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0:00vamos a empezar recordando la definición
0:03de
0:04grupo como tenemos en la pantalla un
0:07grupo es un par formado por un conjunto
0:11no vacío que lo denotamos en esta
0:13definición por G y una ley de
0:17composición interna que habitualmente la
0:19llamaremos una operación y habitualmente
0:22la denotaremos por un punto o por nada
0:27que cumple tres propiedades las tres
0:29propiedades que tenemos en la
0:31pantalla la
0:34primera es la que se llama propiedad
0:42asociativa la segunda propiedad nos dice
0:45que existe un elemento
0:49neutro existe un elemento
0:56neutro y la tercera nos dice que
0:59cualquier elemento x tiene un inverso
1:08y vale un primer comentario es que si os
1:12fijáis en la segunda propiedad para que
1:15e sea elemento neutro es necesario que
1:17al multiplicarlo por cualquier cosa
1:19tanto a izquierda como a
1:22derecha nos dé esa cualquier cosa es
1:24decir que pedimos que e * x sea x y que
1:28x * e también sea x y lo mismo con el
1:32elemento inverso en principio Si
1:35queremos comprobar que algo es un grupo
1:36según la definición de grupo Tendremos
1:38que probar que para cualquier elemento x
1:41Hay algún elemento y que cumple que x
1:43por y es el neutro y también ese y
1:45cumple que I por x es el
1:48neutro realmente se pueden simplificar
1:51un poco las cosas vale como voy a
1:54comentar en la siguiente nota vamos a
1:57tener unas cuantas notas la primera
2:01es que las propiedades 1 2 y
2:053 de la de la definición de
2:13grupo son
2:22equivalentes a las siguientes tres
2:26propiedades un prima que es la misma
2:28asociatividad es decir que para
2:30cualesquiera x y z de
2:35G x * I y después por
2:40Z es lo mismo que x después por y *
2:49z y aquí viene la primera diferencia en
2:53la definición de elemento neutro
2:54pedíamos que fuese neutro tanto a
2:56izquierda como a derecha aquí
2:58simplemente vamos a pedir que
3:00exista un elemento y de
3:04G tal que e *
3:08x es x para todo x de
3:14G en la tercera para que un elemento I
3:17fuese el inverso de X tenía que
3:19cumplirse tanto que x * I sea el neutro
3:22como que i * x sea el neutro Aquí vamos
3:25a debilitar eso simplemente vamos a
3:27decir que para todo
3:30xdg exista un elemento y de
3:35G tal
3:38que y *
3:42x es el
3:44neutro ven o sea claramente si se cumple
3:471 2 y 3 se cumple 1 prima 2 prima y 3
3:51prima eso Es evidente lo que no es tan
3:55evidente pero se puede mostrar y tampoco
3:57es complicado es que si se cumple 1 Prim
3:592s prima y 3 prima Entonces se cumple 1
4:022 y
4:083 Vale y de hecho realmente Esto no es
4:12nuevo vale En primero en álgebra
4:16lineal ya se vio que el conjunto de
4:20matrices invertibles
4:23con la operación de multiplicación de
4:27matrices es un grupo
4:32y cuando se definió la inversa de una
4:37matriz si tenemos una matriz
4:42invertible se se llama inversa de la
4:44matriz a a la matriz B que cumple que a
4:48* b es igual a b * a y es igual a la
4:53identidad vale Esta es la definición de
4:56que de inversa de una matriz a es la
4:58matriz B que cumple est esto esto que
5:00tenemos que estoy subrayando ahora ahora
5:04sin embargo si os acordáis en la
5:07práctica siempre que tenemos una matriz
5:10siempre que se tiene una matriz a y se
5:12encuentra una matriz B que cumple que a
5:14por B es la
5:15identidad eso es suficiente para
5:18asegurar que B es la inversa de a es
5:20decir si a por B es la identidad se
5:23puede demostrar que entonces también B
5:26por a es la identidad Vale y repito se
5:29de demostrar es decir no es algo no es
5:34algo totalmente obvio vale por por qué
5:36no es obvio no es obvio porque en
5:38general el producto de matrices no es
5:39conmutativo en general a por B No es
5:43igual a b por a sin embargo si a por B
5:45es la identidad entonces B por a también
5:47es la
5:50identidad vale Y ya que ha
5:54surgido
5:55esto pues vamos a definir lo que es un
5:58grupo conmutativo o un grupo
6:03abeliano definición vale esto también
6:08este tipo de grupos aparecerá con
6:10frecuencia en la asignatura
6:14decimos que un
6:22grupo
6:24G una operación que entramos por punto
6:27esel
6:33o
6:40conmutativo vale
6:42conmutativo sería una palabra mucho más
6:45intuitiva no todo el mundo sabe que es
6:47la propiedad conmutativa sin embargo en
6:50teoría de
6:53grupos nunca o prácticamente nunca se
6:56habla de grupos conmutativos y se habla
6:58de grupos abelianos por ello en adelante
7:01simplemente los llamaré grupos abelianos
7:02pero que sepáis que que un grupo es
7:04abeliano Es que es conmutativo vale Y
7:07qué quiere decir que un grupo sea
7:09abeliano o conmutativo Pues que dos
7:12elementos cualesquiera conmutan vale o
7:15sea un grupo es habanos y para cuales
7:16quiera x y de
7:20G x * I es lo mismo que i *
7:28x al