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0:00en la sección anterior hemos definido el
0:03concepto de grupo de subgrupos y hemos
0:06visto algunos ejemplos ahora en general
0:10todos ellos eran grupos infinitos en
0:13este curso estamos interesados sobre
0:15todo en grupos finitos bueno no he
0:17definido aú lo que es ser un grupo
0:19infinito finito un grupo es infinito si
0:23el cardinal de su conjunto es infinito y
0:25un grupo es finito si el cardinal de su
0:26conjunto es
0:28finito
0:31Vale entonces en esta En esta segunda
0:34sección del tema y en las dos siguientes
0:36vamos a estudiar tres familias
0:39importantes de grupos finitos vale De
0:42hecho
0:43forman los grupos más importantes que
0:46van a aparecer en esta
0:49asignatura empezamos por los grupos
0:52simétricos en toda la
0:58sección en toda la sección Omega va a
1:02ser un conjunto finito Aunque buena
1:05parte de las cosas que voy a decir
1:07seguirían siendo ciertas cuando Omega es
1:10infinito pero solo estoy interesado en
1:12el caso de conjuntos finitos vale las
1:15razones que estemos interesados en
1:17grupos
1:19finitos vale llamamos grupo
1:23simétrico sobre Omega
1:26a el conjunto de bcci de Omega
1:30con la operación de composición de
1:35aplicaciones bien lo llamamos grupos
1:37simétrico lo primero que hay que ver
1:39cuando se le llama algo grupo es que
1:40realmente es un
1:42grupo bien pero esto ya lo sabemos
1:45porque la composición de aplicaciones
1:47bcas es vitiva por tanto la composición
1:51sí que es una ley de composición
1:54interna también sabemos que la
1:56composición de aplicaciones es
1:58asociativa
2:01sabemos que la aplicación identidad
2:03compuesta con cualquier cosa es
2:05cualquier
2:06cosa y sabemos que una aplicación vitiva
2:11tiene una inversa Lu efectivamente las
2:14aplicaciones bivas de Omega con la
2:16operación composición forman un
2:20grupo una primera nota es que en
2:25general bien aquí Omega es un conjunto
2:28cualquiera sin embargo cuando Omega está
2:31formado por los números por los n
2:33primeros números naturales del un hasta
2:35el n vamos a denotar ese Omega
2:39simplemente como s subn y lo llamamos
2:42grupo simétrico de n
2:47letras bien más adelante veremos que
2:49realmente si tenemos cualquier otro
2:52conjunto
2:54llamémosle x si tenemos un conjunto de
2:57cardinal n x si tenemos un conjunto x de
3:00cardinal n ese
3:03x será lo que se llama isomorfo a
3:09sn vale siempre que el cardinal de X sea
3:14n Qué quiere decir esto isomorfo ya lo
3:16veremos Precisamente en su momento pero
3:17la idea es que el grupo realmente es el
3:22mismo vale por menos desde el punto de
3:24vista de teoría de grupos Es decir
3:26cuando estudiamos teoría de grupos nos
3:28interesa Cuál es la relación entre los
3:30elementos y la operación entre los
3:32elementos y la operación Que en general
3:34como he dicho en el vídeo anterior la
3:36denotamos por
3:39multiplicación Pero bueno ya ya ya
3:42veremos más adelante porque es este
3:44grupo simétrico sobre un conjunto
3:45cualquiera x de cardinal n es lo mismo
3:48que
3:50sn y el segundo comentario es cuál es el
3:52cardinal de
3:54sn es decir dicho deas forma Cuántas
3:57proyecciones hay del conjunto 1 2 hasta
3:59n en el conjunto 1 2 hasta n La
4:02respuesta es n factorial y la razón es
4:06que n sn tenemos Perdón en nuestro
4:11conjunto Omega tenemos n
4:15elementos la primera pregunta es Cuántas
4:17posibles imagenes tenemos para el uno
4:19pues cualquiera de los n elementos de
4:21Omega cualquiera es decir tenemos n
4:24posibilidades para la imagen del
4:26uno ahora Cuántas posibilidades una vez
4:30hemos fijado la imagen del uno Cuántas
4:32posibilidades hay para la imagen del dos
4:34pues la imagen del dos podrá ser Si
4:36queremos que F sea una bcci la imagen
4:39del dos podrá ser cualquiera de los
4:42elementos de Omega salvo la imagen del
4:44un es decir tenemos n-1 posibilidades
4:48para la imagen del dos una vez hemos
4:51fijado la imagen del un y del dos Qué
4:54posibilidades tenemos para la imagen del
4:57TR pues la imagen del 3 podrá ser
5:00cualquiera de los elementos de Omega
5:02salvo la imagen del uno y salvo la
5:04imagen del dos es decir tenemos n - 2
5:09posibilidades para la imagen del 3 y así
5:12sucesivamente se llega a que el número
5:16de bcci ones de Omega es n * n - 1 * n -
5:212 por n -3 así hasta por 3 * 2 y * 1 lo
5:25cual es n
5:28factorial
5:30bien Ahora nos preocupamos por el
5:32problema de cómo denotar las
5:35permutaciones es decir sabemos denotar
5:38lasas de toda la vida no una biyección
5:40de S4 en s4f pues es se puede escribir
5:43por ejemplo de esta
5:45forma si si el uno va el dos lo podemos
5:47enar mediente esta flecha el dos va el
5:49uno luego el tres va el tres y el cuatro
5:51va el cuatro bien pero est esta notación
5:54no es nada conveniente Por qué Pues
5:56porque hay que escribir mucho eso
5:58Incluso en un caso muy pequeño con S4 Ya
6:02mejor no pensar qu pasaría con s20
6:05s30 en el resumen queremos una notación
6:08mejor una notación algo mejor que se
6:11utiliza a veces pero aún no es la ideal
6:14es esta de aquí esta aplicación F
6:17podemos denotar de la siguiente forma
6:18vamos a denotar en la primera fila los
6:22números del conjunto que estamos
6:25permutando en este caso son 1 2 3 4 y en
6:29la segunda vamos a poner la imagen del
6:31número que está arriba es decir debajo
6:34del uno pondremos la imagen mediante F
6:36del un que es el dos debajo del dos
6:40pondremos la imagen del dos que es el
6:42uno debajo del tres la imagen del tres
6:46que es tres y debajo del cuatro la
6:49imagen del cuatro que es cu bien esta
6:53notación está mejor pero como digo
6:55tampoco es la
6:56ideal la ideal es la que se llama
7:03notación de
7:09ciclos En qué consiste esta notación
7:12Pues en lo
7:14siguiente abrimos un paréntesis Y
7:17empezamos poniendo
7:19Cualquiera cualquiera de los elementos
7:22del conjunto origen es decir empezamos
7:25poniendo cualquiera de los elementos de
7:26este conjunto 1 2 3 cu por ejemplo el
7:29primero de ellos El
7:31uno a continuación después del uno
7:34ponemos la imagen del uno mediante F
7:37Cuál es la imagen de un mediante F pues
7:39es el dos Pues a continuación ponemos el
7:43dos a continuación pondríamos la imagen
7:47del dos pero qué sucede que la imagen
7:49del dos es el uno entonces cuando la
7:53imagen de alguna letra en este caso
7:56cuando la imagen del dos es algo que
8:00aparecido lo que hacemos Es no lo
8:02volvemos a poner a continuación sino que
8:05lo que hacemos Es Cerramos el
8:09ciclo vale cerramos lo que a continu
8:12continución definir como un ciclo Vale y
8:14de esta forma lo que quiero decir es que
8:17el último va al
8:19primero vale Ya tengo las letras un y
8:22dos luego seguiría con las con otra de
8:25las letras del conjunto origen el tres
8:28por ejemplo
8:30y a continuación pondría la imagen del 3
8:32pero la imagen del
8:34TR es el TR luego como hemos hecho antes
8:37en vez de volver a poner el tres lo que
8:40hacemos Es cerrar el ciclo y por esto se
8:43sobreentiende que la imagen del último
8:45elemento del ciclo es el
8:47primero pero bueno como es un ciclo de
8:49longitud un ser el último y el primero
8:51es lo mismo Vale y Exactamente igual con
8:53el cu la imagen del 4 es cu luego esta
8:56sería la anotación de ciclos DF no es la
8:58única forma forma posible de escribir f
9:01en notación de ciclos es decir
9:04habitualmente escribiremos esto
9:06simplemente como la permutación como
9:10simplemente como el ciclo 1 do Por qué
9:13Porque habitualmente cuando usamos
9:15notación de ciclos los ciclos de
9:18longitud 1 no se escriben vale es decir
9:22si escribimos Simplemente si escribimos
9:25esto esto que estoy señalando ahora y
9:28decimos que es una permutación del
9:30conjunto 1 2 3 4 ya se sobreentiende que
9:34las letras que no aparecen en este caso
9:36el TR y el cuatro queda quedan fijas
9:39vale eso ya se
9:44sobreentiende bien entonces ahora voy
9:46voy a definir formalmente lo que es un
9:51ciclo
9:58definición
10:00sean Alfa
10:031 Alfa n elementos de el conjunto oma
10:06recordad que hemos empezado definiendo
10:08Omega un conjunto finito y Omega va a
10:10ser un conjunto finito en toda la
10:17sección el n
10:22ciclo o ciclo de longitud
10:28n
10:40Alfa 1 hasta Alfa
10:44n
10:46es el
10:52elemento F de s Omega vale es decir es
10:58la los elementos de Omega se llaman
11:01permutaciones aunque no lo he dicho en
11:03este vídeo es el elemento de ese Omega
11:06que cumple
11:08que elemento de Omega tal que pues como
11:12hemos dicho antes en el ejemplo envía el
11:14primer elemento de ciclo al
11:19segundo el segundo al tercero es decir F
11:23de Alfa
11:242 es Alfa
11:273 así sucesivamente
11:30F de Alfa n -
11:331 sería Alfa n que es ahora F de Alfa n
11:39Pues antes hemos dicho que en un ciclo
11:42la imagen del último es el
11:47primero vale pero así solo hemos
11:50definido lo que hace F a los elementos
11:52Alfa 1 Alfa n en principio en Omega
11:55puede haber elementos que no sean
11:58ninguno de estos
12:00Vale entonces qué hace el n cclo Alfa 1
12:03Alfa n a esos elementos pues como hemos
12:05dicho antes los fija y F de
12:10Beta es Beta para cualquier Beta que
12:15esté en Omega y no sea Ninguno de los
12:23alfas vale Esta es la definición formal
12:26de lo que es un ciclo de longitud n o un
12:28n ciclo o simplemente un ciclo si no se
12:31quiere especificar Cuál es su
12:35longitud