ALL OF MATH explained in 54 minutes

0:00تصبح الرياضيات

0:00منطقية تماماً في

0:01اللحظة التي ترى فيها

0:02كيف يرتبط كل شيء

0:03ببعضه . في هذا الفيديو

0:05، سنرسم خريطة الرحلة

0:06الكاملة عبر أربع

0:07مراحل متصلة : الجبر ،

0:09والهندسة ، وعلم

0:10المثلثات ، والتفاضل

0:11والتكامل . لنبدأ خطوة

0:13بخطوة ، بدءاً بـ رقم

0:16يختفي . أنت تستبدله بـ

0:18X. الآن مهمتك هي

0:20العثور عليه . يبدو

0:21الأمر بسيطاً ، لكن هذه

0:22الفكرة الوحيدة أنتجت

0:24واحدة من أقوى الأدوات

0:25التي تم اختراعها على

0:26الإطلاق ، الجبر . في

0:27الدقائق القليلة

0:28القادمة ، سنقوم ببناء

0:30المادة بأكملها

0:31تقريباً من الصفر . كل

0:32شيء يبدأ بالمتغيرات .

0:34المتغير هو ببساطة رمز

0:36يمثل رقماً . إذا كانت X

0:38تساوي 5 ، فإن X تتصرف

0:40تماماً مثل 5 . إذا كانت

0:42X تساوي -3 ، فإن X تتصرف

0:44تماماً مثل -3 . الحرف

0:45نفسه لا يهم . ما يهم هو

0:47أن رمزاً واحداً يمكن

0:48أن يمثل عدداً لا

0:49نهائياً من القيم

0:50الممكنة . بمجرد وجود

0:51المتغيرات ، يمكننا

0:53بناء تعبيرات . قد يكون

0:55التعبير X + 3 ، أو 2 * X - 7 ،

0:58أو 5x ^ 2 + 2x - 1 . التعبير هو

1:01ببساطة عبارة رياضية

1:02مكونة من أرقام

1:03ومتغيرات وعمليات .

1:05لاحظ أنه لا توجد

1:06علامة يساوي حتى الآن .

1:07التعبيرات تصف كميات ،

1:09لكنها لا تقدم ادعاءات

1:11. قبل أن نبدأ في

1:12التلاعب بها ، نحتاج

1:13إلى واحدة من أهم

1:15القواعد في الرياضيات

1:16، ترتيب العمليات .

1:17لنفترض أنك ترى 2 + 3 * 4 .

1:20هل يجب أن تجمع أولاً

1:22أم تضرب أولاً ؟ تحل

1:23الرياضيات هذه

1:24المشكلة باتباع ترتيب

1:26ثابت . الأقواس تأتي

1:28أولاً ، ثم الأسس ، ثم

1:30القسمة ، والضرب ، ثم

1:31الجمع والطرح . لذا ، 2 + 3

1:34* 4 تصبح 2 + 12 ، والتي

1:37تساوي 14 . لكن ، إذا

1:39وضعنا أقواساً حول 2 + 3

1:41، تصبح النتيجة 20 .

1:42الأقواس تغير كل شيء .

1:44الآن ، لنقم بتبسيط

1:46التعبيرات . تخيل 3x + 5x .

1:49بما أن كلا الحدين

1:50يحتويان على x ، يمكننا

1:52دمجهما للحصول على 8x . 4x

1:53تربيع + 9x تربيع تصبح 13x

1:56تربيع ، لكن 3x + 4y لا

1:57يمكن تبسيطها لأن x و y

2:00يمثلان كميتين

2:01مختلفتين . دمج حدود

2:03غير متشابهة يشبه دمج

2:04البرغر والمشروبات في

2:05" مشروبات برغر " .

2:07الرياضيات ترفض

2:08القيام بذلك . بعد ذلك

2:09تأتي واحدة من أكثر

2:10أدوات الجبر فائدة ،

2:12خاصية التوزيع . لنفترض

2:13أن لدينا ثلاثة مضروبة

2:15في المقدار x + 4 . يجب أن

2:17تضرب الثلاثة كل شيء

2:18في الداخل . 3 * x تصبح 3x و 3

2:21* 4 تصبح 12 . النتيجة هي 3x

2:25+ 12 . وبالمثل ، 5 * المقدار

2:292x - 7 تصبح 10x - 35 . التوزيع

2:32يسمح لنا بإزالة

2:33الأقواس وتوسيع

2:34التعبيرات . كما أنه

2:36يعمل بشكل عكسي .

2:37التوسيع والتحليل إلى

2:39عوامل هما عمليتان

2:40متضادتان . إحداهما

2:41تفكك التعبيرات ،

2:42والأخرى تضغطها . الآن

2:43نحن جاهزون للمعادلات .

2:45المعادلة هي عبارة

2:46تفيد بأن كميتين

2:47متساويتان . تخيل أن س +

2:505 = 12 . نريد س بمفردها ،

2:52لذا نعكس عملية الجمع

2:54بطرح خمسة من الطرفين .

2:55وهذا يعطي س = 7 . افترض

2:58أن 2 × س = 18 . نعكس عملية

3:01الضرب بقسمة الطرفين

3:02على اثنين . الآن س = 9 .

3:05هذه الفكرة ، وهي عكس

3:06العمليات ، هي أساس

3:07الجبر . الجمع يُعكس

3:09بالطرح . والضرب يُعكس

3:11بالقسمة . كل معادلة هي

3:13في الأساس لغز نحاول

3:14فيه عزل المتغير . لنحل

3:16مسألة أكثر صعوبة

3:17قليلاً . افترض أن 3 × س +

3:204 = 19 . أولاً ، اطرح

3:22أربعة من الطرفين . 3 × س

3:24= 15 . ثم ، اقسم الطرفين

3:27على ثلاثة . س = 5 . لاحظ

3:29أننا نعمل من الخارج

3:30إلى الداخل ، ونزيل

3:31العمليات واحدة تلو

3:32الأخرى . الآن ، تخيل أن

3:355 × س - 7 = 3 × س + 9 .

3:37المتغيرات تظهر على

3:39كلا الطرفين . اطرح 3 س

3:41من الطرفين . الآن ، 2 س - 7

3:44= 9 . أضف 7 إلى الطرفين . 2

3:47س = 16 . اقسم على 2 . س = 8 .

3:51العملية لا تتغير

3:53أبداً . اجمع المتغيرات

3:55معاً . اجمع الثوابت

3:56معاً . اعزل المجهول .

3:58الآن ، لنقم بإدخال

3:59الأقواس إلى

4:00المعادلات . افترض أن 2

4:03× ( س + 3 ) = 14 . قبل الحل ،

4:06وزّع الرقم 2 . 2 س + 6 = 14 .

4:10اطرح 6 . 2 س = 8 . اقسم على 2

4:14. س = 4 . التوزيع غالباً

4:17ما يحول المعادلات

4:18المعقدة إلى بسيطة .

4:20حتى هذه اللحظة ،

4:21افترضنا أن الأعداد

4:22موجبة ، لكن الجبر

4:23يحتاج لنظام عددي أكبر

4:24. لندخل الأعداد

4:25السالبة . تخيل الوقوف

4:27عند الصفر على خط

4:28الأعداد . الأعداد

4:29الموجبة تتحرك لليمين .

4:31الأعداد السالبة

4:32تتحرك لليسار . 5 + ( -3 ) = 2 .

4:35( -5 ) + 3 = -2 . ( -5 ) + ( -4 ) = -9 .

4:42الجمع ببساطة يحركنا

4:43على طول خط الأعداد .

4:45الضرب يتبع نمطاً

4:46مهماً . 3 موجب مضروبة

4:49في 4 موجب = 12 موجب . 3

4:51موجب مضروبة في -4 = -12 . -3

4:55مضروبة في 4 موجب = -12 . و

4:59-3 مضروبة في -4 = 12 موجب .

5:03هذه القاعدة الأخيرة

5:04تبدو غريبة في البداية

5:05، لكنها تحافظ على

5:06اتساق الحساب . بدونها ،

5:08سينهار هيكل الجبر

5:09بأكمله . الآن ، لننتقل

5:11إلى الكسور . الكسر هو

5:12ببساطة عملية قسمة

5:14مكتوبة بشكل مختلف . 1/2

5:15تعني 1 ÷ 2 . 3/4 تعني 3 ÷ 4 .

5:197/8 تعني 7 ÷ 8 . الكسور

5:22ليست نوعاً منفصلاً من

5:23الرياضيات . إنها مجرد

5:25أعداد . لجمع الكسور ،

5:27يجب أن تتطابق

5:28المقامات . 1/3 + 2/3 = 3/3 ،

5:30والتي تساوي 1 . لكن ، 1/2 +

5:331/3 تتطلب مقاماً

5:34مشتركاً . يمكن إعادة

5:35كتابة كلا الكسرين

5:37باستخدام الأسداس . 1/2

5:38يصبح 3/6 و 1/3 يصبح 2/6 . 3/6 +

5:422/6 = 5/6 . الكسور تظهر

5:45أيضاً في المعادلات .

5:47لنفترض أن س / 4 = 7 . اضرب

5:50كلا الطرفين في 4 . س = 28 .

5:54على الرغم من أن

5:54الكسور تبدو مختلفة ،

5:55إلا أن الاستراتيجية

5:57تظل كما هي تماماً . قم

5:58بعكس العمليات لعزل

5:59المتغير . لنخطُ خطوة

6:01أخرى إلى الأمام . تخيل

6:03أن 2 س / 5 = 8 . اضرب كلا

6:06الطرفين في 5 . 2 س = 40 .

6:09اقسم كلا الطرفين على 2

6:11. س = 20 . مرة أخرى ، الجبر

6:14لا يتعلق بحفظ الحيل .

6:15بل يتعلق بتطبيق

6:16المنطق نفسه مراراً

6:17وتكراراً . الآن ، دعونا

6:19نتحدث عن النسب .

6:20النسبة تقارن بين

6:22كميتين . إذا كانت

6:23الوصفة تستخدم كوبين

6:24من الدقيق لكل ثلاثة

6:25أكواب من الحليب ،

6:26فالنسبة هي اثنان إلى

6:27ثلاثة . النسب تؤدي

6:28بطبيعتها إلى التناسب .

6:30التناسب هو ببساطة

6:31معادلة تتضمن نسبتين .

6:33تخيل أن 2/3 = س / 12 . لحلها ،

6:37نستخدم الضرب

6:38التبادلي . 2 * 12 = 3 * س . 24 = 3

6:43س . اقسم على 3 . س = 8 .

6:46لنستخدم مثالاً

6:47واقعياً . لنفترض أن

6:48سعر خمس شطائر برجر هو

6:5020 دولاراً . كم سيكون

6:51سعر ثماني شطائر ؟ نقوم

6:53بوضع تناسب . خمس شطائر

6:54إلى 20 دولاراً تساوي

6:56ثماني شطائر إلى س

6:57دولار . اضرب ضرباً

6:58تبادلياً . 5 * س = 160 . اقسم

7:01على 5 . س = 32 . تكلفة

7:04ثماني شطائر هي 32

7:05دولاراً . عند هذه

7:07النقطة ، نكون قد بنينا

7:08أساس الجبر . لدينا

7:09المتغيرات ، التعبيرات

7:11، ترتيب العمليات ،

7:12تجميع الحدود

7:13المتشابهة ، التوزيع ،

7:15المعادلات ، الأعداد

7:16السالبة ، الكسور ،

7:17النسب ، والتناسب . كل

7:19فكرة من هذه الأفكار

7:20تدور حول المبدأ نفسه ،

7:22تمثيل الكميات

7:23المجهولة ومعالجتها

7:24منطقياً . لكن الجبر

7:26يصبح أكثر قوة عندما

7:27نتوقف عن النظر إلى

7:28الأرقام بشكل فردي

7:30ونبدأ في النظر إلى

7:31العلاقات بينها . بدلاً

7:32من السؤال عن ماهية س ،

7:34نبدأ بالسؤال عن كيفية

7:35تغير كمية ما عند تغير

7:36أخرى ، وهنا بالضبط

7:37تدخل الرسوم البيانية

7:39في القصة . حتى الآن ،

7:40كنا نحل في الغالب

7:41أرقاماً فردية ، لكن

7:43الرياضيات تصبح أكثر

7:44قوة عندما نبدأ بدراسة

7:45العلاقات بين الأرقام .

7:47تخيل المعادلة ص = س + 2 .

7:50إذا كانت س = 1 ، فإن ص = 3 .

7:53إذا كانت س = 2 ، فإن ص = 4 .

7:56إذا كانت س = 3 ، فإن ص = 5 .

8:00كل مدخل ينتج مخرجاً .

8:01يمكننا تنظيم هذه في

8:04أزواج : 1 و 3 ، 2 و 4 ، 3 و 5 .

8:06الآن ضع هذه الأزواج

8:08على مستوى إحداثي

8:09وسيحدث شيء مذهل .

8:10تتحول المعادلة إلى

8:12صورة . المستوى

8:13الإحداثي مبني من خطي

8:15أعداد . الخط الأفقي

8:16يسمى محور السينات

8:18والخط الرأسي يسمى

8:19محور الصادات . توصف كل

8:21نقطة بزوج مرتب . الرقم

8:23الأول يخبرنا بمدى

8:24التحرك يساراً أو

8:26يميناً . يخبرنا الرقم

8:27الثاني بمدى التحرك

8:28للأعلى أو للأسفل .

8:29النقطة ( 3,2 ) تعني

8:30التحرك ثلاث وحدات

8:31لليمين ووحدتين

8:33للأعلى . النقطة ( -4,5 )

8:34تعني التحرك أربع

8:35وحدات لليسار وخمس

8:37وحدات للأعلى . كل نقطة

8:38تقابل زوجاً من

8:39الأرقام ، وكل زوج من

8:40الأرقام يقابل نقطة .

8:41الآن ، لنقم برسم

8:42معادلة بيانياً . لنفكر

8:44في المعادلة y = 2x . إذا

8:46كانت x تساوي 2 ، فإن y

8:47تساوي 4 . إذا كانت x

8:49تساوي 3 ، فإن y تساوي 6 .

8:50بتحديد هذه النقاط ،

8:51نحصل على خط مستقيم .

8:53هذا لأن العلاقة تتغير

8:54بمعدل ثابت . في كل مرة

8:56تزداد فيها x بمقدار

8:57واحد ، تزداد y بمقدار

8:58اثنين . تقودنا هذه

9:00الفكرة مباشرة إلى

9:01المعادلات الخطية .

9:02المعادلة الخطية هي أي

9:03معادلة يكون تمثيلها

9:04البياني خطاً

9:05مستقيماً . أحد أهم

9:06أشكالها هو صيغة الميل

9:08والمقطع . وهي y = mx + b .

9:11يمثل الحرف m الميل ،

9:13ويمثل الحرف b مقطع y .

9:15مقطع y هو النقطة التي

9:17يتقاطع فيها الخط مع

9:18محور y . يخبرنا الميل

9:20بمدى حدة ميل الخط .

9:22افترض أن y تساوي 3 في x

9:24زائد 2 ، الميل هو 3

9:26ومقطع y هو 2 . ويظهر

9:28الخط بالكامل . لِنحسب

9:30الميل مباشرة من

9:31النقاط . تخيل النقطتين

9:341 و 3 ، و 5 و 11 . التغير في

9:36y هو 11 ناقص 3 ، وهو ما

9:38يساوي 8 . التغير في x هو

9:405 ناقص 1 ، وهو ما يساوي 4

9:42. الميل يساوي 8

9:43مقسوماً على 4 ، وهو ما

9:45يساوي 2 . هذا يعني أن

9:47الخط يرتفع وحدتين لكل

9:48وحدة واحدة لليمين .

9:50الآن ، لنناقش صيغة

9:51أخرى للخط تسمى صيغة

9:53النقطة والميل . وهي y

9:54ناقص y1 يساوي m مضروباً

9:57في ( x ناقص x1 ) . هذه

9:59الصيغة مفيدة عندما

10:01نعرف نقطة وميلاً .

10:02افترض أن خطاً يمر

10:03بالنقطة 2 و 5 وله ميل

10:05مقداره 3 . يمكننا

10:07التعويض مباشرة في

10:08الصيغة للحصول على

10:09معادلة الخط . قد تبدو

10:11الصيغ مختلفة ، لكنها

10:12تصف الشيء نفسه . حتى

10:13الآن ، كنا نتحدث عن

10:15المعادلات والرسوم

10:16البيانية ، لكننا ندرس

10:17الدوال في الحقيقة .

10:18الدالة هي قاعدة تخصص

10:20مخرجاً واحداً فقط لكل

10:21مدخل . فكر فيها كآلة .

10:23تضع شيئاً فيدخل ،

10:25ويخرج شيء آخر . افترض

10:27أن f ( x ) تساوي 2x + 3 . إذا

10:29كان المدخل 4 ، يكون

10:31المخرج 11 . إذا كان

10:32المدخل 10 ، يكون المخرج

10:3423 . القاعدة لا تتغير

10:36أبداً ، المدخل فقط هو

10:37ما يتغير . ترميز

10:38الدوال يخيف الكثير من

10:39الطلاب بلا داعٍ .

10:40عندما ترى f ( x ) ، لا تفكر

10:42في أنها عملية ضرب . فكر

10:44فيها كاسم للآلة . إذا

10:46كانت دالة ( f ( x تساوي x

10:47تربيع زائد واحد ، فإن (

10:49f ( 3 تعني التعويض بـ 3

10:50في كل مكان تظهر فيه x . 3

10:52تربيع زائد 1 يساوي 10 .

10:54وبالمثل ، فإن ( f ( 5

10:56يساوي 26 . ترميز الدوال

10:58هو ببساطة اختصار

10:59لتطبيق قاعدة معينة .

11:01تقدم الدوال فكرتين

11:02مهمتين : المجال والمدى

11:04. المجال هو مجموعة

11:05المدخلات المسموح بها .

11:07المدى هو مجموعة

11:08المخرجات الممكنة .

11:09بالنسبة للدالة y = x ^ 2 ،

11:10يمكن استخدام أي عدد

11:12حقيقي كمدخل ، لذا

11:13فالمجال هو كل الأعداد

11:14الحقيقية . لكن

11:15المخرجات لا يمكن أن

11:16تكون سالبة أبداً لأن

11:18التربيع ينتج دائماً

11:19نتيجة غير سالبة . لذلك

11:20، يبدأ المدى من الصفر

11:22ويمتد للأعلى إلى ما

11:23لا نهاية . الآن ، دعونا

11:25نتجاوز الجمع والضرب

11:26لنتحدث عن الأسس .

11:28الضرب هو عملية جمع

11:30متكررة . الأسس هي

11:31عملية ضرب متكررة . 2 أس

11:333 تعني ضرب العدد 2 في

11:35نفسه ثلاث مرات . 2 * 2 * 2 = 8 .

11:393 أس 4 تعني ضرب العدد 3

11:41في نفسه أربع مرات . 3 * 3 * 3 *

11:443 = 81 . تصبح العديد من

11:47قواعد الأسس ضرورية في

11:49الجبر . إذا كان لقوتين

11:50نفس الأساس وتم ضربهما

11:52معاً ، يتم جمع الأسس . x

11:54^ 2 مضروبة في x ^ 3 تصبح x

11:57أس 5 . إذا كان لقوتين

11:59نفس الأساس وتمت

12:00قسمتهما ، يتم طرح

12:02الأسس . x أس 7 مقسومة

12:04على x تربيع تصبح x أس 5 .

12:07إذا تم رفع قوة لقوة

12:08أخرى ، يتم ضرب الأسس . x

12:11تربيع مرفوعة للقوة

12:12الثالثة تصبح x أس 6 .

12:14دعونا نفحص الأسس

12:16الصفرية . يحفظ العديد

12:17من الطلاب القاعدة دون

12:19فهمها . أليس أي شيء

12:20مقسوماً على نفسه

12:21يساوي واحداً ؟ لكن

12:22باستخدام قواعد الأسس

12:24، نطرح الأسس ونحصل

12:25على x أس صفر . لذلك ، x أس

12:27صفر يساوي واحداً . هذه

12:30القاعدة ليست

12:31اعتباطية . بل تنبثق

12:32بشكل طبيعي من النمط .

12:34تعمل الأسس السالبة

12:35بطريقة مماثلة . x أس

12:36سالب 2 تعني واحد

12:38مقسوماً على x تربيع .

12:40الأس السالب لا يجعل

12:41القيمة سالبة . بل ينقل

12:43التعبير إلى المقام .

12:45وبالمثل ، 1 مقسوماً

12:47على x أس سالب 3 يصبح x

12:49تكعيب . تنمو الأسس

12:51بسرعة مذهلة . 2 أس 5

12:53يساوي 32 . 2 أس 10 يساوي

12:571024 . 2 أس 20 يتجاوز

12:59المليون . يظهر هذا

13:01النمو المتفجر في

13:02نماذج السكان ، وعلوم

13:03الحاسب ، والمالية ،

13:04ومجالات علمية لا حصر

13:06لها . وبالحديث عن

13:07الأعداد الكبيرة ،

13:08يحتاج العلماء غالباً

13:09إلى طريقة موجزة

13:10لكتابتها . وهنا يأتي

13:11دور التدوين العلمي .

13:13بدلاً من كتابة 6 مليار

13:15، نكتب 6 في 10 أس 9 .

13:17بدلاً من كتابة 0.0005 ،

13:20نكتب 5 في 10 أس سالب 4 .

13:22تجعل الصيغة العلمية

13:24التعامل مع الأعداد

13:25الضخمة والصغيرة جداً

13:26أسهل بكثير . الآن ،

13:27دعنا نجمع بين

13:28المتغيرات والأسس .

13:29كثير الحدود هو تعبير

13:31يتكون من متغيرات

13:32مرفوعة لقوى أعداد

13:33صحيحة . أعلى أس يحدد

13:34درجة كثير الحدود .

13:36المقدار س² + 3 س + 2 من

13:38الدرجة الثانية . يمكن

13:40جمع وطرح كثيرات

13:41الحدود من خلال تجميع

13:42الحدود المتشابهة . ضرب

13:43كثيرات الحدود يتطلب

13:45استخدام خاصية

13:45التوزيع . لنفترض أننا

13:47نضرب المقدار ( س + 2 ) في

13:49المقدار ( س + 3 ) . اضرب كل

13:51حد في التعبير الأول

13:52في كل حد في التعبير

13:54الثاني . س ضرب س يعطي س

13:56تربيع . س ضرب 3 يعطي 3 س .

13:592 ضرب س يعطي 2 س . 2 ضرب 3

14:02يعطي 6 . تجميع الحدود

14:04المتشابهة يعطي س

14:06تربيع + 5 س + 6 . تصبح هذه

14:08العملية شائعة جداً

14:09لدرجة ظهور أنماط خاصة

14:11. تظهر هذه الأنماط

14:12باستمرار في جميع فروع

14:13الجبر . حتى الآن ،

14:14تعلمنا كيفية بناء

14:15التعابير والمعادلات .

14:17الآن ، سنتعلم كيفية

14:19تفكيكها . لنأخذ

14:20المقدار س تربيع + 5 س + 6

14:22. للوهلة الأولى ، يبدو

14:24كشيء واحد ، لكن الجبر

14:25غالباً ما يصبح أسهل

14:26عند تبسيط التعابير

14:28المعقدة إلى أجزاء

14:29أبسط . تسمى هذه

14:30العملية بالتحليل إلى

14:31عوامل . لتحليل س تربيع

14:33+ 5 س + 6 ، نبحث عن عددين

14:35حاصل ضربهما 6

14:37ومجموعهما 5 . هذان

14:39العددان هما 2 و 3 . إذاً

14:41، يمكن إعادة كتابته

14:43كمقدار ( س + 2 ) مضروباً

14:45في المقدار ( س + 3 ) . إذا

14:47ضربنا هذه العوامل

14:48معاً مرة أخرى ، نستعيد

14:50كثير الحدود الأصلي .

14:51التحليل والفك

14:52عمليتان متضادتان .

14:54إحداهما تضغط

14:55المعلومات والأخرى

14:56توسعها . لنحاول مثالاً

14:58آخر . س تربيع - 9 يمكن

15:00تحليله إلى المقدار ( س

15:03+ 3 ) مضروباً في ( س - 3 ) .

15:05يسمى هذا النمط فرقاً

15:07بين مربعين . كلما

15:08رأينا شيئاً مربعاً

15:09ناقص شيء آخر مربع ،

15:11فإنه يتحلل إلى مجموع

15:12في فرق . نمط مهم آخر

15:14يظهر عندما يكون كثير

15:15الحدود مربعاً كاملاً .

15:17س تربيع - 10 س + 25 يتحلل

15:19إلى المقدار ( س - 5 )

15:21مضروباً في نفسه .

15:23التعرف على هذه

15:24الأنماط يجعل التحليل

15:26أسرع بكثير . الآن ،

15:27دعنا نستخدم التحليل

15:28لحل المعادلات . لنفترض

15:30أن س تربيع + 5 س + 6 = 0 .

15:33أعد كتابتها كـ ( س + 2 )

15:36مضروباً في ( س + 3 ) = 0 .

15:39هنا ، نستخدم إحدى أهم

15:40الأفكار في الجبر ، وهي

15:42خاصية الضرب الصفري .

15:43إذا كان حاصل ضرب

15:44كميتين يساوي صفراً ،

15:45فيجب أن تكون إحداهما

15:46على الأقل صفراً . لذلك

15:48، إما س + 2 = 0 أو س + 3 = 0 .

15:52الحل يعطي س = -2 أو س = -3 .

15:56هذا يقودنا إلى

15:57المعادلات التربيعية .

15:58المعادلة التربيعية

15:59هي أي معادلة تكون

16:00فيها أعلى قوة للمتغير

16:01هي اثنان . الصيغة

16:03العامة هي أس² + بس + جـ

16:06= 0 . تنتج المعادلات

16:07الخطية خطوطاً

16:08مستقيمة . تنتج

16:09المعادلات التربيعية

16:10قطعاً مكافئاً . تظهر

16:11هذه الرسوم البيانية

16:12المنحنية في كل مكان ،

16:13بدءاً من مسار كرة

16:14السلة وصولاً إلى

16:15تصميم أطباق الأقمار

16:16الصناعية . بعض

16:16المعادلات التربيعية

16:17يمكن تحليلها بسهولة ،

16:18لكن الكثير منها لا

16:19يمكن ذلك . لذا ، ابتكر

16:20الرياضيون اختصاراً

16:21عالمياً يُعرف

16:22بالقانون العام

16:23للمعادلة التربيعية .

16:24يعد هذا القانون أحد

16:25أشهر النتائج في الجبر

16:27لأنه يعمل مع كل

16:28معادلة تربيعية ، سواء

16:29أمكن تحليلها أم لا .

16:30داخل القانون العام

16:32للمعادلة التربيعية ،

16:33تظهر كمية مهمة تُسمى

16:35المميز . المميز هو ب

16:36تربيع ناقص أربعة في أ

16:38في ج . إذا كان المميز

16:40موجباً ، فهناك حلان

16:42حقيقيان مختلفان . إذا

16:44كان يساوي صفراً ،

16:45فهناك حل حقيقي واحد

16:47فقط . إذا كان سالباً ،

16:48يبدو أن المعادلة ليس

16:49لها حلول حقيقية ،

16:50لكننا سنكتشف لاحقاً

16:51أنه يمكن حل تلك

16:52المعادلات أيضاً . الآن

16:54، دعونا ننتقل من

16:55معادلة واحدة إلى عدة

16:56معادلات . لنفترض أن س

16:58زائد ص يساوي 10 ، وس

17:00ناقص ص يساوي 2 . نحن

17:02بحاجة إلى قيم تحقق

17:03المعادلتين في آن واحد

17:05. بجمع المعادلتين

17:06نحصل على 2 س يساوي 12 ،

17:08إذاً س يساوي 6 .

17:09بالتعويض في المعادلة

17:11نحصل على ص يساوي 4 .

17:12تُسمى هذه العملية حل

17:14نظام من المعادلات .

17:15يمكن أيضاً حل الأنظمة

17:16بيانياً . كل معادلة

17:18تقابلها رسم بياني . حل

17:20النظام هو النقطة التي

17:21تتقاطع عندها تلك

17:22الرسوم البيانية .

17:23أحياناً يتقاطع خطان

17:24مرة واحدة ، مما ينتج

17:25حلاً واحداً . وأحياناً

17:27لا يتقاطعان أبداً ،

17:28مما يعني عدم وجود حل .

17:29وأحياناً ينطبقان فوق

17:30بعضهما البعض ، مما

17:31ينتج عدداً لا نهائياً

17:33من الحلول . حتى الآن ،

17:34قمنا بحل المعادلات في

17:35الغالب ، لكن العديد من

17:36مواقف العالم الحقيقي

17:37تتضمن نطاقات بدلاً من

17:39قيم دقيقة . تخيل شرطاً

17:40للحد الأدنى للسن وهو

17:4218 عاماً . الشرط هو

17:43العمر أكبر من أو

17:45يساوي 18 . هذا هو

17:46المتباينة . لنفترض أن

17:48س + 4 أكبر من 10 . اطرح 4

17:50من الطرفين لتحصل على

17:51س أكبر من 6 . بسيط بما

17:53فيه الكفاية . لكن هناك

17:55قاعدة خاصة واحدة .

17:56كلما ضربت أو قسمت على

17:58رقم سالب ، ينعكس اتجاه

18:00علامة المتباينة . إذا

18:02كان -2 س أكبر من 8 ، فإن

18:04القسمة على -2 تعطي س

18:06أقل من -4 . نسيان هذه

18:08القاعدة هو أحد أكثر

18:09الأخطاء شيوعاً في

18:11الجبر . تحتوي

18:12المتباينات أحياناً

18:13على قيم مطلقة . القيمة

18:15المطلقة تقيس المسافة

18:16من الصفر . القيمة

18:18المطلقة للعدد خمسة هي

18:19خمسة . القيمة المطلقة

18:21للعدد سالب خمسة هي

18:23أيضاً خمسة . المسافة

18:24دائماً غير سالبة .

18:26لنفترض أن القيمة

18:27المطلقة لـ س = 3 . هناك

18:29حلان لأن كلاً من

18:30الثلاثة الموجبة

18:31والثلاثة السالبة

18:33تبعد ثلاث وحدات عن

18:34الصفر . إذا كانت

18:35القيمة المطلقة لـ ( س -2

18:37) = 4 ، فإن ( س -2 ) يمكن أن

18:39تساوي أربعة أو سالب

18:41أربعة . بالحل نجد أن س =

18:446 أو س = -2 . في هذه

18:46المرحلة ، يستطيع

18:47الجبر وصف المعادلات

18:48والأنظمة ونطاقات

18:49القيم . الآن ، لنلقِ

18:51نظرة على الأنماط التي

18:52تستمر إلى ما لا نهاية .

18:54تأمل المتتابعة 2 ، 4 ، 6 ،

18:588 ، 10 . يزداد كل حد

18:59بمقدار اثنين . يسمى

19:01هذا بالمتتابعة

19:02الحسابية . إذا كان

19:03الحد الأول هو اثنين

19:05والفرق الثابت هو

19:06اثنين ، يمكننا توقع أي

19:07حد مستقبلي دون كتابة

19:09كل رقم . على سبيل

19:10المثال ، الحد المئة

19:12يساوي 2 + 99 * 2 . النتيجة

19:15هي 200 . يسمح لنا الجبر

19:16بالقفز مباشرة إلى

19:17النتيجة . الآن تأمل

19:19متتابعة مختلفة . 2 ، 4 ، 8

19:21، 16 ، 32. يتضاعف كل حد .

19:26يسمى هذا بالمتتابعة

19:27الهندسية . بدلاً من

19:29الجمع المتكرر ،

19:30تستخدم الضرب المتكرر .

19:31النمو الهندسي يصبح

19:33ضخماً في النهاية .

19:34يبدأ النمو الأسي ببطء

19:36، لكنه ينفجر في

19:37النهاية . هذا يقودنا

19:39بشكل طبيعي إلى الدوال

19:40الأسية . تحتوي الدالة

19:42الأسية على المتغير في

19:43الأس . على سبيل المثال

19:45، y يساوي 2 مرفوعة

19:47للقوة x . عندما x = 1 ،

19:49تكون y = 2 . عندما x = 5 ،

19:52تكون y = 32 . عندما x = 10 ،

19:55تكون y = 1024 . تنمو

19:57الدوال الأسية بشكل

19:58أسرع بكثير من الدوال

20:00الخطية . لكن ماذا لو

20:01أردنا عكس الأس ؟ افترض

20:03أن 2 مرفوعة لأي قوة

20:05تساوي 32 . نحن نعلم أن

20:06الإجابة هي خمسة .

20:07ابتكر الجبر عملية

20:09خاصة لأسئلة كهذه .

20:11تسمى اللوغاريتم .

20:12اللوغاريتم ببساطة

20:13يسأل عن قيمة الأس . إذا

20:15كانت 2 مرفوعة للقوة

20:17الخامسة تساوي 32 ، فإن

20:19لوغاريتم 32 للأساس 2

20:20يساوي 5 . إذا كانت 10

20:22تربيع تساوي 100 ، فإن

20:24لوغاريتم 100 للأساس 10

20:25يساوي 2 . اللوغاريتمات

20:27هي معكوس الأسس .

20:28لوغاريتم حاصل الضرب

20:30يتحول إلى مجموع .

20:31لوغاريتم حاصل القسمة

20:33يتحول إلى طرح . يمكن

20:34للأسس الانتقال أمام

20:36اللوغاريتمات كعملية

20:37ضرب . هذه الخصائص تجعل

20:39اللوغاريتمات مفيدة

20:40للغاية في العلوم

20:41والهندسة وعلوم

20:42الحاسوب . وبهذا ، وصلنا

20:44إلى نهاية استعراضنا

20:45السريع للجبر . في

20:46البداية ، يبدو الجبر

20:48كمجموعة من المواضيع

20:49غير المترابطة ، لكن في

20:51الجوهر ، كل فصل يفعل

20:52الشيء نفسه . إنه إيجاد

20:54الأنماط ، ووصف

20:55العلاقات ، وكشف

20:56الكميات المجهولة . هذا

20:58ما يمثله الجبر حقاً .

21:00إنها اللغة التي

21:01اخترعتها البشرية لحل

21:02الألغاز بالمنطق . كل

21:04متغير يمثل شيئاً

21:05مخفياً . كل معادلة

21:07تطرح سؤالاً ، وكل حل

21:09يكشف إجابة ، وكل ذلك

21:11بدأ برقم واحد مفقود ،

21:13X.

21:14>> النقطة ليس لها طول ،

21:16ولا عرض ، ولا ارتفاع .

21:17إنها تحدد فقط موقعاً

21:19دقيقاً واحداً . وكل

21:20شكل في الهندسة يبدأ

21:22منها . ضع نقطة أخرى

21:24ويظهر خط . الخط له

21:25خاصية واحدة فقط ،

21:27الطول . إنه يمتد إلى

21:28الأبد في كلا

21:29الاتجاهين . لكن العالم

21:30الحقيقي يحتاج إلى

21:31حدود ، لذا نأخذ جزءاً

21:32واحداً فقط . يصبح ذلك

21:34قطعة مستقيمة . دع

21:35طرفاً واحداً فقط

21:36يستمر إلى الأبد . يصبح

21:37ذلك شعاعاً . لنجعل

21:39الآن خطين يلتقيان .

21:40إنهما يشكلان زاوية .

21:42الهندسة لا تقيس

21:43المسافات فقط . بل تقيس

21:44الانعطاف أيضاً .

21:45الزاوية القائمة

21:47قياسها 90 درجة . زاوية

21:48واحدة قياسها 30 درجة .

21:50زاويتها المتتامة

21:52تساوي 90-30 = 60 درجة .

21:54زاوية أخرى قياسها 130

21:56درجة . زاويتها

21:58المتكاملة تساوي 180-130 =

22:0150 درجة . تخيل خطين

22:03يتقاطعان . إذا كانت

22:05إحدى الزوايا 70 درجة ،

22:07فالزاوية المقابلة

22:08لها بالرأس تساوي 70

22:09درجة أيضاً . الزاوية

22:11المتبقية تساوي 180-70 =

22:14110 درجة . زاوية واحدة

22:16تكشف فوراً عن كل

22:17الزوايا الأخرى . الآن

22:19ارسم خطاً يقطع خطين

22:20متوازيين . الزوايا

22:22المتبادلة داخلياً

22:23تبقى متساوية . الزوايا

22:25المتناظرة تبقى

22:26متساوية . مجموع

22:27الزوايا المتحالفة

22:29يساوي دائماً 180 درجة .

22:30إذا كانت إحدى الزوايا

22:3365 درجة ، تصبح الأخرى

22:36180-65 = 115 درجة . الآن صل

22:38بين ثلاث قطع مستقيمة .

22:40يظهر مثلث . يصبح أحد

22:42أقوى الأشكال في

22:43الهندسة لأنه لا يغير

22:44شكله بسهولة . كل مثلث

22:46يتبع قاعدة شهيرة

22:47واحدة . خذ مثلثاً

22:49واحداً . زاوية واحدة

22:50تساوي 50 درجة . أخرى

22:52تساوي 60 درجة . 180-50 = 130 .

22:57130-60 = 70 درجة . يجب أن

23:00تكون الزاوية الثالثة

23:0270 درجة . الآن ، قاعدة

23:04أخرى . الزاوية

23:05الخارجية تساوي

23:06دائماً مجموع

23:07الزاويتين الداخليتين

23:08المقابلتين . الهندسة

23:09تسمح لحساب بسيط بكشف

23:11معلومات خفية . الآن ،

23:13قارن بين مثلثين .

23:14أحدهما أضلاعه ثلاثة ،

23:16وأربعة ، وخمسة . والآخر

23:18أضلاعه ستة ، وثمانية ،

23:19وعشرة . 3 * 2 = 6 . 4 * 2 = 8 . 5 * 2 = 10 .

23:26تضاعف كل ضلع ، لكن

23:28الشكل بقي كما هو . هذا

23:30يسمى التشابه . هذه

23:31الفكرة تجعل الخرائط

23:32والمخططات ممكنة . الآن

23:34، تبدأ الهندسة بقياس

23:36المساحة . المحيط يعني

23:37الحدود الكلية . خذ

23:38مستطيلاً طوله ثمانية

23:40وعرضه خمسة . يصبح

23:42المحيط 26 وحدة .

23:43المساحة تخبرنا كم من

23:45المكان يقع في الداخل .

23:468 * 5 = 40 . تصبح المساحة 40

23:49وحدة مربعة . المثلث له

23:51قاعدة مفيدة أخرى . خذ

23:53قاعدة طولها 10

23:54وارتفاعاً مقداره 6 . 10 * 6

23:56= 60 . 60/2 = 30 . تصبح

24:00المساحة 30 وحدة مربعة .

24:02الآن زد عدد الأضلاع .

24:04خمسة أضلاع تشكل

24:05خماسياً . ستة أضلاع

24:07تشكل سداسياً . ثمانية

24:08أضلاع تشكل ثمانياً .

24:10معاً ينتمون إلى عائلة

24:12تسمى المضلعات . كل

24:13مضلع يتبع نمطاً

24:14جميلاً واحداً . خذ

24:16شكلاً سداسياً . 6-2 = 4 . 4 *

24:20180 = 720 درجة . معادلة

24:24واحدة تعمل لكل مضلع .

24:26الهندسة الآن هي أكثر

24:27بكثير من مجرد رسم . لقد

24:29أصبحت لغة منطقية حيث

24:30كل خط ، وكل زاوية ، وكل

24:32شكل يتبع قواعد دقيقة .

24:34لكن حتى الآن كان كل

24:35شكل مسطحاً . في الجزء

24:37التالي ، تغادر

24:38الهندسة الصفحة ،

24:39وتدخل الأبعاد

24:40الثلاثة ، وتبدأ في وصف

24:41العالم الحقيقي . الطول

24:43، والعرض ، والارتفاع

24:44تتحد لإنشاء أجسام

24:46حقيقية . هنا تبدأ

24:47الهندسة في وصف العالم

24:48من حولنا . ابدأ بدائرة .

24:50كل نقطة على محيطها

24:52تبعد المسافة نفسها عن

24:53المركز . تلك المسافة

24:55تصبح نصف القطر . ضاعف

24:57نصف القطر وستحصل على

24:58القطر . إذا كان نصف

25:00القطر يساوي خمسة ،

25:01يصبح القطر عشرة . الآن

25:03احسب الحدود . هذا يصبح

25:05المحيط . خذ نصف قطر

25:06مقداره سبعة . يصبح

25:08المحيط 14 باي . الآن

25:10احسب المساحة بالداخل .

25:11خذ نصف قطر مقداره ستة .

25:13تصبح المساحة 36 باي .

25:15ازداد نصف القطر مرتين

25:17فقط ، لكن المساحة نمت

25:18بشكل أسرع بكثير . الآن

25:19انتقل إلى الأشكال

25:20الصلبة . المربع يصبح

25:22مكعباً . المكعب يعلمنا

25:24فكرة جديدة . الحجم .

25:25الحجم يخبرنا بمقدار

25:27الفراغ الموجود داخل

25:28الجسم . خذ ضلعاً طوله

25:29أربعة . أربعة مضروبة

25:31في أربعة تساوي 16 . 16

25:32مضروبة في أربعة تساوي

25:3564 . يصبح الحجم 64 وحدة

25:37مكعبة . الآن تخيل

25:38دائرة تتحرك للأعلى .

25:39إنها تخلق أسطوانة . خذ

25:41نصف قطر ثلاثة

25:42وارتفاعاً قدره خمسة .

25:43يصبح الحجم 45 باي وحدة

25:45مكعبة . قلص قمة تلك

25:47الأسطوانة إلى نقطة

25:48واحدة وسيظهر مخروط .

25:50خذ نفس نصف القطر

25:51ثلاثة والارتفاع ستة .

25:52يصبح الحجم 18 باي وحدة

25:55مكعبة . أزل كل حافة ولن

25:57يتبقى سوى سطح منحني

25:58مثالي ، كرة . خذ نصف قطر

26:00قدره ثلاثة . يصبح

26:02الحجم 36 باي وحدة

26:03مكعبة . الآن تصبح

26:04الهندسة أرقاماً على

26:06رسم بياني . تحصل كل

26:07نقطة على عنوان . تلك

26:09الفكرة تصبح الهندسة

26:10الإحداثية . خذ النقطة

26:12اثنين وثلاثة والنقطة

26:13ستة وسبعة . التغير

26:15الأفقي يساوي ستة ناقص

26:16اثنين ويساوي أربعة .

26:18التغير الرأسي يساوي

26:19سبعة ناقص ثلاثة

26:20ويساوي أربعة . المسافة

26:22بينهما تتبع قاعدة

26:23شهيرة واحدة . تصبح

26:24المسافة الجذر

26:26التربيعي لـ 32 . الآن

26:27تصبح الهندسة حركة .

26:29أزح كل نقطة ثلاث

26:30وحدات لليمين . ذلك

26:31يصبح انسحاباً . أدر

26:33شكلاً 90 درجة حول نقطة

26:35ثابتة . ذلك يصبح

26:36دورانًا . اقلب الشكل

26:38عبر خط واحد . ذلك يصبح

26:40انعكاساً . اجعل كل ضلع

26:42أكبر بمرتين . ذلك يصبح

26:44تكبيراً . أصبح الضلع

26:46أكبر بمرتين ، لكن

26:47المساحة أصبحت أكبر

26:48بأربع مرات . هذا هو

26:49السبب في أن التشابه

26:51مهم جداً في الخرائط ،

26:52والمخططات ، والهندسة

26:53المعمارية . الآن تكشف

26:54الهندسة عن إحدى أشهر

26:56نظرياتها . خذ مثلثاً

26:57قائماً بضلعين طولهما

26:59ثلاثة وأربعة . ثلاثة

27:00مضروبة في ثلاثة تساوي

27:02تسعة . أربعة مضروبة في

27:04أربعة تساوي 16 . 9 + 16 = 25 .

27:08الجذر التربيعي لـ 25

27:10يساوي 5 . معادلة بسيطة

27:12واحدة تقيس الارتفاع ،

27:13والوتر ، والمسافة في

27:15كل مكان ، من المباني

27:16إلى الملاحة . في الجزء

27:18الأخير ، تتصل الهندسة

27:19بالمتجهات ، والتماثل ،

27:20والهندسة ، والأقمار

27:21الصناعية ، ونظام

27:22تحديد المواقع ، ورسوم

27:23الحاسوب ، وتفسر سبب

27:25كونها واحدة من أقوى

27:26اللغات التي تم

27:27ابتكارها على الإطلاق .

27:28الهندسة لا تتوقف عند

27:29الأشكال . إنها تصبح

27:31اللغة المستخدمة لوصف

27:32الفراغ ، والاتجاه ،

27:34والحركة . ابدأ بمتجه .

27:35النقطة تحدد الموقع

27:37فقط ، أما المتجه فيحدد

27:38المسافة والاتجاه

27:40معاً . والآن ، انظر إلى

27:41التماثل . اطوِ مربعاً

27:43من منتصفه ، وسيتطابق

27:44النصفان تماماً . يسمى

27:46ذلك تماثلاً خطياً .

27:47دُر نفس المربع بزاوية

27:4990 درجة ، وسيظل كما هو .

27:51يسمى ذلك تماثلاً

27:52دورانياً . غالباً ما

27:54تخفي الهندسة أنماطاً

27:55جميلة داخل أشكال

27:56بسيطة . والآن ، فكّر في

27:57العالم الحقيقي . يعتمد

27:59الجسر على المثلثات

28:00لأن المثلث يحافظ على

28:02شكله . تعتمد العجلة

28:03على الدائرة لأن كل

28:04نقطة تبعد المسافة

28:06نفسها عن المركز . تبدو

28:07كرة القدم ككُرة لأن

28:09الكرة تمنح أكبر حجم

28:10ممكن قياساً بمساحتها .

28:12الهندسة في كل مكان

28:13بمجرد أن تعرف كيف

28:14تراها . حتى الملاحة

28:16تعتمد على الهندسة .

28:17يمكن كتابة أي موقع

28:18على الأرض باستخدام

28:19الإحداثيات . يحسب نظام

28:21تحديد المواقع ( GPS )

28:22المسافة والاتجاه في

28:23كل ثانية . تحدد

28:24الأقمار الصناعية

28:25موقعك باستخدام

28:26حسابات هندسية . كل

28:27مسار على خريطتك يبدأ

28:29بالهندسة . تعتمد

28:30الرسوميات الحاسوبية

28:31أيضاً على الهندسة .

28:32تبدأ كل شخصية في

28:34الألعاب ، وكل فيلم

28:35متحرك ، وكل نموذج

28:36ثلاثي الأبعاد كنقاط

28:38متصلة بخطوط ومثلثات .

28:39العالم الافتراضي

28:40المعقد ليس سوى ملايين

28:42الأشكال الهندسية

28:43البسيطة التي تعمل

28:44معاً . والآن ، ابتعد عن

28:46المشهد تماماً . من

28:47نقطة بلا أبعاد ، إلى

28:48خط ، إلى زاوية ، إلى

28:50مثلث ، إلى مضلع ، إلى

28:51دائرة ، إلى إحداثيات ،

28:53إلى فضاء ثلاثي

28:54الأبعاد . الهندسة تبني

28:56عالماً كاملاً ببطء .

28:59كيف تقيس ارتفاع جبل

29:01دون تسلقه ؟ أو عرض نهر

29:03دون عبوره ؟ لا تحتاج

29:05دائماً إلى قياسه . في

29:06بعض الأحيان ، يمكنك

29:08حسابه . هذه الفكرة هي

29:09التي ولدت علم

29:10المثلثات . كل شيء يبدأ

29:12بمثلث قائم الزاوية

29:13واحد . المثلث قائم

29:14الزاوية يحتوي على

29:15زاوية واحدة تساوي 90

29:17درجة . يسمى الضلع

29:18الأطول بالوتر ، ويسمى

29:19الضلعان الآخران

29:20بضِلعي القائمة .

29:22الفكرة القوية الأولى

29:23في علم المثلثات هي

29:25نظرية فيثاغورس . تقول

29:26إن مربع الوتر يساوي

29:28مربع الضلع الأول زائد

29:30مربع الضلع الثاني .

29:31لنُجرب ذلك فوراً . ضلع

29:34يساوي ثلاثة والضلع

29:35الآخر يساوي أربعة .

29:37مربع الثلاثة يساوي

29:39تسعة . مربع الأربعة

29:41يساوي 16 . تسعة زائد 16

29:43يساوي 25 . الجذر

29:45التربيعي لـ 25 يساوي

29:47خمسة . دون قياس أي شيء ،

29:49وجدنا الضلع المفقود .

29:51الآن تخيل موقفاً

29:52مختلفاً . أنت تعرف فقط

29:54ضلعاً واحداً وزاوية

29:55واحدة . نظرية فيثاغورس

29:57لم تعد قادرة على

29:58المساعدة . نحتاج إلى

29:59فكرة أخرى . قبل ذلك ،

30:01لنفهم الزوايا . الدورة

30:03الكاملة تساوي 360 درجة .

30:06نصف الدورة يساوي 180

30:08درجة . الربع الواحد

30:09يساوي 90 درجة . يحتوي أي

30:12مثلث على زوايا

30:13مجموعها دائماً 180

30:15درجة . على سبيل المثال

30:17، زاوية تساوي 90 درجة

30:19وأخرى تساوي 40 درجة .

30:21الزاوية المتبقية

30:23تساوي 180 ناقص 90 ناقص 40

30:25يساوي 50 درجة . الآن ،

30:27اختر زاوية حادة واحدة

30:29. يُسمى الضلع المقابل

30:31لتلك الزاوية بالضلع

30:32المقابل . الضلع

30:34الملاصق للزاوية ،

30:35باستثناء الوتر ،

30:36يُسمى الضلع المجاور .

30:38يظل الضلع الأطول هو

30:40الوتر . تنتج كل الدوال

30:42المثلثية من هذه

30:43الأضلاع الثلاثة فقط .

30:45الدالة الأولى هي

30:46الجيب ( sin ) . الجيب يساوي

30:48المقابل مقسوماً على

30:49الوتر . لنفترض أن

30:51الضلع المقابل يساوي 5

30:53والوتر يساوي 13 . 5/13

30:55يساوي تقريباً 0.385 .

31:00الدالة الثانية هي جيب

31:02التمام ( cosine ) . جيب

31:03التمام يساوي المجاور

31:04مقسوماً على الوتر .

31:06لنفترض أن الضلع

31:07المجاور يساوي 12

31:09والوتر يساوي 13 . 12/13

31:11يساوي تقريباً 0.923 .

31:15الآن ، الدالة الثالثة .

31:16الظل ( tangent ) = المقابل /

31:18المجاور . لنفترض أن

31:20الضلع المقابل = 5

31:22والضلع المجاور = 12 . 5/12

31:24= يساوي تقريباً 0.417 .

31:28الآن ، لنستخدم هذه

31:29الدوال . سلم طوله 10

31:31أمتار يستند إلى حائط .

31:32الزاوية مع الأرض = 30

31:35درجة . إلى أي ارتفاع

31:36يصل السلم ؟ الارتفاع

31:38المجهول هو الضلع

31:39المقابل ، والسلم هو

31:41الوتر . إذن ، جا 30 =

31:43الارتفاع / 10 . اضرب كلا

31:46الطرفين في 10 .

31:47الارتفاع = 10 × جا 30 . جا

31:5130 = 1/2 . 10 × 1/2 = 5 . يصل

31:55السلم إلى ارتفاع 5

31:57أمتار . الآن ، لنعمل

31:59بشكل عكسي . الضلع

32:00المقابل = 6 . الوتر = 10 .

32:036/10 = 0.6 . الآن ، اطرح

32:06سؤالاً مختلفاً . ما هي

32:07الزاوية التي جيبها

32:09يساوي 0.6 ؟ استخدم دالة

32:10الجيب العكسية .

32:11الإجابة تساوي

32:13تقريباً 36.9 درجة . الآن

32:15، يمكننا إيجاد ضلع

32:17مجهول من زاوية واحدة ،

32:18كما يمكننا إيجاد

32:19زاوية مجهولة من نسبة

32:21واحدة . هذا يجعل علم

32:22المثلثات أقوى بكثير

32:24من نظرية فيثاغورس .

32:25لكن ، يظل هناك سؤال

32:27كبير واحد . كل ما

32:29فعلناه يعمل فقط مع

32:30المثلث قائم الزاوية .

32:32ماذا لو كانت الزاوية

32:33تساوي 120 درجة ؟ المثلث

32:35قائم الزاوية لا يمكنه

32:37تفسير ذلك . للإجابة

32:38على هذا السؤال ، يجب

32:40أن نترك المثلث خلفنا

32:41وننتقل إلى الفكرة

32:42الأهم في علم المثلثات

32:44، دائرة الوحدة . لفهم

32:45كل الزوايا الممكنة ،

32:47نحتاج إلى تصور جديد .

32:49بدلاً من رسم مثلث

32:50قائم تلو الآخر ، ارسم

32:52دائرة واحدة . ضع

32:53مركزها عند نقطة الأصل

32:55، واجعل نصف قطرها

32:56يساوي واحدًا . تسمى

32:58هذه بدائرة الوحدة .

32:59ابدأ عند النقطة ( 1,0 ) .

33:02هذه النقطة تمثل 0 درجة

33:04. الآن ، در حول الدائرة

33:07. دورة ربعية تأخذك إلى

33:0990 درجة . دورة ربعية

33:11أخرى تأخذك إلى 180 درجة

33:13. دورة ربعية أخرى

33:15تأخذك إلى 270 درجة .

33:17دورة كاملة تعيدك إلى

33:20360 درجة . على عكس

33:22المثلث قائم الزاوية ،

33:23تسمح لنا دائرة الوحدة

33:25بدراسة أي زاوية . خذ أي

33:27نقطة على دائرة الوحدة

33:28. إحداثيها الأفقي

33:30يساوي جيب التمام

33:31وإحداثيها الرأسي

33:32يساوي الجيب . عند 0

33:34درجة ، تكون النقطة ( 1,0 ) .

33:37جيب تمام 0 درجة = 1 . جيب

33:400 درجة = 0 . الآن ، ندور

33:43إلى 90 درجة . تصبح

33:45النقطة 0 , 1 . جيب تمام 90

33:48درجة = 0 . جيب 90 درجة = 1 .

33:51ندور إلى 180 درجة . تصبح

33:54النقطة -1 , 0 . جيب تمام 180

33:58درجة = -1 . جيب 180 درجة = 0 .

34:02ندور مجددًا إلى 270

34:05درجة . تصبح النقطة 0 , -1 .

34:08جيب تمام 270 درجة = 0 .

34:12الجيب عند 270 درجة = -1 .

34:15دون حل أي مثلث ، نحن

34:17نعرف بالفعل قيم الجيب

34:19وجيب التمام لأربع

34:21زوايا هامة . الآن ،

34:22دعنا نتحرك بينها . عند

34:2430 درجة ، جيب التمام =

34:27الجذر التربيعي لـ 3/2 ،

34:29بينما الجيب = 1/2 . عند 45

34:31درجة ، جيب التمام =

34:33الجذر التربيعي لـ 2/2 ،

34:35والجيب أيضًا = الجذر

34:37التربيعي لـ 2/2 . عند 60

34:39درجة ، جيب التمام = 1/2 ،

34:42بينما الجيب = الجذر

34:44التربيعي لـ 3/2 . لاحظ

34:46النمط . بينما تزداد

34:48الزاوية من 0 درجة إلى

34:4990 درجة ، يصبح جيب

34:51التمام أصغر ، بينما

34:52يصبح الجيب أكبر . الآن

34:54لنحسب الظل . الظل

34:55يساوي الجيب مقسومًا

34:57على جيب التمام . عند 45

34:58درجة ، قسمتهما تعطي

35:00واحدًا . إذًا ، ظل 45

35:03درجة = 1 . الآن جرب 60

35:05درجة . الجيب = الجذر

35:07التربيعي لـ 3/2 . جيب

35:10التمام = 1/2 . اقسمهما . =

35:12الجذر التربيعي لـ 3 .

35:14إذًا ، ظل 60 درجة =

35:15الجذر التربيعي لـ 3 .

35:17الآن انظر إلى نمط آخر .

35:19دائرة الوحدة لها

35:20أربعة أرباع . في الربع

35:22الأول ، الجيب وجيب

35:23التمام كلاهما موجب .

35:25في الربع الثاني ، يظل

35:26الجيب موجبًا ، لكن جيب

35:28التمام يصبح سالبًا .

35:29في الربع الثالث ،

35:30كلاهما يصبح سالبًا .

35:32في الربع الرابع ، يصبح

35:33جيب التمام موجبًا

35:35مجددًا ، بينما يظل

35:36الجيب سالبًا . معرفة

35:37الربع وحده تخبرك

35:38غالبًا ما إذا كانت

35:40الإجابة يجب أن تكون

35:41موجبة أم سالبة . الآن

35:42دعنا نرسم الجيب

35:44كمنحنى بياني . المحور

35:45الأفقي يمثل الزاوية .

35:47المحور الرأسي يمثل

35:49الجيب . عند 0 درجة

35:51الجيب يساوي 0 . عند 90

35:53درجة الجيب يساوي 1 .

35:55عند 180 درجة يعود الجيب

35:58إلى 0 . عند 270 درجة يصبح

36:01الجيب -1 . عند 360 درجة

36:03يعود الجيب إلى 0

36:05مجددًا . بدلًا من خط

36:07مستقيم ، يصبح المنحنى

36:09موجة ملساء . ينشئ جيب

36:11التمام موجة مماثلة ،

36:12لكنها تبدأ عند 1 بدلًا

36:14من 0 . الظل يبدو

36:15مختلفًا تمامًا . إنه

36:17يرتفع بسرعة ، ثم ينطلق

36:18نحو المالانهاية قبل

36:19أن يبدأ مجددًا في

36:21الفترة التالية . يكشف

36:22كل منحنى كيف تتصرف كل

36:23دالة مع استمرار

36:25الزاوية في الزيادة .

36:26تحتاج موجة الجيب

36:27الواحدة الكاملة إلى

36:29360 درجة لتتكرر . تلك

36:31المسافة تسمى الدورة .

36:33إذا أصبحت الدورة 180

36:34درجة ، تتكرر الموجة

36:36مرتين بنفس السرعة .

36:38إذا أصبحت الدورة 720

36:40درجة ، تتمدد الموجة

36:41لضعف طولها الأصلي .

36:43فكرة أخرى هامة هي

36:45السعة . تخيل رسم دالة

36:47الجيب وهي تتراوح عادة

36:48بين موجب واحد وسالب

36:50واحد . الآن اضرب دالة

36:52الجيب في ثلاثة . تصبح

36:53أعلى نقطة هي موجب

36:55ثلاثة . وتصبح أدنى

36:57نقطة هي سالب ثلاثة .

36:59التحويل الأخير هو

37:01إزاحة الطور . لنفترض

37:02أن الرسم يبدأ عادة

37:04عند صفر درجة . الآن حرك

37:06كل نقطة بمقدار 30 درجة

37:08لليمين . ينزلق الموج

37:09بأكمله دون تغيير شكله

37:11. تغير السعة الارتفاع .

37:13وتغير الفترة العرض .

37:14وتغير إزاحة الطور

37:16الموقع . معاً ، تسمح

37:17للدالة المثلثية

37:19بنمذجة الصوت ، والضوء

37:20، وموجات المحيط ،

37:21واهتزازات الزلازل ،

37:23والتيار الكهربائي

37:24المتردد . الآن نصل إلى

37:26الفصل الأخير من

37:27رحلتنا السريعة . نتعلم

37:28الآن كيف ترتبط كل

37:30دالة مثلثية بالأخرى .

37:32أول وأهم متطابقة تأتي

37:34مباشرة من دائرة

37:35الوحدة . قد تبدو

37:37كمعادلة أخرى ، لكنها

37:38في الحقيقة نظرية

37:40فيثاغورس في ثوب جديد .

37:42لنتحقق من ذلك عند 30

37:44درجة ، حيث جيب الزاوية

37:47= 1/2 وجيب تمامها = جذر

37:493/2 . مربع 1/2 يساوي 1/4 .

37:52مربع جذر 3/2 يساوي 3/4 . 1/4

37:57+ 3/4 = 1 . تعمل هذه

38:00المتطابقة مع كل

38:01الزوايا . الآن ، لنحل

38:03معادلة مثلثية . لنفترض

38:05أن جيب زاوية ما = 1/2 . ما

38:07هي الزوايا التي تحقق

38:09المعادلة ؟ 30 درجة تعمل

38:11. لكن ، توجد زاوية أخرى

38:13. 150 درجة تعطي أيضاً 1/2 .

38:16على عكس العديد من

38:18المعادلات الجبرية ،

38:19غالباً ما تملك

38:20المعادلة المثلثية

38:21أكثر من حل . الآن ، حالة

38:23أخرى . جيب تمام زاوية

38:26ما = -1 . فقط 180 درجة تحقق

38:28هذا الشرط في دورة

38:30كاملة واحدة . ظل زاوية

38:33ما يساوي واحد . 45 درجة

38:35تعمل . 225 درجة تعمل

38:38أيضاً . لأن الظل يكرر

38:41نفسه كل 180 درجة . هذا

38:43السلوك التكراري يجعل

38:44المعادلة المثلثية

38:46مختلفة عن المعادلات

38:47العادية . الآن ، لنترك

38:48المثلث القائم للمرة

38:50الأخيرة . تخيل مثلثاً

38:52بدون زاوية قائمة .

38:53النسب القديمة لم تعد

38:55كافية . نحتاج إلى

38:56قاعدتين جديدتين .

38:58الأولى هي قانون الجيب

38:59. يربط كل ضلع بجيب

39:01الزاوية المقابلة له .

39:03لنفترض طول ضلع يساوي

39:0510 ، والزاوية المقابلة

39:0730 درجة ، وزاوية أخرى 60

39:09درجة ، والضلع المقابل

39:11مجهول . الضلع المجهول

39:13مقسوماً على جيب 60

39:14درجة يساوي 10 مقسوماً

39:16على جيب 30 درجة . جيب 60

39:18درجة يساوي جذر 3

39:20مقسوماً على 2 . جيب 30

39:22درجة يساوي 1/2 . إذاً ،

39:25الضلع المجهول يساوي 10

39:28مضروباً في جذر 3 ، أي

39:30حوالي 17.32 . الآن

39:32القاعدة الثانية ،

39:33قانون جيب التمام .

39:35لنفترض طولي ضلعين 5 و 7

39:37، والزاوية بينهما

39:39تساوي 60 درجة . مربع

39:42الضلع الثالث يساوي 5

39:44تربيع زائد 7 تربيع

39:46ناقص 2 في 5 في 7 في جيب

39:48تمام 60 درجة . الضلع

39:50الثالث يساوي الجذر

39:52التربيعي لـ 39 ، أي

39:54حوالي 6.24 . علم

39:56المثلثات يظهر في كل

39:57مكان . عندما تنتقل

39:59موجة صوتية عبر الهواء

40:00، فإنها تتبع موجة

40:01جيبية . عندما يتحرك

40:03التيار الكهربائي عبر

40:04سلك ، فإنه يتبع موجة

40:06جيبية . في كل مرة يتكرر

40:07فيها شيء بنمط سلس ،

40:09يصفه علم المثلثات

40:11بهدوء . تتحرك سيارة

40:14بسرعة 20 كم / ساعة ، ثم 40 ،

40:17ثم 70 ، ثم 100 . تتغير

40:20سرعتها في كل ثانية .

40:21تخيل الآن محاولة حساب

40:23سرعتها الدقيقة في

40:25لحظة واحدة فقط ، ليس

40:26بعد ثانية ، وليس قبل

40:28ثانية ، بل في لحظة

40:29محددة . ذلك السؤال

40:31الصغير عطل الرياضيات

40:32تماماً لقرون ؛ لأن

40:33الأشياء المتحركة

40:34تتغير باستمرار ، ولم

40:36تكن لدى الرياضيات

40:37القديمة أي فكرة عن

40:38كيفية وصف التغير

40:39المستمر بشكل صحيح .

40:40وتحت كل مظاهر الحضارة

40:42الحديثة ، الصواريخ ،

40:43الذكاء الاصطناعي ،

40:44نظام تحديد المواقع ( GPS

40:46) ، الكهرباء ، الاقتصاد

40:47، الهندسة ، وحتى

40:48الجهاز الذي تشاهد هذا

40:50عليه ، يختبئ تحت كل

40:51ذلك فرع مخيف من

40:52الرياضيات ، وهو

40:53التفاضل والتكامل .

40:55اللغة الرياضية التي

40:56اخترعها البشر لفهم

40:57التغير نفسه ؛ لأنه

40:59لآلاف السنين ، لم

41:00يستطع أحد الإجابة عن

41:01أسئلة تبدو بسيطة مثل :

41:03ما مدى سرعة تحرك شيء

41:04ما الآن ؟ ما هي كمية

41:05المياه التي تتدفق

41:06بالضبط عبر أنبوب ؟ كيف

41:08يعرف الكوكب وجهته

41:09التالية ؟ كيف تتحرك

41:11الكهرباء ؟ تبدو تلك

41:12الأسئلة مختلفة

41:13تماماً ، لكنها تعتمد

41:15جميعاً سراً على الشيء

41:16نفسه : التغير . وبمجرد

41:18أن تعلم البشر كيفية

41:19التنبؤ بالتغير

41:20رياضياً ، ازدهرت

41:21الحضارة بشكل هائل . ثم

41:23، في القرن السابع عشر

41:24، اخترع إنسانان بشكل

41:26مستقل شيئاً قوياً

41:27جداً لدرجة أنه غير

41:28الواقع نفسه للأبد ،

41:30وهما إسحاق نيوتن

41:31وغوتفريد فيلهلم

41:32لايبنتز . أراد نيوتن

41:33فهم الجاذبية . لماذا

41:35يستمر القمر في

41:36الدوران حول الأرض إلى

41:37الأبد دون أن يصطدم

41:38بها ؟ لماذا تتحرك

41:39الكواكب في مسارات

41:40منحنية ؟ في الوقت نفسه

41:42، تخيل لايبنتز شيئاً

41:43أكثر غرابة . ماذا لو

41:44أمكن تقسيم الواقع

41:45نفسه إلى قطع صغيرة

41:46جداً بشكل لا نهائي ؟

41:47لحظات متناهية الصغر ،

41:49مسافات متناهية الصغر

41:50، تغيرات متناهية

41:51الصغر ؛ وهو أمر يبدو

41:52جنونياً ، لكن الواقع

41:53سمح به بطريقة ما ،

41:54وهكذا ولد علم التفاضل

41:55والتكامل ، كآلة

41:56للتنبؤ بالتغير ذاته .

41:57قبل المشتقات ، وقبل

41:58التكاملات ، وقبل

41:59المعادلات التفاضلية ،

42:00يبدأ التفاضل

42:01والتكامل بالنهايات ؛

42:03لأن النهايات تحل

42:04مشكلة الكميات

42:04المتناهية الصغر

42:05الهائلة . تدرس النهاية

42:07ما يحدث عندما يقترب

42:08شيء ما بشكل كبير من

42:09قيمة معينة . على سبيل

42:12المثال ، دالة س = ( س ^ 2 - 1 )

42:15/ ( س - 1 ) . إذا عوضنا عن س بـ

42:171 مباشرة ، نحصل على 0/0 ،

42:19وهي قيمة غير معرفة .

42:21لذا ، في البداية ، تبدو

42:23الدالة معطلة . لكن ، قم

42:24بتحليل البسط . تصبح ( س ^

42:262 - 1 ) مساوية لـ ( س - 1 )

42:28مضروبة في ( س + 1 ) . يتم

42:31اختصار ( س - 1 ) ، وفجأة

42:33تصبح الدالة ( س + 1 ) .

42:35الآن ، أصبح حساب

42:36النهاية أمراً سهلاً .

42:37بينما تقترب س من 1 ،

42:39تقترب ( س + 1 ) من 2 . إذن ،

42:41النهاية تساوي 2 . أصبحت

42:43تلك الفكرة الصغيرة

42:44أساس كل التفاضل

42:45والتكامل . تفسر

42:46النهايات أيضاً مفهوم

42:47الاتصال . تكون الدالة

42:49مستمرة إذا كان رسمها

42:50البياني لا يحتوي على

42:51انقطاعات مفاجئة . دالة

42:52f ( x ) = x ^ 2 مستمرة لأن

42:54الرسم البياني يتدفق

42:55بسلاسة . لكن دالة f ( x ) = 1

42:58/ x تنقطع عند x = 0 لأن

43:00القسمة على صفر

43:01مستحيلة . تسمح

43:03النهايات لعلماء

43:04الرياضيات بدراسة

43:04السلوك بالقرب من

43:05النقاط المستحيلة .

43:06وفجأة ، توقفت

43:07اللانهاية عن كونها

43:09مرعبة . ثم اكتشف

43:10التفاضل والتكامل

43:11شيئاً أكثر غرابة .

43:12تبدأ المنحنيات في

43:13التصرف مثل الخطوط

43:14المستقيمة عندما تقرب

43:15الصورة بما فيه

43:16الكفاية . من بعيد ،

43:17تبدو المنحنيات

43:18منحنية . لكن عند تقريب

43:20أي منحنى سلس تقريباً ،

43:21يبدأ في الظهور كخط

43:22مستقيم . هذه الخدعة

43:24البسيطة غيرت

43:24الرياضيات إلى الأبد

43:26لأن الخطوط المستقيمة

43:27سهلة ، بينما

43:27المنحنيات صعبة . لذا ،

43:29يعامل التفاضل

43:29والتكامل المنحنيات

43:30كمليارات القطع

43:31المستقيمة الصغيرة .

43:32وفجأة ، تصبح الحركة

43:34المستحيلة قابلة للحل .

43:35الآن ، نصل إلى جوهر

43:36التفاضل والتكامل .

43:38المشتقات . تقيس

43:39المشتقة مدى سرعة تغير

43:41شيء ما . هذا كل شيء .

43:43عداد السرعة في سيارتك

43:44يقيس حرفياً مشتقة لأن

43:46السرعة تقيس مدى تغير

43:47الموقع بمرور الوقت .

43:48صيغة المشتقة هي f ' ( x )

43:51تساوي نهاية f ( x + h )

43:53ناقص f ( x ) مقسوماً على h

43:55عندما تقترب h من الصفر

43:57. هذه الصيغة المرعبة

43:59تقيس ببساطة تغيراً

44:00ضئيلاً مقسوماً على

44:01تغير ضئيل . دعونا نحسب

44:03واحدة بشكل صحيح .

44:04افترض أن f ( x ) تساوي x

44:06تربيع . عوض في تعريف

44:08المشتقة . f ' ( x ) تساوي

44:10نهاية ( x + h ) تربيع ناقص

44:12x تربيع مقسوماً على h

44:14عندما تقترب h من الصفر

44:16. فك القوس . ( x + h ) تربيع

44:18تصبح x تربيع زائد 2xh

44:20زائد h تربيع . عوض مرة

44:23أخرى . تختفي x تربيع

44:24ويتبقى 2xh زائد h تربيع

44:25مقسوماً على h . استخرج h

44:27كعامل مشترك . يتم

44:28اختصار h . الآن نحصل

44:30على 2x زائد h . عندما

44:32تقترب h من الصفر ، تصبح

44:34المشتقة 2x . حساب

44:35المشتقات من التعريف

44:36في كل مرة سيكون

44:37عذاباً . لذا ، طور

44:38علماء الرياضيات

44:40قواعد مختصرة . قاعدة

44:41القوة تقول إن مشتقة x

44:43أس n تساوي n مضروبة في x

44:45أس n ناقص واحد . مشتقة x

44:48أس 5 تصبح 5x أس 4 . مشتقة x

44:51أس 7 تصبح 7x أس 6 . مشتقة

44:55جذر x تصبح 1 مقسوماً

44:57على 2 جذر x . ثم جاءت

44:58قاعدة الثابت . مشتقة

45:00أي ثابت تساوي صفراً

45:02لأن الثوابت لا تتغير

45:04أبداً . مشتقة 5 تساوي

45:06صفراً . مشتقة 100 تساوي

45:08صفراً . ثم جاءت قاعدة

45:10المجموع ، وقاعدة

45:11الطرح ، وقاعدة الضرب

45:12في ثابت . فجأة أصبحت

45:14التعبيرات الضخمة

45:15قابلة للحل . ثم دخل

45:16التفاضل والتكامل في

45:18علم المثلثات . مشتقة sin

45:19x تساوي cos x . مشتقة cos x

45:21تساوي سالب sin x . مشتقة

45:24tan x تساوي sec تربيع x .

45:26أصبحت هذه القواعد

45:27ضرورية للموجات ،

45:29والتذبذبات ، والصوت ،

45:31والكهرباء ، والفيزياء

45:33لأن الواقع يعشق

45:34الدورات المتكررة .

45:36موجات الصوت تتذبذب .

45:37موجات الضوء تتذبذب .

45:39موجات المحيط تتذبذب .

45:41التيار المتردد

45:42يتذبذب . الواقع يهتز

45:44باستمرار . ثم جاء أحد

45:46أغرب الاكتشافات في

45:47الرياضيات . مشتقة e أس x

45:49تساوي e أس x . الدالة

45:51تعيد إنتاج نفسها بعد

45:53الاشتقاق ، وهو أمر

45:54جميل بشكل غريب . ثم

45:56وصلت اللوغاريتمات .

45:57مشتقة اللوغاريتم

45:59الطبيعي لـ x تساوي 1 / x .

46:01أصبحت هذه الدوال

46:02ضرورية للنمو

46:03والاضمحلال ، والنمو

46:04السكاني ، والتحلل

46:06الإشعاعي ، والفائدة

46:07المركبة ، وانتشار

46:08الفيروسات ، والانتشار

46:10عبر الإنترنت ، لأن

46:11الواقع يعشق السلوك

46:12الأسي تماماً . الواقع

46:14فوضوي .

46:15>> عذراً .

46:15>> لذا تقوم الدوال بضرب

46:17وقسمة بعضها البعض

46:18باستمرار . دخل التفاضل

46:20والتكامل مجدداً .

46:21قاعدة الضرب تقول إن

46:23مشتقة u في v تساوي u في

46:26مشتقة v زائد v في مشتقة

46:28u . مثال ، اشتق x تربيع

46:31مضروبة في sin x . النتيجة

46:34النهائية تصبح x تربيع

46:36cos x زائد 2x sin x . ثم وصلت

46:39قاعدة القسمة . مشتقة u / v

46:41تساوي v في مشتقة u ناقص

46:44u في مشتقة v ، الكل

46:46مقسوم على v تربيع . ثم

46:49وصل التفاضل إلى واحدة

46:51من أهم أفكاره ، وهي

46:52قاعدة السلسلة . مشتقة F

46:54لـ G لـ X تساوي مشتقة

46:56الدالة الخارجية

46:57مضروبة في مشتقة

46:58الدالة الداخلية . لأن

47:00الواقع مليء بالأنظمة

47:02المتداخلة ، فدرجة

47:03الحرارة تؤثر على

47:04الضغط . الضغط يؤثر على

47:06الطقس . الطقس يؤثر على

47:07المحاصيل . المحاصيل

47:09تؤثر على الاقتصادات .

47:10تغيير يسبب المزيد من

47:12التغيير . مثال ، اشتق 3x

47:14تربيع زائد 1 الكل أس 5 .

47:17المشتقة الخارجية

47:19تصبح 5 مضروبة في 3x

47:20تربيع زائد 1 الكل أس 4 .

47:23المشتقة الداخلية

47:25تصبح 6x . اضربهم معاً .

47:27النتيجة النهائية ، 30x

47:29مضروبة في 3x تربيع

47:31زائد 1 الكل أس 4 . يعتمد

47:33الذكاء الاصطناعي

47:34الحديث بشكل كبير على

47:35هذا المبدأ تحديداً .

47:37أحياناً تصبح

47:38المعادلات معقدة . لذا

47:40ابتكر التفاضل

47:41الاشتقاق الضمني . مثال

47:43، x تربيع زائد y تربيع

47:46يساوي 25 . اشتق كلا

47:49الطرفين . مشتقة x تربيع

47:51تصبح 2x . مشتقة y تربيع

47:54تصبح 2y مضروبة في dy على

47:57dx . بالحل ، تصبح dy على dx

48:00تساوي ناقص x على y .

48:02فجأة ، أصبح بإمكان

48:03التفاضل قياس معدلات

48:04التغير الدقيقة . إذا

48:06كان الموقع يساوي t

48:07تربيع ، فإن السرعة

48:09تصبح 2t والتسارع يصبح 2

48:11. التفاضل يصف الآن

48:12الحركة ذاتها .

48:13المشتقات هي أيضاً

48:15ميول . الأرض المسطحة

48:16لها ميل صفري . الجبال

48:18الشاهقة لها ميول ضخمة

48:19. المنحدرات للأسفل

48:21لها ميل سالب . إذا

48:22تغيرت الدالة بسرعة ،

48:23تكون المشتقة كبيرة .

48:25إذا تغيرت ببطء ، تكون

48:27المشتقة صغيرة . إذا

48:28توقفت عن التغير للحظة

48:30، تصبح المشتقة صفراً .

48:32على سبيل المثال ، y

48:33تساوي x تربيع . عندما x

48:35تساوي 1 ، المشتقة

48:37تساوي 2 . عندما x تساوي 5

48:39، المشتقة تساوي 10 .

48:41يصبح الرسم البياني

48:42أكثر انحداراً فأكثر .

48:44الآن ، أصبح التفاضل

48:45قوياً حقاً لأن

48:47المشتقات لا تصف

48:48التغير فحسب ، بل تحسن

48:50الواقع . لنفترض أن

48:51شركة تريد أقصى ربح ،

48:53أو مهندساً يريد أقل

48:54استهلاك للوقود ، أو

48:56معمارياً يريد أقصى

48:57قوة باستخدام أقل قدر

48:59من المواد . تساعد

49:00المشتقات في اكتشاف

49:02القيم العظمى والصغرى .

49:03مثال : د ( س ) = - س² + 4 س + 5 .

49:09المشتقة تصبح -2 س + 4 .

49:12نساويها بالصفر . نحل

49:14المعادلة . س = 2 . هذه هي

49:16النقطة التي تحصل

49:17عندها على القيمة

49:18الصغرى أو العظمى . ثم

49:19ربط التفاضل والتكامل

49:20بين المنحنيات

49:21والخطوط المستقيمة

49:22باستخدام المماس .

49:23بالنسبة لـ ص = س² عند س

49:26= 1 ، المشتقة تساوي 2 .

49:29إذن ، ميل المماس يساوي

49:312 . باستخدام صيغة الميل

49:33والنقطة ، تصبح معادلة

49:36المماس ص = 2 س - 1 . ميل

49:38العمودي يصبح -1/2 . إذا

49:40تمددت بالونة ، ما مدى

49:42سرعة تغير نصف القطر ؟

49:44إذا انزلق سلم للأسفل ،

49:45ما مدى سرعة تحرك قمته

49:47؟ مثال : مساحة الدائرة

49:50تساوي ط نق² . نشتق

49:52بالنسبة للزمن . تأ / تز =

49:542 ط نق مضروبة في دنق / تز

49:57. فجأة ، يصبح تغير

49:59المساحة وتغير نصف

50:00القطر مترابطين . ثم

50:02أطلق التفاضل

50:03والتكامل قدرته

50:04الخارقة الثانية :

50:05التكامل . تفكك

50:06المشتقات التغير إلى

50:08قطع صغيرة . يعيد

50:09التكامل بناء الشيء

50:10الأصلي . تخيل المطر

50:12يملأ دلواً . تتراكم

50:13القطرات الصغيرة

50:15لتصبح شيئاً ضخماً .

50:16هذا هو التكامل . قاعدة

50:18التكامل الأساسية ،

50:20تكامل س أس ن بالنسبة

50:23لـ س = س أس ( ن +1 ) / ( ن +1 ) +

50:25ثابت . مثال : تكامل س²

50:28بالنسبة لـ س = س³ / 3 + ج .

50:31يظهر الثابت ( ج ) لأن

50:33المشتقات تلغي

50:34الثوابت . ثم جاءت

50:35التكاملات المحددة .

50:37تكامل من 0 إلى 2 لـ س²

50:39بالنسبة لـ س . نكامل س³

50:42/ 3 . نعوض بحدود التكامل .

50:45تصبح الإجابة 8 / 3 . هذا

50:47يعطي المساحة الدقيقة

50:48تحت المنحنى . يستطيع

50:50التفاضل والتكامل

50:51الآن قياس المناطق

50:52المنحنية بدقة ، مما

50:53يدعم الفيزياء

50:54والهندسة والاقتصاد

50:55والاحتمالات . ثم جاء

50:57التعويض ، وهو في

50:58الأساس عكس قاعدة

50:59السلسلة . مثال : تكامل 2

51:01س مضروبة في ( س² + 1 ) أس 5

51:04بالنسبة لـ س . لنفترض

51:07أن ع تساوي س² + 1 . د ع

51:09تساوي 2 س د س . يصبح

51:11التكامل هو تكامل ع أس

51:135 بالنسبة لـ ع . تصبح

51:15النتيجة ع أس 6 على 6

51:17زائد ج . نعيد التعويض .

51:19تصبح الإجابة

51:20النهائية ( س² + 1 ) أس 6

51:23على 6 زائد ج . ثم أصبح

51:25التفاضل والتكامل

51:26أكثر تقدماً مع

51:27التكامل بالتجزئة .

51:28تكامل ع د ص يساوي ع ص

51:30ناقص تكامل ص د ع . مثال :

51:32تكامل س هـ أس س

51:34بالنسبة لـ س . تصبح

51:36النتيجة س هـ أس س ناقص

51:39هـ أس س زائد ج . ثم جاءت

51:41التكاملات المثلثية .

51:43تكامل جيب س بالنسبة

51:44لـ س يساوي سالب جيب

51:45تمام س زائد ج . تكامل

51:47جيب تمام س بالنسبة لـ

51:48س يساوي جيب س زائد ج .

51:50أصبحت هذه ضرورية

51:51للموجات والاهتزازات .

51:53حتى أن التفاضل

51:54والتكامل يتعامل مع ما

51:55لا نهاية نفسه . مثال :

51:56تكامل من واحد إلى ما

51:58لا نهاية لـ 1 على س²

52:00بالنسبة لـ س . على

52:01الرغم من المسافة

52:02اللانهائية ، تصبح

52:03المساحة الكلية

52:04محدودة ، وهو ما يبدو

52:05مستحيلاً ولكنه صحيح

52:06رياضياً . ثم توسع علم

52:08التفاضل والتكامل

52:09ليشمل المعادلات

52:10التفاضلية ، وهي

52:11معادلات تصف كيفية

52:12تطور الأنظمة بأكملها

52:13عبر الزمن . على سبيل

52:14المثال ، dy على dt يساوي

52:17ky . وهذا يعني أن معدل

52:18النمو يتناسب مع

52:19الكمية الحالية . يصبح

52:21الحل y = c مضروبة في e أس

52:24kt . تفسر هذه المعادلة

52:25النمو السكاني ،

52:26وانتشار الفيروسات ،

52:27والفائدة المركبة ،

52:28والتحلل الإشعاعي ،

52:29والانتشار الفيروسي

52:30عبر الإنترنت . ثم وصفت

52:32المعادلات التفاضلية

52:33من الدرجة الثانية

52:34الاهتزازات ، والنوابض

52:35، والنواس ، والموجات

52:37الصوتية ، والدوائر

52:38الكهربائية ، أي أنظمة

52:39كاملة وُصفت رياضياً .

52:40ثم ظهر حساب المتجهات

52:42لأن القوى لها اتجاه .

52:44للرياح اتجاه .

52:45للجاذبية اتجاه . تسري

52:47الكهرباء في اتجاهات .

52:49يقيس التباعد

52:50الانتشار ، ويقيس

52:51الدوران الالتفاف .

52:52أصبحت هذه الأفكار

52:54ضرورية

52:54للكهرومغناطيسية

52:55وديناميكا الموائع . ثم

52:57قام جيمس كليرك

52:58ماكسويل بتوحيد

52:59الكهرباء

52:59والمغناطيسية

53:00باستخدام التفاضل

53:01والتكامل . تنبأت

53:02معادلاته بالموجات

53:03الكهرومغناطيسية قبل

53:04اكتشاف البشر للراديو

53:06، مما يعني أن التفاضل

53:07والتكامل تنبأ

53:08بالاتصالات اللاسلكية

53:09قبل وجود التقنية

53:10ذاتها . ثم دفع ألبرت

53:11أينشتاين بالتفاضل

53:12والتكامل إلى أبعد من

53:14ذلك . الكتلة تحني

53:15الزمكان نفسه . الثقوب

53:16السوداء ، وتمدد الزمن

53:18، وموجات الجاذبية ،

53:19كلها وُصفت باستخدام

53:20التفاضل والتكامل . حتى

53:21نظام تحديد المواقع ( GPS

53:23) يعتمد على التصحيحات

53:24النسبية من معادلات

53:25أينشتاين . بدون تلك

53:27التصحيحات ، سينحرف

53:28موقعك كيلومترات كل

53:30يوم . أصبح التفاضل

53:31والتكامل أعظم أداة

53:33للبشرية لفهم التغيير

53:34لأن الكون نفسه مبني

53:36على التغيير . النجوم

53:37تنفجر ، والأنواع

53:39تتطور ، والقارات

53:41تتحرك ، والحضارات

53:42تنهض وتنهار . لا شيء

53:44يبقى ثابتاً إلى الأبد

53:45. الواقع هو تحول مستمر

53:47يحدث في كل مكان وفي

53:49وقت واحد . وأصبح

53:50التفاضل والتكامل

53:51اللغة التي اخترعها

53:52البشر لفهم كل ذلك . هذه

53:54مجرد البداية . إذا كنت

53:56تريد دورة العلوم

53:57الشاملة والمذهلة

53:58التي توحد الفيزياء

53:59والكيمياء والأحياء ،

54:00ساعدنا في الوصول إلى

54:025000 إعجاب . شارك

54:03الفيديو . اشترك في

54:04القناة . واستعد . سيكون

54:06الفيديو القادم

54:07أسطورياً .