi siempre en
0:58matemáticas Cuando se quiere ver que
0:59algo es único se supone que hay dos y se
1:02comprueba que son
1:05iguales Vale entonces lo que se hace es
1:08se mira al producto el producto e1 por
1:11E2 Qué es bueno pues por un lado como
1:15como e1 es neutro e1 por cualquier cosa
1:18es cualquier cosa o sea que e1 * E2 es
1:21E2 pero E2 también es neutro entonces
1:25cualquier cosa por E2 es cualquier cosa
1:28o sea que e1 * E2 también es
1:31e1 así pues tenemos que
1:34e1 es igual a E2 como queríamos
1:39demostrar y en la tercera nota afirmamos
1:41que el inverso de cualquier elemento
1:44también es único vale la demostración no
1:47la voy a hacer pero es similar a lo que
1:49hemos hecho con el neutro lo dejo como
1:56ejercicio hemos definido lo que es un
1:59grupo en álgebra cuando se define una
2:02estructura grupo o anillo o cuerpo o en
2:07primero espacio vectorial siempre
2:10interesa saber cuáles son las
2:13subestructuras es decir queé
2:16subconjuntos del conjunto Tienen las
2:19mismas propiedades de la estructura en
2:21cuestión es decir en el caso de espacios
2:25vectoriales se estudiaban los
2:27subespacios vectoriales Qué es un
2:28subespacio vectorial pues es un
2:30subconjunto de un espacio vectorial que
2:32cumple todos los axiomas que ha de
2:34cumplir el espacio vectorial pues Qué es
2:36un subgrupo aquí lo tenemos un
2:39subconjunto de un grupo es un subgrupo
2:42si ese subconjunto con la misma
2:45operación también cumple los axiomas de
2:48ser Grupo vale Y habitualmente
2:52denotaremos el hecho de que H sea un
2:54subgrupo de G de esta forma con un
2:56ángulo
3:00ahora vamos con algunos ejemplos de
3:02grupos y de subgrupos que se conocen
3:05desde
3:07primero el primero son por así llamarlo
3:10los conjuntos de números con la con la
3:12operación suma Z con la suma es un
3:14subgrupo de q con la suma que es un
3:16subgrupo de R con la suma y es un
3:18subgrupo de C con la
3:21suma
3:23ahora si queremos considerar la
3:26operación
3:27producto hemos de quitar el cero
3:30Por qué Porque el el neutro para el
3:32producto es el uno y C por cualquier
3:35cosa es 0 es decir el 0 no tendría
3:38inverso Entonces si queremos obtener
3:40grupos hemos que quitar el cero tenemos
3:43que q menos el c con el producto es un
3:45subgrupo de R con el producto y es un
3:47subgrupo de
3:48c menos el 0 con el
3:52producto vale si os fijáis en esta
3:55primera cadena de subgrupos con la suma
3:57apece Z en esta segunda no aparece
4:02Z eso por qué es bueno pues porque Z
4:05aunque le quitemos el
4:07cero con el producto no es un
4:11grupo Por qué no es un grupo Pues porque
4:13por ejemplo el 2 por n no es
4:181 para cualquier n de
4:22Z vale el inverso del dos es un medio
4:25que no está en Z sino que está en q por
4:28eso a Z o a Z menos el 0 si le damos la
4:32operación producto eso no tiene
4:34estructura de grupo y otro comentario es
4:37decir que todos estos grupos los que sí
4:40son grup vale o sea que por eso Z men el
4:420 con el producto no es
4:50grupo todos los demás grupos que tenemos
4:54en pantalla los que estoy señalando
4:55además de ser grupos son grupos
4:57abelianos Es decir la suma comutativa y
5:00el producto también es
5:03conmutativo bien y el hecho de que Z men
5:06el 0 con el producto no sea un grupo es
5:08la razón por la cual como visteis en
5:10primero y veremos en la segunda parte de
5:11esta
5:13asignatura q con la suma y el producto R
5:16con la suma del producto y C con la suma
5:17y producto sí que son cuerpos pero Z En
5:21cambio no lo es vale la razón por la que
5:23Z no es un cuerpo es que si le quitamos
5:26el cero con parencia un producto no es
5:30un
5:32grupo bien Vamos con otro ejemplo en
5:37este segundo ejemplo tenemos las
5:39matrices de tamaño n por m sobre un
5:41cuerpo K que con la operación suma
5:44forman un grupo y no solo eso sino que
5:46también es un grupo
5:48abeliano y un primer ejemplo de grupo
5:50que en general no es abeliano es el que
5:52ya he mencionado en el vídeo anterior de
5:54las matrices invertibles en general el
5:58producto de matrices no es conmutativo O
5:59sea que las matrices invertibles
6:02con la operación multiplicación de
6:05matrices por si no queda claro sí que es
6:08un grupo pero como digo en general no se
6:10ha en general a por B No es igual a b
6:13por
6:18a y
6:20ahora vamos
6:22con una
6:26nota Y es que como vemos pues a veces la
6:29operación es la suma a veces la
6:30operación es el producto ya la próxima
6:34sección veremos otro tipo de operación
6:36que será la composición de
6:37aplicaciones Entonces qué notación vamos
6:40a utilizar cuando estamos hablando de un
6:41grupo
6:43general Vale entonces en
6:49general
6:57utilizaremos notación
7:05multiplicativa vale lo que se llama
7:07notación multiplicativa ahora dir lo que
7:09es
7:13esto la
7:24operación la denotaremos
7:32por un punto o incluso más
7:45habitualmente
7:52simplemente y la pondremos
8:02los
8:10elementos Qué quiere decir esto es
8:16decir escribiremos
8:24x *
8:26y simplemente como x
8:33bien Entonces qué quiere decir esto de
8:35notación multiplicativa y notación
8:36aditiva pues vamos a hacer una pequeña
8:38tabla notación
8:47multiplicativa y por otro lado
8:52notación aditiva
9:01Vale entonces la
9:06operación notación multiplicativa Pues
9:10será un punto o incluso como hemos dicho
9:13antes simplemente será la y posición de
9:20elementos que será lo más habitual
9:22simplemente en vez de escribir x y
9:24habitualmente escribiremos x y para
9:26denotar el producto de X por y y
9:29notación aditiva la operación es una
9:34suma luego cómo denotamos al
9:44neutro en notación multiplicativa el
9:47nutro lo denotamos por uno y en notación
9:50aditiva por
9:55c y como denotamos los inversos
10:01en notación multiplicativa el inverso de
10:04X lo denotaremos como x a la -1 y en
10:08notación aditiva el inverso de X lo
10:10denotamos
10:12por -
10:15x vale en cuando se usa esa notación
10:19aditiva a veces más que hablar de
10:20inverso a esto más que referirse como
10:22inverso de X se le llama el opuesto de X
10:26o el simétrico de
10:28X bien y he dicho que en general
10:31usaremos notación multiplicativa hay una
10:33excepción para esto que es que cuando
10:35estemos con un grupo abeliano
10:37habitualmente vamos a usar la notación
10:41aditiva habitualment
10:45si vale es decir
10:49hay una
10:56excepción para
11:00el uso de
11:04notación
11:08multiplicativa vale No lo voy a escribir
11:10pero lo digo una vez más Si el grupo G
11:13es
11:14abeliano habitualmente para ese grupo G
11:18utilizaremos notación aditiva