Full transcript
0:02Muy bien, buenos días y bienvenidos a la
0:05clase. Ah, antes de comenzar a con la
0:09materia que tenemos para hoy día,
0:12quería mostrarles
0:16una alternativa de para el uso de se que
0:18no sé si todos ustedes lo han probado.
0:20Con yendo a la a la página de
0:24[carraspeo]
0:25Sechepath aparecen todas las
0:27instrucciones para para instalar, ¿no es
0:29cierto?
0:30Eh, es posible que muchos de ustedes ya
0:32lo hayan hecho de esa manera. Hay una
0:34alternativa para poder usar Sage sin
0:37instalarlo, sino que en un browser
0:40que es e
0:42eh a través de un sitio de los mismos
0:45creadores de Sage que se llama Cocalk,
0:48que quería mostrarles.
1:03Acá está se como ven ustedes corriendo
1:07en un browser
1:09y ahí está el nombre de la el sitio
1:12cocalk. Se llama hoy día antes era
1:14cocalk.com. Bueno, sigue siendo también
1:18cocal.com, pero
1:21ahora todo
1:23inteligencia artificial, ¿no?
1:26Y e
1:29hay eh tres puentes de planillos de
1:32Jupiter Notebook,
1:34pero también pueden pedir que en lugar
1:36de que el kernel sea Python, que el
1:38kernel sea Smth
1:4110.9 No, en este caso y aquí ven ustedes
1:44lo mismo que hicimos la clase pasada,
1:46pero dentro de un browser latex
1:49aquí le puse más grande que lo que
1:51habíamos usado nosotros. Nosotros
1:52hicimos 10, no, 129, creo que hay 1025.
1:57Eso se hace que los gráficos se vean un
1:59poquito mejor. Aquí está la definición
2:01de funciones, ¿no es cierto? Acá está el
2:02primero de los gráficos, la función t,
2:06este otro plot.
2:08Y aquí viene usted la
2:12el gráfico de de esta función periódica
2:16que es creciente y aquí nos damos cuenta
2:18de que parece que hay un factor lineal,
2:19entonces dividimos por n. Eh, aquí
2:22aproveché de colocar una anotación
2:24porque los casilleros donde uno escribe
2:26pueden ser casilleros de código o de
2:28texto. Cuando es código es
2:31es eh eh sage. Cuando es texto, ustedes
2:34pueden escribir texto en Marktown y
2:37intercalar cosas en látex, como por
2:38ejemplo aquí, ¿se fijan? Ya.
2:42Y esto está hay un error de escritura
2:45aquí. Ah,
2:49a ver si edit. Esta
2:52función
2:55la vista de más.
2:57Claro,
3:03visto. Acá está, acá está visto en
3:05Marktown y ahí ven ustedes el ZDN.
3:16Perdón.
3:25Ahí está.
3:27Y acá está dividido por n, ¿ven? Y acá
3:31ven ahí se aprecia mejor las
3:32oscilaciones, ¿no es cierto? Y acá está
3:34lo que hicimos al final, ver la función
3:37que resultó, que era 1 + x - 2 a la x,
3:41eh, el plot y la
3:47la resolución de la ecuación que nos da
3:49el valor donde está el máximo de esta
3:51función y que cuánto vale en ese punto.
3:54Ya. Así que para que ustedes lo prueben
3:56también, [carraspeo] este es un servicio
3:59pagado, pero que tiene una versión de
4:02entrada que es gratis. Eh, tiene algunas
4:05limitaciones, pero yo le pedí a los
4:07ayudantes que lo probaran. Ellos lo han
4:10probado con todo lo que ellos hicieron
4:11cuando a su vez fueron estudiantes y no
4:13se han topado con con limitaciones
4:15todavía. Así es que es posible que si
4:17alguno de ustedes tiene problemas
4:19usando, instalando Sage en sus
4:23computadores, que puedan en vez de eso
4:25usarlo en en Cocalk en en un browser.
4:29Así que eso quería mostrarles antes de
4:31comenzar
4:33con la materia de hoy día.
4:37Entonces
4:39volvamos.
4:49Okay. En las clases anteriores lo que
4:51hicimos fue resolver algunos problemas a
4:53manera de introducción, motivación,
4:55etcétera. Pero hoy día ya vamos a entrar
4:57a estudiar las eh los temas de este
5:00curso de manera más sistemática y vamos
5:02a comenzar introduciendo un concepto que
5:05nos va a acompañar de aquí hasta el
5:07final del curso y que espero que
5:12a medida que avanzamos en el semestre
5:14ustedes vayan adquiriendo un dominio, un
5:16conocimiento cada vez más acabado de
5:18esto que son las funciones generatrices.
5:22Profesor,
5:23sí,
5:24si una consulta antes de empezar.
5:26Sí.
5:26Eh, viendo la tarea
5:29y hay una parte que me queda duda que
5:31dice que si necesitamos hacer cálculo en
5:35se map u otro sistema lo incluyamos,
5:37pero la la tarea igual es super más o
5:40menos teórica.
5:42Entonces,
5:43la idea es que ocupemos map sí o sí o
5:45podemos hacer esos cálculos en látex y
5:47ponerlo o cuál es el como cuál es el fin
5:50de ocuparse map
5:51en en látex tú no puedes hacer cálculos.
5:53Bueno, en realidad puedes, pero no
5:54puedes en la práctica no puedes hacer
5:56cálculos en látex. Lo más puedes
5:58escribir la fórmula, ¿no es cierto? Pero
6:00si claro, sí, eso
6:02si necesitas hacer cálculos, sobre todo
6:04cálculos que involucren manipulación
6:06algebraica,
6:08eh ahí va lo puedes hacer a mano y está
6:11bien, por el momento todavía los puedo
6:13hacer, pero de repente nos vamos a topar
6:14con problemas que que requieren
6:17realmente la ayuda de un sistema de
6:18álgebra computacional como Maple, como
6:21Sea, etcétera, temática, Wolfram y y ahí
6:26es bueno que lo sepan usar, pues
6:28entonces Y por eso mejor partir ahora
6:32que en realidad lo que hicimos usando se
6:34en la primera clase fue poquito,
6:37pero sería bueno que ustedes lo usaran
6:39para para que quieran práctica.
6:44Okay, entiendo
6:45ya, pero en realidad lo lo que hicimos
6:48se podía hacer a mano, así es que e si
6:51si lo hacen a mano, describan describan
6:53en el paper cómo lo hicieron a mano. Si
6:56lo hacen con Sage o con o con otro
6:59sistema, hagan un print de la sesión y
7:01lo adjuntan como un otro archivo más
7:04dentro de su entrega.
7:07Okay.
7:08Sí, perfecto.
7:10Volvamos a las funciones generatrices.
7:12Gracias.
7:13E en el curso
7:16eh y en general en este tipo de de
7:18trabajo, nosotros utilizamos funciones
7:21discretas
7:23en general.
7:24A veces salen funciones que no son
7:26discretas, pero la mayoría sí lo son.
7:32¿Qué quiere decir? Que son funciones
7:34discretas, que son funciones que
7:36dependen de un argumento que es entero,
7:38¿no es cierto? La la anotación que vamos
7:42a usar indistintamente
7:45puede ser tanto funcional como tdn como
7:49eh sucesión como a su n. Ah, y los dos
7:55las dos son válidas, depende un poco del
7:57contexto que es lo que usamos.
7:59Eh, en general vamos a visualizar una
8:02función como una sucesión.
8:18Entonces sería la sucesión a sub n para
8:22n mayor o igual que 0.
8:25A sub n puede ser, por ejemplo, el
8:27número de comparaciones que se utiliza
8:28para buscar en un árbol de busca
8:30binaria, ¿ya? o puede ser el número de
8:32movimientos de datos que se utilizan
8:35para eh ordenar un conjunto de tamaño n,
8:39etcétera, etcétera. Y por eso es que n
8:41es mayor o igual que cer, porque
8:43normalmente lo que el n está haciendo es
8:44midiendo el tamaño del problema y los
8:47problemas no son de tamaño negativo. Así
8:48es que eh por eso es que normalmente nos
8:52restringimos a los subíndices
8:54mayores iguales que cero.
8:57Lo que nosotros vamos a hacer es a este
9:00tipo de sucesión le vamos a asociar lo
9:02que llamamos una función generatriz.
9:26Entonces, a este a su n para n mayor o
9:30igual que 0, nosotros le vamos a asociar
9:34una función que vamos a llamar a
9:35mayúscula de z y que la vamos a a e lo
9:40que las conecta es un operador que vamos
9:42a llamar cursiva sub Z, que es el
9:44operador de función generatriz. Y y
9:46¿cómo se define la definición?
9:50Es que A de Z
9:53es la serie formal A sub0
9:57más a sub1 z
9:59a sub2z cuadrado y así sucesivamente,
10:06¿ya? O sea, sumatoria
10:10de A sub K.
10:14O bueno, en realidad podríamos usar el
10:16mismo n
10:20a su n por z la n para n mayor o igual
10:24que 0. Bueno, la variable n es una
10:26variable de suma, que da lo mismo como
10:27se llame, pero como estábamos hablando
10:29de su n, usemos la misma. Ya. Esta es la
10:33definición de la función generatriz.
10:34Entonces, es una serie formal en que
10:36cada elemento de la sucesión se
10:39multiplica por Z elevado
10:42a la potencia indicada por el subíndice
10:45de ese elemento dentro de la sucesión.
10:48Entonces, de alguna manera, cada cada
10:50elemento de la de la sucesión lo estamos
10:52marcando con algo que eh nos va a
10:57permitir eh posteriormente
11:00recuperar esa sucesión original a partir
11:03de la función generatriz. O sea, lo que
11:05nosotros eh eh eh
11:09vamos a ver es que existe el camino de
11:12vuelta, un G, por así decirlo, a la -1,
11:15que dada una función generatriz nos
11:17permite obtener de vuelta la sucesión
11:20original. ¿Ya? Ahora, ¿por qué nosotros
11:25eh querríamos introducir esta función
11:26generatriz? Eh, porque eh a menudo lo
11:31que sucede es que un problema eh
11:34planteado en términos de los A sub n,
11:37por ejemplo, los A sub n es posible que
11:39cumplan una cierta eh ecuación de
11:42recurrencia, ya digamos a sub n = 2 por
11:46a n - 1 + 1, por decir algo, ¿ya? E
11:52a menú modo lo que ocurre es que si yo
11:55introduzco la función generatriz
11:56asociada,
11:58eh el resultado es que la ecuación
12:01original de recurrencia se transforma en
12:05una ecuación para la función generatriz
12:06en vez, ¿ya? Y es posible que esa que
12:10esa ecuación para la función generatriz
12:11sea fácil de resolver, por ejemplo, la
12:13simple ecuación algebraica, ¿ya? Eh, de
12:17modo que yo puedo encontrar la solución
12:19en el dominio de las funciones
12:20generatrices y una vez que tengo la la
12:24solución en ese dominio, puedo invertir
12:27este proceso y obtener los AN que eran
12:30la solución del problema original. ¿Ya?
12:33Eh, esto es análogo
12:37eh a lo que ocurre en ecuaciones
12:39diferenciales ordinarias
12:42lineales con coeficientes constantes
12:44donde eh se introduce una manera de
12:48resolverla introduciendo lo que se llama
12:50transformada de la plaz. ¿Alguno de
12:52ustedes
12:54vio transformada la plaz o se acuerda de
12:58eso en el curso de ecuaciones
12:59diferenciales ordinarias? ¿Llegaron a
13:01esa materia? ¿Sí
13:04o no?
13:07Sí. Sí.
13:08Ya.
13:08Una integral de algo elevado
13:11exacto. Ah, no sé si alguien de los
13:14demás.
13:17Bueno, depende un poco de la
13:18especialidad que uno siga también,
13:20porque mucha gente en la escuela ve la
13:23transforma de la plazas, que es uno de
13:25los capítulos finales del curso de
13:26ecuaciones referenciales ordinarias y y
13:30después no lo vuelve nunca más. Ya.
13:33Mientras que los ingenieros eléctricos
13:35viven en el universo de las
13:37Transformadas de La Plaz. Ah, así es que
13:40eh depende, como les digo, un poco de de
13:42la especialidad, pero esto es muy
13:44análogo. Ah en en ecuaciones
13:48diferenciales eh uno tiene una ecuación
13:50diferencial en el dominio del tiempo
13:53y le aplica la transformada de la PL y
13:55la cambia a otro dominio. El dominio de
13:57la la variable se llama S. Acá nosotros
14:00usamos Z. En transforma la plaja usan S
14:02como el nombre típico de la variable. eh
14:06y transforman entonces al dominio de las
14:09transformadas de la plaz. Y lo que
14:10ocurre es que cuando las ecuaciones son
14:14ecuaciones diferenciales lineales de
14:15coeficientes constantes, al aplicarlas
14:17transforman en la plaza, transforman en
14:19ecuaciones algebraicas que son fáciles
14:20de resolver y una vez que uno tiene la
14:23solución ahí puede invertir el proceso
14:24para obtener la solución del problema
14:27original. El concepto aquí es
14:28exactamente el mismo, pero en un dominio
14:31discreto, ¿ya? Eh, y veamos. Vamos a
14:35ver, vamos a tener amplias oportunidades
14:36de ver por qué esta herramienta es
14:39superútil, ya tratemos de ver cómo esto
14:42podría ser invertible.
14:45Por ejemplo, si yo les doy a ustedes la
14:47función a de Z,
14:50que se las doy en forma de una función,
14:51por ejemplo, 1/ por 1 men z, por decir
14:53algo, ¿ya?
14:55Y les pido que me digan cuánto vale a
14:57subcero,
14:59cómo lo podrían hacer dada la
15:01Si la función es la Si la función es lo
15:04suficientemente regular, podemos
15:05calcular la serie de Taylor.
15:07¿Correcto? Esa sería la solución
15:10general, ¿ya? Eh, y y y es
15:15y es equivalente a lo que vamos a hacer.
15:17En realidad lo que vamos a hacer
15:17nosotros es ir viendo eso paso a paso.
15:19Así que felicitaciones por el por por
15:22llegar a la solución general de
15:23inmediato, pero acompañe un minuto a ver
15:26cómo uno podría eh ir encontrando los
15:29los coeficientes a sub, a sub un,
15:32etcétera, paso a paso. Ah e cómo cómo
15:36podríamos encontrar a Subcero sin
15:37calcular toda la serie Taylor de manera
15:39más simple.
15:46Yo les doy la función, ustedes me dicen
15:48cuánto vale subo.
15:50La función es función de n.
15:52No, no, no. El n ya desapareció a estas
15:54alturas. Yo les doy la función a de Z.
15:56Es una función de Z. Ya. El n
15:59desapareció porque yo sumé sobre todo n
16:07y ahí y nos da la nos da la de cer0 o
16:09queremos calcular el AD de cer, ¿cierto?
16:11Exacto. Queremos calcular a subero el
16:13primer coeficiente,
16:15el coeficiente constante en esa
16:17expansión. Eh, y pero yo lo que tengo es
16:21a la la función a de Z.
16:24Ah, pero podemos evaluar la función en
16:26cero.
16:27Correcto. Esa esa es la respuesta que
16:29estaba esperando. Claro, a sub es fácil
16:31de encontrar, es a a evaluado en cero.
16:35Porque si yo evalúo en cero,
16:37todos los que tienen Z se anulan y el
16:39único que sobrevive es a subo, ¿cierto?
16:42Fantástico. Ya. ¿Cómo puedo yo ahora
16:44encontrar a sub un?
17:02Eh, se puede derivar y después evaluar
17:03en cero.
17:04Correcto. Exactamente. Ese es el truco.
17:07Hago la derivada. Si cuando yo hago la
17:09derivada, digamos, a prima de Z, la sub
17:13se va, ¿no es cierto?
17:15y eh me queda a sub 1
17:19+ 2 a sub 2z más etcétera, etcétera,
17:23etcétera. Así que si ahora yo pongo
17:27eh a sub eh pongo z = 0, todos se
17:31anulan, excepto el a1. Así es que eh eh
17:35aprima
17:38aprima en cero sería a sub un asubito
17:43más complicado, ¿no es cierto? Porque,
17:46¿qué pasa? Hay bueno, siguiendo con la
17:48idea, ¿no es cierto? Si si funciona
17:53una vez, funcionará más veces.
17:57Hacemos, derivamos
18:00ahí la sub un se va y me queda 2 a sub 2
18:05más eh, ¿qué ha pasado con el con el z³?
18:10La primera vez que se derivó quedó 3 z
18:14cuadrado y ahora al derivar de nuevo va
18:16a quedar 6z, ¿no es cierto?
18:196 eh
18:21a sub 3 z, etcétera.
18:24Entonces, al
18:27y ahora ponemos eh 7 = 0, entonces todo
18:30se anula menos el primer término que es
18:32a2 a sub2. Por lo tanto, a sub2
18:39eh eso 2 a sub 2 es 1/2 de a segunda en
18:45cero, ¿no es cierto?
18:47Porque me si cuando yo lo digo en cero
18:49me queda 2 a sub do, así que tengo que
18:51dividir por dos para obtener la sub2. Y
18:53esto sigue. Y ahí se puede ver que en
18:55realidad para encontrar el késimo
18:59eh sería eh 1/ido por k factorial h por
19:05la derivada késima
19:08evalua en cero. Y eso conduce
19:11a lo que Luis nos había dicho al
19:13principio, porque lo que estamos
19:14encontrando es la definición de la de la
19:16expansión de Taylor, ¿no es cierto? Ah,
19:19pero todavía estamos descubriendo la las
19:21series de Taylor, así es que eh la
19:24conclusión es que esto por lo tanto es
19:26invertible, ¿no es cierto? Ah, o sea, el
19:30camino de vuelta de ir desde
19:34yo puedo hacer el camino de vuelta de ir
19:37desde AD Z a y recuperarlos a su N por
19:40este por este método, ¿no es cierto?
19:42Pero en general en la práctica no lo
19:44vamos a hacer así. Eh, típicamente lo
19:46que nosotros tenemos es un catálogo de
19:48funciones cuya inversa es conocida. Eh,
19:52y por inspección podemos encontrar eh
19:55cómo cómo invertir ah normalmente, pero
19:58si todo lo demás falla, esta este es el
20:00método general para encontrar los ASU
20:03los AUVN. Okay, entonces vamos a a
20:06partir viendo algunas funciones
20:09generatrices importantes.
20:34paréntesis, hay un tema que no
20:36que que nadie lo ha planteado, pero que
20:38sin duda eh va a surgir alguna duda. Eh,
20:43¿y qué pasa con la convergencia? ¿Cómo
20:45yo sé que esta
20:49cómo yo sé que esta serie converge?
20:52Y y la respuesta es que en realidad eh
20:56estas son series formales,
20:59¿no? Nosotros no estamos interpretando
21:03el Z como un número complejo, por
21:05ejemplo, a pesar de que en algunas
21:07ocasiones, en algunas aplicaciones si lo
21:09vamos a interpretar como un complejo,
21:11pero en general lo estamos interpretando
21:13como un símbolo formal, una manera de
21:16marcar los
21:18los az los azuenes de modo que después
21:21yo los pueda separar. Ah, entonces eh no
21:26en general no la convergencia no va a
21:28ser no va a ser un tema aquí, salvo muy
21:31excepcionalmente. Son series formales.
21:35Entonces ya vamos a ver algunas
21:38funciones generatrices importantes. Como
21:40les digo, eh, por ejemplo, la sucesión
21:45consistente en 1
21:490 0 y así al infinito.
21:54Okay.
21:57Esta eh esta es la función que
22:02la función representada por esa sucesión
22:04es lo que se suele llamar el delta de
22:05Cranker.
22:07Es una función que vale 1 para n = 0 y 0
22:11para todo lo demás, ¿no es cierto? Eh,
22:14nosotros vamos a usar una anotación
22:16eh para eso que es la siguiente. Vamos a
22:21escribir una una expresión buiana lógica
22:26encerrada entre paréntesis cuadrado.
22:30Ya.
22:32y
22:36eso funciona como la función indicatriz
22:41que vale uno cuando esa expresión buiana
22:45es verdadera y cero cuando esa expresión
22:47buleiana es falsa, ¿ya? Y ahí dentro de
22:50los paréntesis cuadrados podemos
22:51escribir cualquier función buleana. Así
22:53que eso representa el delta de crénica.
22:56Entonces, ¿cuál es la cuál sería la de Z
22:58aquí? ¿Cuánto valdría la función a Z
23:05para esa sucesión?
23:17Recuerden la definición. Tengo
23:18multiplicar cada uno de los a sub n por
23:22z a la n y sumar. En este caso de los a
23:28sub n, el primero, el a sub0 vale 1 y
23:31todos los demás valen 0. Entonces,
23:32¿cuánto vale la sumatoria?
23:37Uno.
23:38Uno. Así que z = 1 es la función
23:42generatriz para esta sucesión.
23:45Entonces, si yo hago resuelvo un
23:48problema y me encuentro que en alguna
23:50parte hay una de Z = 1, yo sé cuál es la
23:53sucesión original. en la sucesión 1
23:57Ah, eh,
24:00ya, pero no sé por qué puse dos aquí.
24:02Ah, disculpen un segundo.
24:10Bueno, el primera ya. Segundo caso,
24:25la sucesión que vale uno
24:28para todo n
24:31sucesión constante.
24:34¿Ya?
24:37Eh,
24:38¿cuál sería la el AD Z? Hm.
24:42El de Z sería
24:461 + z + z²
24:50+ z³, etcétera, ¿no es cierto? O sea, la
24:55sumatoria
24:56de z a la n para n mayor o igual que 0,
24:59una serie infinita.
25:02¿Cuánto vale? ¿Cuánto vale eso?
25:06¿Cuánto vale esa sumatoria?
25:26No estoy muy seguro, pero es como 1/ Z.
25:30Correcto. Correcto. Ah, ¿y cómo podemos
25:33ver eso? Lo que podemos hacer es,
25:36digamos que ese es la suma completa, 1 +
25:39z + z², etcétera.
25:44Y formemos zs,
25:48que sería z + z² + z³, etcétera.
25:54Y si ahora yo resto, me queda 1 - z por
25:58s.
25:59Y y si yo resto al al lado derecho me
26:02queda uno, y eso implica que esta suma
26:04tiene que valer 1/ido por 1 - z. Ya es
26:08la única función que que cumple, que
26:10satisface esto. Y por lo tanto,
26:15por lo tanto,
26:17A z es 1/ por 1 - Z. 1/- zatriz
26:23asociada a una sucesión constante 1.
26:30¿Qué pasa con
26:33con esta otra?
26:38la sucesión
26:401,234,
26:43etcétera,
26:48que sería la sucesión
26:51de los n + 1
26:53para n mayor o igual que 0.
26:57Ya. Entonces, a de Z sería sumatoria
27:05de n + 1 por z a la n para n mayor o
27:09igual que 0. La pregunta es, ¿cuánto
27:13cuánto sería eso?
27:17Sería un poquito más complicada.
27:20Eh, lo que podemos hacer
27:27es lo siguiente. Bueno, del del caso
27:29anterior
27:31sabemos que
27:34la sumatoria de z a la n para n mayor o
27:38igual que 0 es 1 par por 1 men z,
27:41¿cierto?
27:44Entonces, ahora podemos calcular eh la
27:46derivada. Derivando
27:49a ambos lados, tenemos que la sumatoria
27:53de n * z a la n - 1 sería, ¿no es
27:58cierto? La derivada es igual a la
28:00derivada de esto que es 1 partido por eh
28:05eh 1 - z.
28:07A ver, -1 par 1 men z al cuad abajo,
28:11pero hay un luego la derivada adentro
28:12que me da un nuevo signo menos. Por lo
28:14tanto, se
28:16se anulan los dos signos menos y lo que
28:17queda es 1/ido por 1 - z cuadrado.
28:23Okay. Ya. Y esto es eh esto es para n
28:27mayor o igual que 0. Okay, pero eh puedo
28:31hacer que parta de n mayor o igual que 1
28:34porque el
28:37primer término es cero, ¿no es cierto?
28:40Ya, el primer término es cero, por lo
28:43tanto puede partir de n mayor o igual
28:44que 1. Y ahora eh
28:48esto eh ¿qué tiene que ver con la
28:51sucesión que a mí me interesa?
28:54Eh, cuando yo eh
28:59expreso algo eh como función generatriz,
29:03es clave que los exponentes de los de Z
29:09sean sea las la sean los números 0 1 2
29:12en adelante. Porque eh se fijan ustedes
29:15que la definición de función generatriz
29:19requiere que yo sume
29:24sobre todo, perdón, eh,
29:31a ver,
29:35requiere que yo sume sobre todo n mayor
29:37o igual que 0 e z a la n multiplicado
29:40por algo. Entonces no son negociables
29:43que el rango del n mayor que cer ni son
29:46ni es negociable que que los exponentes
29:48del z sean el mismo lo mismo que en su
29:50índice. Ya. Esto puede ser cualquier
29:52cosa, pero esto tiene que coincidir,
29:55¿ya? Entonces acá lo que ocurre es que
29:59yo tengo una sumatoria, pero que no
30:01tiene ese formato,
30:03¿ya?
30:05No, porque el zé elevado a la n, está
30:08elevado a n - 1 y el rango no parte de
30:12no parte de de cero, parte de uno. Okay.
30:17Pero eh la verdad es que eso no es tan
30:20terrible, no es no es difícil de
30:22reparar. ¿Por qué? Porque este este n
30:27mayor o igual que 1, yo lo puedo
30:29escribir como que n - 1 es mayor o igual
30:31que 0, ¿no es cierto? es lo mismo. Y
30:34este n - 1 ahora coincide con el n - 1
30:38del exponente. Entonces, ahora yo puedo
30:39hacer un cambio de variable
30:46ya, y al n - 1 lo llamo n.
30:51Entonces, eh me queda n mayor o igual
30:54que 0 en como rango de suma.
30:57me queda z a la n porque ahora el n - 1
30:59es n
31:01y el y el n de acá que es multiplicado z
31:05a la n - 1 se transforma en n + 1 por el
31:09cambio de variable. Entonces esto
31:11implica que la sumatoria
31:14de n mayor o igual que 0 de n + 1 * z a
31:19la n es 1/ z².
31:24Y esto que quedó aquí a la izquierda es
31:25exactamente la función G3 que yo quería.
31:28Así es que en la conclusión de eso
31:32es que a de zido
31:36por 1 - z².
31:42todo eso al cuadrado.
31:44Así que un
31:47lo que estamos viendo aquí es que cuando
31:53lo que multiplica al z a la n es e es
31:57constante, eso me da cosa de la forma 1/
32:00por 1 - z. Pero cuando lo que lo
32:03multiplica contiene un término lineal, n
32:06+ 1, en este caso, eso me genera un un
32:10término cuadrático en el denominador. Y
32:13y así vamos a ir aprendiendo a ver cómo
32:16lo que uno ve en el dominio de las zas
32:18corresponde de vuelta a lo que pasa en
32:20el dominio de los de las ns.
32:26Otra sucesión importante
32:29son los coeficientes binomiales.
32:41El teorema del binomio
32:47dice que
32:501 + x a la n
32:54se puede expandir como la sumatoria
32:58de n sobre k por
33:02x a la k
33:06E
33:11ahora ese es el teorema, ¿no es cierto?
33:14Eh,
33:18ya vamos a llegar luego a la función
33:20Gatriz. Eh, ¿cuál es el rango de esto?
33:24Es e
33:260 menor o igual que k menor o igual que
33:28n, ¿no es cierto? Pero el coeficiente
33:31binomial se anula cuando k es mayor que
33:34n. Eso ustedes lo pueden ver en el
33:35triángulo de Pascal, ¿no es cierto? Eh,
33:38así que yo puedo escribir sin problema
33:40cada mayor o igual que er,
33:43¿ya? Eh, como ser infinita, pero
33:47sabiendo que en realidad es finita
33:49porque para K mayor que n, esos
33:52coeficientes valen cero. Ahí está el
33:54teorema del binomio. Entonces, ahora,
33:56eh, ¿qué cosa es n sobre K? Tengo un par
33:59de maneras de describir lo que es n
34:01sobre K.
34:04n sobre k es n factorial dividido por k
34:08factorial
34:10divido por n - k factorial
34:16es el número de maneras de de elegir k
34:19objetos dentro de n, ¿no es cierto?
34:22Eh,
34:24pero yo también tengo una manera de
34:27distinta de escribir esto, que es eh
34:31observando
34:33que estos factores de aquí
34:36son los
34:38los factores finales dentro de esta
34:40expansión, ¿no es cierto? Si yo digo,
34:42¿qué es n factorial? n * n - 1, n - 2,
34:45etcétera, hasta 1. Y este de acá es n -
34:50k * n - k - 1, n - k - 2 hasta 1.
34:54Entonces, estos que están aquí son la
34:56cola de los que están ahí arriba. Por lo
34:57tanto, estos de abajo los puedo
34:58simplificar con los de arriba y lo que
35:01me queda
35:03son los primeros k factores de esto.
35:07O sea, lo que me queda al hacer esa
35:10cancelación e sería n * n - 1 * n - 2
35:17hasta n - k + 1 y todo eso dividido por
35:23k factorial. Ya. Bueno, como notación
35:34vamos a decir, vamos a escribir n a la K
35:37descendente
35:41para representar ese producto. N * n - 1
35:45hasta n - k + 1. Ya, aquí hay k
35:50factores.
35:54es como una potencia, es como es como n
35:56a la k, ¿no es cierto? Pero donde no se
35:59va multiplicando n * n por n k veces,
36:02sino que va descendiendo el el factor
36:05que se multiplica, o sea, n * n - 1, n -
36:082, etcétera, hasta completar k factores.
36:10Eso es eso lo llamamos n a la k
36:13descendente. Y por simetría
36:16n
36:18en n a la k ascendente sería n * n + 1,
36:24etcétera, hasta n + k.
36:28-1. Ya, nuevamente K factores.
36:34Ya, esta la primera es una potencia
36:38descendente, la segunda es una potencia
36:40ascendente
36:42y con esa anotación
36:45n sobre k yo lo puedo escribir como n a
36:49la k descendente dividido por k
36:50factorial. Ya es otra manera de
36:53escribirlo. Y qué gracia tiene esto que
36:57esto permite
37:02generalizar la definición
37:12de coeficiente binomial.
37:16Coeficiente binomial.
37:22a
37:24a alfa sobre k
37:28como alfa a la k descendente dividido
37:31por k factorial,
37:33donde
37:35alfa no necesariamente es entero,
37:45¿cierto?
37:46Porque para aplicar la primera
37:50definición que vimos,
37:54esta se requería que que K fuera entero,
37:57perdón, que el N fuera entero, ¿no es
37:58cierto? El que está encima.
38:01Eh, pero acá no es necesario para
38:04calcular n a la cabeza descendente, no
38:05hace falta que n sea entero. Así que eso
38:07nos permite generalizar la definición.
38:12¿Okay?
38:13Y tengo entonces un teorema del binomio
38:16generalizado.
38:301 + x
38:32a la alfa
38:34es la sumatoria para k mayor o igual que
38:370
38:40de alfa sobre k.
38:43por x a la c.
38:47Y un ejemplo importante
38:52es la raíz cuadrada, por ejemplo, raíz
38:54cuadrada de 1 + x. ¿Cuánto es eso? Eso
38:58es 1 + x a la 1/2,
39:03¿cierto?
39:04O sea,
39:06el teorema del binomio lo que nos dice
39:07es que esto es la sumatoria para k mayor
39:10o igual que 0 de 1/io sobre k por x a la
39:15k,
39:19¿ya? Donde
39:22el 1/2 sobre K es calculado con la
39:26definición que está unas líneas más
39:28arriba. Okay. Por lo tanto,
39:34si yo tengo la sucesión a su n para n
39:38mayor o igual que 0 consistente en
39:42coeficientes binomiales, alfa sobre 0,
39:46alfa sobre 1,
39:49alfa sobre 2 y así sucesivamente.
39:54Entonces,
39:56a dez
39:591 + z a la alfa, ¿ya? Así que
40:06cuando la sucesión son coeficientes
40:08binomiales, la transformada, la función
40:11generatriz, digamos, tiene esta forma 1
40:13+ z a la alfa.
40:16Muy
40:18bien.
40:23Unos coeficientes binomiales
40:26menos conocidos que nos van a resultar
40:29bastante útiles en el curso son los
40:31llamados coeficientes binomiales
40:33simétricos.
41:04Lo vamos a escribir como i com j
41:08paréntesis. Es el coeficienteal
41:10simétrico para i y i j. ¿Y cómo se
41:14define? Se define como i + j
41:20o i má lo que es lo mismo que i + j
41:23sobre j, ¿no es cierto?
41:26Ya. O o i + j
41:30factorial partido por i factorial j
41:33factorial. ¿Ya? O sea, lo que ocurre es
41:37que en los coeficientes binomiales, como
41:38se definen normalmente, hay una
41:40asimetría entre el n y el k, ¿no es
41:42cierto? Ah, eh,
41:46la el la el denominador es k factorial y
41:51n - k factorial y y se cumple que lo que
41:55está arriba es la suma de los dos de
41:56abajo, ¿no es cierto? Si yo sumo los dos
41:58de abajo, me da el de arriba. K + N - K
42:02me da N.
42:04Entonces, los coeficientes binomiales
42:05simétricos hacen explícito esa eh eso.
42:09Eh, entonces, en lugar de que eh la
42:12variable libre sea el numerador y uno de
42:14los denominadores, el n y el k, hace que
42:16las variables libres sean los dos
42:18denominadores.
42:20Entonces, el k lo llamamos i, a n - k lo
42:22llamamos j de arriba tiene que ser la
42:25suma de los dos de abajo i + j, ¿no es
42:27cierto? Entonces, y y eso lo escribimos
42:30y i+ j. Hay muchas aplicaciones en donde
42:34esta simetría no nos simplifica bastante
42:36las cosas. Eh,
42:39y esto también yo lo puedo escribir como
42:43i + j
42:45sobre i com j
42:48usando
42:51la anación
42:55de coeficiente multinomial.
42:58¿Se acuerdan de eso,
43:06ya?
43:07Entonces, la anotación y j es en
43:10realidad una anotación de coeficiente
43:12multinomial
43:13donde la parte de arriba se deja
43:15implícita porque la parte de arriba
43:16tiene que ser igual a la suma de los de
43:17abajo. Así que esa es otra manera de de
43:20verlo.
43:22Y esto
43:25se puede
43:28generalizar
43:35al caso
43:37en que uno
43:41de los argumentos
43:46es no entero.
43:51Porque
43:54alfa com n yo lo puedo ser tendría que
43:58ser alfa + n sobre n, ¿cierto? Y esto es
44:05alfa + n a la n factorial, perdón, a la
44:09n descendente
44:12partido por n factorial, según la
44:14definición que vimos hace pocos minutos.
44:17¿Y qué significa alfa + n a la n
44:20descendente?
44:22Eso sería alfa + n, ¿no es cierto? Por
44:26alfa + n - 1,
44:29etcétera. ¿Hasta cuánto? Hasta alfa + n
44:33- n.
44:35se cancelan los n + 1, o sea, hasta alfa
44:38+ 1.
44:42Ya, pero ahora si este producto yo lo
44:45leo de derecha a izquierda, sería alfa +
44:481 por alfa + 2 hasta alfa + n dividido
44:51por n factorial, o sea, sería alfa + 1
44:56a la n ascendente partido por n
44:59factorial. Entonces, ahí tengo otra
45:01manera de definir lo que son los
45:03coeficientes
45:05binomiales
45:07eh simétrico. ¿Ya?
45:11Entonces, eh veamos ahora qué pasa al
45:14aplicar función generatriz. Entonces, si
45:16yo tengo una sucesión a su ncesión
45:31son coeficientes binomiales simétricos
45:33alfa com0,
45:36alfa, com1,
45:40alfa com2 y así al infinito.
45:46Entonces, ¿qué pasa con la función
45:48generatriz?
45:50A de Z, en este caso sería la sumatoria
45:54de alfa com n por z a la n por para todo
46:00n mayor o igual que esa es la
46:02definición.
46:04Entonces,
46:11entonces la pregunta es, ¿cuánto vale
46:12esta sumatoria?
46:14Okay.
46:16Bueno,
46:18lo que vamos a hacer es eh
46:25vamos a partir dando la solución. Esto
46:27esto no es normalmente lo que hacemos.
46:28Ah, pero en este caso resulta más fácil.
46:31¿Cuál es la solución? La solución
46:34es que eh
46:38es que eh AD Z en este caso
46:43es 1 parido por 1 - z
46:49alfa + 1. Ya, pero eso hay que eso hay
46:53que demostrarlo.
46:55Ya. Eh, ¿cómo cómo se demuestra eso?
47:11A ver, eh,
47:151, vamos a partir de atrás para
47:16adelante. 1 por 1 - z elevado alfa + 1.
47:23Eso es lo mismo que 1 - z elevado a -
47:28alfa + 1, o sea, - alfa - 1, ¿cierto?
47:33Y eso es igual a la
47:39sumatoria.
47:42Ups, aquí, perdón,
47:46aquí a la sumatoria para n mayor o igual
47:48que 0
47:51binomio. Ah.
47:53sería eh sumatoria de el coeficiente
47:58binomial - alfa - 1 eh sobre n.
48:05Eh, el teorema del binomio lo escribimos
48:07para 1 + x elevado a algo. En este caso
48:10es 1 - z elevado algo, o sea, el x es -
48:12z, por lo tanto sería - z elevado a n.
48:17¿Ya?
48:19Y esto es entonces la sumatoria para n
48:21mayor o igual que 0. de menos
48:26-1 a la n por el coeficiente binomial -
48:30alfa - 1 sobre n * z a la n
48:36y
48:39este
48:41coeficiente binomial de aquí eh yo lo
48:44puedo escribir como - alfa - 1
48:49a la n descendente dividido por n
48:53factorial, ¿cierto? Entonces, si ahora
48:58aprovecho esa expansión,
49:01esto sería la sumatoria para n mayor o
49:03igual que 0 t -1 a la n,
49:08¿ya? y el - alfa -1
49:12eh a la nescendente yo lo puedo expandir
49:14entonces como - alfa - 1
49:19- alfa - 2 y así sucesivamente
49:22hasta - alfa - n.
49:27Todo eso dividido por n factorial
49:31y todo eso multiplicado por z a la n,
49:34¿cierto?
49:36Ya. Y ahora eh arriba del en el
49:41numerador tengo n factores
49:44y tengo por otro lado ahí al ladito
49:46afuera un -1 a la n. Entonces tengo n
49:50signos menos disponibles. Entonces con
49:53cada signo menos le cambio el signo a a
49:55cada uno de los factores acá. Entonces
49:59eso me va a quedar así. Sumatoria para n
50:00mayor igual que 0. Entonces, un uno de
50:03los -1 multiplicado por - alfa -1 me da
50:05alfa + 1.
50:10Eh, otro de los -1 multiplicado ahora a
50:12- alfa - 2 me da alfa + 2, ¿cierto? El
50:16último me da alfa + n
50:19y todo eso divido por n factorial
50:22y todo eso multiplicado por z la n.
50:26Eh, y esto en la anotación que acabamos
50:29de introducir
50:32sería alfa + 1 a la ncente
50:38dividido por n factorial
50:40por z a la n, ¿no es cierto? Pero ese
50:43alfa + 1 a la ncendente partido por n
50:46factorial,
50:49aquí lo tenemos.
50:53Este alfa 1 a la n ascendente partio por
50:55n factorial no es otra cosa que alfa n.
50:57Así es que
50:59así es que
51:01aquí
51:04esto no es otra cosa que sumatoria para
51:06n mayor o igual que 0 de alfa com n por
51:10z a la n.
51:12Y eso es lo que estábamos tratando de
51:15mostrar,
51:17que 1/ z al alfa + 1 era la función
51:20generatriz de alfa com n, de la sucesión
51:23alfa, coma n. Así es que ahí lo tenemos.
51:29[grito ahogado]
51:30Muy bien. Vamos, ¿cómo vamos hasta aquí?
51:33Bien, espero. Ya. Entonces, ahora lo que
51:37vamos a ver es algunas propiedades de
51:40las funciones generatrices.
51:53Lo que estamos viendo hasta ahora
51:55algunos ejemplos de funciones
51:56generatrices.
51:57siempre importante, por supuesto.
52:07Bueno, entonces
52:09recordemos que a su n, a la sub n mayor
52:13que 0, yo le asocio
52:17esta función a z
52:20y vamos a usar la anotación G de Z a sub
52:23n como un operador que aplicado a la A
52:25sub n me entrega la de Z, ¿no es cierto?
52:27Sabemos que operador consiste en que
52:29cada uno de los a sub n se multiplica
52:30por z a la n y se suma para todo n.
52:34¿Qué propiedades tiene esto? Uno,
52:37linealidad. Es lineal.
52:41Ya. La función generatriz de alfa por a
52:45sub n más beta por b
52:50= a alfa por la generatriz de a sub n
52:54más beta por la generatriz de b sub n.
52:59Y eso porque como está definida como una
53:01sumatoria, entonces eso es lineal, ¿ya?
53:05Así que esa esa propiedad es es
53:08fácil, pero es básica también porque nos
53:10va a servir siempre cuando tenemos que
53:12calcular la función generatriz de de una
53:15suma. Yo calculo la función generatriz
53:18de cada sumando y luego sumo. Y y si
53:21alguno de ellos está multiplicado por
53:22una constante, entonces la constante
53:25sale para fuera.
53:27Ya.
53:29Segunda.
53:43Okay. Eh,
53:46esta segunda propiedad va a ser muy útil
53:48para resolver ecuaciones
53:50de recurrencia.
53:52Si ADZ
53:56es la generatriz
53:58de A sub n, que sería A sub0 + A sub1 z
54:04+ A sub2 z², etcétera.
54:15¿Cuál es la generatriz en Z de azú n +
54:181?
54:24Ya,
54:26si yo conozco la generatriz de ASU N,
54:28¿qué sería la generatriz de AuN + 1?
54:32¿Qué quiere decir eso? La generatriz
54:35de az n + 1.
54:41Eso quedó medio raro.
54:47La generatriz de a su n + 1 es la
54:50sumatoria para n mayor o igual que 0 de
54:53a su n + 1 por z a la n. ¿No es cierto?
54:58Si la expandimos, ¿qué sería? sería para
55:02n = 0 sería a sub 1 * z la 0.
55:07Eh, para n = 1 sería a sub2
55:10* z,
55:12a sub3
55:14por z² y así sucesivamente.
55:18Ya está todo corrido en uno.
55:24Eh,
55:28okay. Eh, llamemos a esto B de Z. Es
55:32otra función geratriz, ¿no es cierto?
55:34Desconocida hasta ahora.
55:38Eh, entonces, ¿cómo a partir de BDZ
55:43podría generar A de Z? Ah, miren lo que
55:48pasa aquí.
55:50Aquí
55:52cada uno de los términos que que
55:54aparecen están multiplicados por una
55:57constante, una un una potencia de Z, que
56:01es uno menos de lo que debería ser, ¿no
56:03es cierto? A sub un debería estar
56:05multiplicado por Z, a sub2 debería estar
56:07multiplicado por z², a sub3 debería
56:10estar multiplicado por z³ y así
56:11sucesivamente, ¿no es cierto? Bueno, eso
56:14es fácil de remediar, pues es cosa que
56:15yo multipliqueo por Z. Si yo multiplico
56:18Z por b de Z, lo que obtengo es la serie
56:21con las potencias correctas, ¿ya? Todo
56:25esto de aquí para adelante, pero todavía
56:27me falta subero. Entonces, aparte de
56:29multiplicar todo esto por Z, tengo que
56:31sumarle a sub y ahí tengo a de Z. ¿Ya?
56:34Entonces, si hago eso, lo que yo puedo
56:36decir es que a de Z,
56:40ya yo lo puedo obtener
56:44tomando a subcero y sumándole z porz.
56:50¿Ya? Y ahora yo despejo bd. Por lo
56:54tanto, B de Z,
56:57ya que es la generatriz en Z de a sub n
57:00+ 1,
57:03sería igual despejando bdz a z0
57:13y todo eso dividido por z.
57:20Ya.
57:28Ahora que yo sé la solución, eh, tiene
57:30sentido.
57:32Si yo quiero que cada, si yo tengo A de
57:36Z
57:39y quiero obtener una serie que no tiene
57:43AD Z y donde cada uno de los restantes,
57:47la potencia Z es uno menos de lo que
57:49aparece acá, lo que tengo que hacer
57:50primero para que no esté de Z, tengo que
57:51restarlo, ¿no es cierto? Y luego para
57:54que cada una de la de las e potencias
57:58que aparece eh tenga uno menos que lo
58:01que tiene ahí, tengo que dividir todo
58:02por Z. Ya. Así que esto tiene sentido,
58:06¿ya?
58:07Eh,
58:10y
58:12esto se puede generalizar.
58:19Esto se generaliza
58:25a lo siguiente. ¿En qué sentido se
58:26generaliza? Aquí estaba. Esto es lo que
58:29ocurre cuando yo desplazo en uno, ¿no es
58:31cierto?
58:33Pero yo podría desplazar en dos, en
58:34tres, etcétera. Entonces, cuando yo
58:35desplazo en K,
58:38la generatriz en Z de Au n + k.
58:43Okay, eso sería
58:46A sub k más a sub k + 1 * z + a subk + 2
58:55* z²
58:57y así sucesivamente, ¿no es cierto?
59:01Y eso, ¿cómo lo puedo obtener? Bueno,
59:03primero
59:05me tengo que deshacer de todo el
59:07comienzo de la serie que va desde el 0
59:09hasta el k -1, ¿no es cierto? Tal como
59:11en el caso anterior, yo me tenía que
59:14deshacer de la subcero, acá me tengo que
59:16deshacer de algo más. Por lo tanto, a la
59:18D Z
59:21le tengo que restar todo el comienzo de
59:24la serie, el que comienza con a sub0
59:27más a sub1 z.
59:30hasta + a sub k - 1
59:35z a la k - 1.
59:39Todo eso lo tengo que restar ya los k
59:42primero
59:45y y luego lo que me queda
59:48al hacer eso me quedaría de la sub en
59:51adelante cada uno de ellos multiplicado
59:52por z a la k, ¿no es cierto? O sea, a su
59:55k * z la k, a su k + 1 * z la k + 1,
59:57etcétera, etcétera. Y y eso se parece a
1:00:01lo que yo quiero
1:00:04aquí, pero hay un factor z la k que está
1:00:07multiplicando en cada caso que sobra.
1:00:08Entonces, tengo que dividir por eso para
1:00:10eliminarlo.
1:00:11Entonces es 1/ido por z
1:00:15de todo esto. Ahí está. Y esa es la
1:00:18regla.
1:00:21Cuando yo desplazo en K posiciones, lo
1:00:23que tengo que hacer es restar
1:00:28la el comienzo de la serie.
1:00:31Si es en K posiciones, tengo que restar
1:00:32los K primeros términos y luego dividir
1:00:36por C la K.
1:00:38Ya. Ese esa es la regla general para el
1:00:41desplazamiento.
1:00:43Desplazamiento hacia la derecha. Pero,
1:00:44¿qué pasa? El desplazamiento hacia la
1:00:46izquierda.
1:00:47[carraspeo]
1:00:50¿Qué sería la generadí en Z de a sub n -
1:00:541, por ejemplo,
1:00:57ya? Porque esto era la generatriz en Z
1:01:01de a sub n + 1, ¿no es cierto? Eso es lo
1:01:02que estábamos viendo aquí, la generatriz
1:01:05en Z de sub n + 1. Pero, ¿qué pasa con
1:01:07la generatriz en Z de a sub n - 1?
1:01:10Bueno, eh,
1:01:14vamos a la definición. Eso sería
1:01:17para 0 sería a sub -1
1:01:21más
1:01:23a sub0 z
1:01:28a sub 1 z cuad,
1:01:31etcétera. Ya.
1:01:34Pero, ¿qué pasa con con este
1:01:40con este subínde negativo?
1:01:45Como hemos dicho,
1:01:47el subíndice el n en general lo vamos a
1:01:50tomar, lo vamos a usar como una medida
1:01:53del tamaño del problema.
1:01:55Se hay que ordenar un conjunto de
1:01:57elementos, n es el tamaño del problema
1:01:59de ordenación e o si tengo que buscar un
1:02:02árbol con n llave, n es el tamaño del
1:02:05del árbol y así sucesivamente en
1:02:08general. Entonces, no hay tamaños
1:02:09negativos.
1:02:11Por lo tanto, vamos a usar la convención
1:02:23de que a sub - k es ig a 0 para todo k
1:02:29mayor o igual que 1.
1:02:32¿Okay? Se se parecen coeficientes
1:02:33negativos, esos valores de la sucesión
1:02:36son ceros. Así yo puedo suponer que la
1:02:39sucesión se extiende en ambas
1:02:40direcciones, ¿no es cierto? Hacia el
1:02:41lado mayor o igual que cero es la que
1:02:44conocemos y ese lado negativo son puros
1:02:46ceros. Ya
1:02:49con esa convención entonces [carraspeo]
1:02:54eh la genert en Z
1:02:58de a sub n - 1
1:03:02sería
1:03:04eh
1:03:08bueno, sería en este caso sería a sub0 z
1:03:12a sub 1 z cuad y así sucesivamente.
1:03:16Pero todas tienen un factor Z, así que
1:03:18puedo sacar un factor Z fuera y me queda
1:03:20a sub más a sub 1 Z, etcétera, que no es
1:03:25otra cosa que a de Z.
1:03:28Así que la regla para la para el
1:03:31desplazamiento en en el otro sentido es
1:03:34simple. Ah, la genom deatriz en Z de a
1:03:37su n - 1 es simplemente z * de z.
1:03:43Y el caso general,
1:03:49la generatriz en Z de A sub n - k es z a
1:03:55la K por A de Z
1:03:58para K mayor o igual que 1.
1:04:05Ya ahí tengo el desplazamiento en ambos
1:04:08sentidos.
1:04:14Esta otra regla también es bien útil, es
1:04:18la acumulativa.
1:04:28¿Cuál sería la generatriz en Z
1:04:32de eh
1:04:38A ver, e
1:04:42antes de escribirlo en forma general,
1:04:43escribámoslo.
1:04:46Supongamos que a mí me interesa esta
1:04:48sucesión.
1:04:55A sub.
1:04:58Ya, el primer término es a sub,
1:05:01el segundo es a subs a sub 1.
1:05:05El tercero es a subs a sub1 + a sub2
1:05:10y así sucesivamente.
1:05:12O sea, cada término de esta nueva
1:05:15sucesión
1:05:17es la suma de todos los anteriores,
1:05:20incluido el último. Ya. Por eso llamamos
1:05:24la la acumulativa, ¿okay?
1:05:28Eh,
1:05:29esto, esto es lo mismo que sería la
1:05:31sucesión en que cada término es la
1:05:35sumatoria
1:05:38de A sub k
1:05:41para 0 menor o igual que K menor o igual
1:05:44que n
1:05:48igual que ya
1:05:51es ese es lo que va en cada término de
1:05:54la sucesión.
1:05:57Entonces, la pregunta es, ¿cuál cuál es
1:05:59la generatriz? ¿No es cierto? ¿Cuál
1:06:01sería entonces la generatriz en Z de la
1:06:04sumatoria de A sub k para cero menor o
1:06:08igual que K menor o igual que n?
1:06:11¿Ya?
1:06:14Bueno, vamos a la definición. [risas]
1:06:16Eso sería la sumatoria para n mayor o
1:06:18igual que 0, ¿no es cierto? de la
1:06:21sumatoria de la sub k para 0 menor o
1:06:24igual que k menor o igual que n
1:06:27multiplicado por z la n. Eso es directo
1:06:29de la
1:06:31de la definición.
1:06:36Bueno,
1:06:38ahora yo puedo dar vuelta a las dos
1:06:40sumatorias.
1:06:42Entonces pongo fuera la sumatoria sobre
1:06:45K y adentro la sumatoria sobre
1:06:49N. Ya. Entonces afuera me va a quedar la
1:06:52sumatoria sobre K mayor o igual que 0,
1:06:54¿no es cierto? Porque K es mayor o igual
1:06:56que 0. Eh, de azul K.
1:07:00Y adentro me va a quedar la sumatoria
1:07:02para n mayor o igual que 0 [carraspeo]
1:07:06de perdón, no no error.
1:07:12Dejemos pendientes. Eh, lo que sí queda
1:07:15es el z a la n que hay adentro. Lo que
1:07:17depende de n, ¿no es cierto?
1:07:19Pero n mayor o igual que 0, pues n es
1:07:21mayor o igual que k.
1:07:23Ya,
1:07:25eso viene de aquí.
1:07:28N es mayor o igual que K. Okay.
1:07:32Muy bien. Eh,
1:07:37y
1:07:42lo que yo puedo hacer aquí,
1:07:45voy a sacarle para fuera un factor K. un
1:07:48z a la k
1:07:50sumatoria para k mayor o igual que 0
1:07:54de a sub k por * z a la k
1:07:59por la sumatoria entonces aquí va a
1:08:02quedar z a la n- k porque le quité un z
1:08:05a la k y abajo queda n mayor o igual que
1:08:08k pero yo lo puedo escribir como n men-
1:08:11k mayor o igual que 0 cierto. Ya. ¿Y por
1:08:16qué hice eso?
1:08:18porque
1:08:21me queda a sub k z la k
1:08:25porque ahora yo puedo hacer un cambio de
1:08:26variable y al n - k lo llamo n y me
1:08:29queda sumatoria para n mayor o igual que
1:08:310 de z a la n. Pero esa sumatoria ya la
1:08:34conocemos.
1:08:36Eso es nuestro conocido 1/ z,
1:08:40ya que sale para fuera porque no depende
1:08:43de K, así es que va a ser
1:08:461 parido por 1 - z
1:08:50por la sumatoria para k mayor o igual
1:08:53que 0 de a sub k * z a la k.
1:08:58Y lo que tenemos aquí
1:09:01no es otra cosa que a de Z,
1:09:04es la definición de la función
1:09:06generatriz, ya eh que nosotros la
1:09:09definimos con usando n como como
1:09:11subíndice, pero en realidad el subíndice
1:09:14puede ser cualquier cosa, es una
1:09:15variable de suma. Así que en este caso
1:09:17se llama A, pero da lo mismo, es la
1:09:19función generatriz. Así es que el
1:09:21resultado es bien interesante. Quiere
1:09:24decir que si yo
1:09:28eh tengo la acumulativa
1:09:30en el dominio de las e
1:09:35de los n, ¿ya? Entonces tengo la
1:09:38acumulativa 0 menor o igual que k menor
1:09:40o igual que n de a sub k.
1:09:43Al pasar a los dominios de los z, eso
1:09:46simplemente significa dividir por 1 men
1:09:48z.
1:09:51La regla s simple y super eh importante,
1:09:56ya es la, o sea, para para calcular la
1:10:00cumulativa hay que dividir por 1 - z.
1:10:04Y eso de hecho podríamos volver atrás
1:10:10y eh mirar nuestros ejemplos.
1:10:15Cuando partimos con los ejemplos,
1:10:19miren lo que pasó aquí. El primer
1:10:21ejemplo que pusimos
1:10:24fue el delta de Graneker, ¿no es cierto?
1:10:27La función que vale 1 para n = 0 y 0 en
1:10:30todos los demás casos. Y vimos que su
1:10:33función generatriz era 1. Ningún
1:10:35problema. ¿Listo? Ya. Y después vemos la
1:10:371,1,1,1.
1:10:40Bueno, la 1,1, 1,1 es la cumulativa de
1:10:43la anterior.
1:10:45Si yo sumo
1:10:47eh los k primeros términos de esta o los
1:10:50n primeros términos de de esta sucesión
1:10:53de arriba, aquí la suma siempre es uno.
1:10:57Así que esta es la cumulativa del
1:10:58anterior y si este tenía como función
1:11:00generatori 1 por la regla que acabamos
1:11:03de ver, esta otra tiene que tener 1/ido
1:11:05por 1 - z, que es exactamente lo que
1:11:10nosotros vimos en su en su momento aquí
1:11:14esta
1:11:16ya y después vimos la 1 2 3 4 etcétera.
1:11:21Bueno, la 1 2 3 4 etcétera es la
1:11:23cumulativa de esta.
1:11:27El primero vale uno, el segundo es la
1:11:28suma de los dos primeros, que es dos, el
1:11:31tercero es la suma de los tres primeros,
1:11:33que es tres, o sea, es esa. Por lo
1:11:35tanto, para pasar de aquí para acá, lo
1:11:37que tengo que hacer es dividir por 1 men
1:11:38z. Y por eso es que acá la generatriz de
1:11:44esta es 1 pardo por 1 men z, pero al
1:11:46cuadrado. Así que esta última regla
1:11:50nos incluye todos esos casos.
1:11:57Ya,
1:11:59esto es análogo a lo que pasaría en las
1:12:02transformadas de la PL, viendo cuál es
1:12:05la transformada de una integral. Eh,
1:12:08aquí en este caso no tenemos integrales,
1:12:09tenemos sumatoria, pero todo es análogo.
1:12:12Ya. Así es que eh eso nos llevaría a
1:12:14preguntarnos por cuál sería el otro
1:12:16caso.
1:12:18Eh, a ver, la numeración.
1:12:22Sí. Parece ya. ¿Cuál sería el siguiente
1:12:25caso interesante?
1:12:29Sería
1:12:32eh la diferencia. En vez de acumular
1:12:34hacer la diferencia.
1:12:38Diferencia.
1:12:41Sea. ¿Cuál sería la generatriz en Z de a
1:12:44sub n menn- 1?
1:12:54Este sería como el análogo discreto de
1:12:56una derivada. Calculo la diferencia
1:12:59entre dos valores consecutivos de la de
1:13:01la secuencia.
1:13:04Bueno, eh aquí puedo aplicar algo de lo
1:13:07que ya hemos aprendido. La generatriz de
1:13:10AU n - a sub n - 1 por linealidad es la
1:13:15generatriz de azu n menos la generatriz
1:13:20de a sub n - 1, ¿cierto? Pero la
1:13:23generatriz de azú n es lo que llamamos a
1:13:25z
1:13:27y la generatriz de a sub n - 1 acabamos
1:13:29de mostrar que es z * de z.
1:13:32Por lo tanto, la generatriz de la
1:13:33diferencia es 1 - z * de z.
1:13:41Y eso tiene sentido porque eh la
1:13:46diferencia es como la operación opuesta
1:13:48de la acumulativa.
1:13:50De hecho, si yo calculo la acumulativa y
1:13:54luego tomo la diferencia de dos valores
1:13:56consecutivos de la acumulativa, lo que
1:13:58me queda es la original, pues, ¿cierto?
1:14:02Ya, o sea, si tomo la acumulativa,
1:14:06que es esa aquí,
1:14:09y luego calculo la diferencia para la
1:14:11acumulativa.
1:14:13Entonces, el en qué va a quedar en el
1:14:15primer lugar, a sub0 men a sub-1, que es
1:14:17a sub. En el segundo lugar va a quedar
1:14:20este a sub 1 menos el a sub0, o sea, que
1:14:22a sub un, ¿qué queda en el tercer lugar?
1:14:25Queda todo ese menos el anterior. Se
1:14:28cancela todo menos la sub dos queda sub
1:14:30dos. Si al final lo que queda es a sub
1:14:32más sub1 + sub2, o sea, a sub0 coma, a
1:14:35sub1 coma a sub2 com, etcétera, que es
1:14:38la sucesión original. Por lo tanto, si
1:14:41yo tenía la original a z para pasar la
1:14:44cumulativa tuve que dividir por 1 - z,
1:14:46pero ahora para calcular la diferencia
1:14:49tengo que multiplicar por 1 men z. Se
1:14:51cancelan ambos y queda a de z. Así que
1:14:55son operaciones eh inversas.
1:14:59tomar diferencias, tomar acumulativa.
1:15:03Otra propiedad, ya nos vamos acando al
1:15:06final de la clase y también al final de
1:15:08lo que quería ver con ustedes hoy día.
1:15:12Multiplicación por lambda a la n por un
1:15:14factor
1:15:24por un factor exponencial.
1:15:28Si A de Z es la generatriz en Z de a
1:15:31sub,
1:15:33la pregunta
1:15:36eh, ¿cuál
1:15:38pregunta sería, ¿cuál sería la
1:15:40generatriz en Z de lambda a la n por aú
1:15:43n?
1:15:47Ya,
1:15:50o sea, si cada factor, cada término de
1:15:53la sucesión yo lo multiplico por lambda
1:15:55a la n, donde n es el subíndice
1:15:57correspondiente,
1:15:58¿cuál es la generatriz?
1:16:01La respuesta es bien es simple. La
1:16:04generatriz en z de lambda a la n por a
1:16:07sub n por la definición sería sumatoria
1:16:10para n mayor igual que 0 de lambda a la
1:16:14n su n por z a la n, ¿cierto?
1:16:19Pero esto yo lo puedo
1:16:21reescribir n mayor o igual que 0 de a su
1:16:24n por lambda z a la n. O sea, es la
1:16:31generatriz pero evaluado en lambda z
1:16:34en vez de estar evaluado
1:16:37en vez de estar evaluado en en Z.
1:16:42¿Ya?
1:16:43Y aquí hay un ejemplo
1:16:46de uso que en realidad nos va a resultar
1:16:50útil muchas veces. Sabemos que 1/ por 1
1:16:53- z
1:16:56corresponde a a su n = 1, ¿no es cierto?
1:17:00Todo constante igual a 1 me da 1 par z.
1:17:04Entonces, eh, ¿cuál sería
1:17:09si en vez de ser a su n fuera 2 a la n?
1:17:13Ya, esa sucesión exponencial.
1:17:17Bueno, el 2 a la noo n anterior, pero
1:17:21multiplicado por por 2 a la n, o sea,
1:17:23para lambda = 2. Ya, multiplicado por
1:17:26lambda a la n con lambda = 2. Por lo
1:17:28tanto, eso significa que en la función
1:17:30generatriz lo que yo tengo que hacer es
1:17:31el z reemplazarlo por 2 z.
1:17:38esto ya. Así es que yo conozco la
1:17:42generatriz eh o o conozco cuál es la
1:17:45sucesión que corresponde no solo a 1 por
1:17:481 - z, sino que a 1 parido por 1 -
1:17:50lambda z para cualquier lambda. Ya es
1:17:53cosa de y y eso para cualquier otra
1:17:57función generatriz que aparezca. Si
1:17:59donde dice z aparece todo reemplazado
1:18:01por lambda z, yo sé que eso quiere decir
1:18:04que en la sucesión cada término de la
1:18:06sucesión va a estar multiplicado por
1:18:07lambda a la n. Ya.
1:18:11Muy bien. Y
1:18:18la última propiedad importante,
1:18:21no sé si la vamos a alcanzar a
1:18:22desarrollar completamente hoy día, pero
1:18:24vamos, intentémoslo.
1:18:29La convolución,
1:18:36¿cuál sería? Supongamos que yo tengo,
1:18:39a ver,
1:18:44supongamos
1:18:49que A de Z es la generatriz en Z de AU N
1:18:55y que B de Z es la generatriz en Z de B
1:19:00sub. Tengo dos sucesiones, ¿ya?
1:19:03Y la pregunta es, ¿cuál sería la
1:19:05generatriz en Z de la convolución de
1:19:07esas dos sucesiones? ¿Qué cosa es la
1:19:09convolución? Es la sumatoria para 0
1:19:12menor o igual que k men igual que n de a
1:19:15sub k * b sub n - k.
1:19:21Eso es lo que se llama la convolución.
1:19:23Ya
1:19:31para para n = 0. Esto sería sub0 por b
1:19:33sub0. Ya. A ver, es que es eh
1:19:37expandámonos un poco para que ustedes
1:19:39entiendan bien de qué estamos hablando.
1:19:40Ya. Eh,
1:19:44¿cómo se expande eso? Eh, para
1:19:48n = 0 es a sub.
1:19:56Ya.
1:19:58Eh,
1:20:01a ver. Eh, más que
1:20:04poremos esto
1:20:10más bien veamos cuál sería eso. A sub0
1:20:13P0 sería para n = 0. Para n = 1 sería a
1:20:18sub0 b1 más a sub1 b0
1:20:23por z. ¿Ya? Y el siguiente sería
1:20:27A sub0 B2
1:20:30+ A sub1 B1
1:20:32más a sub2 B0
1:20:35por Z² y así sucesivamente. Eso esa es
1:20:39la convolución.
1:20:41Ahora puede parecer superarbitrario
1:20:45formar esos productos. ¿A quién se le
1:20:46ocurriría? ¿No es cierto? Resulta que
1:20:48esos productos aparecen con de manera
1:20:51bastante natural, aunque ustedes no lo
1:20:52crean. ¿Ya?
1:20:54Okay. Eh, escribamos esto de manera
1:20:57simétrica.
1:21:15Como la generatriz en Z de la sumatoria
1:21:20de AUI por B sub J.
1:21:24Ya. Eh,
1:21:27para todo y y j mayor o igual que 0,
1:21:30pero con una condición que i + j tiene
1:21:33que ser igual a n. Se fijan.
1:21:37Entonces, en el primero aquí i + j vale
1:21:400 siempre. Acá y + j vale 1. Acá i + j
1:21:44siempre vale 2.
1:21:46Entonces esto parece una suma infinita,
1:21:48pero en realidad esto la cota. Ya.
1:21:55Entonces esto sería igual
1:22:01la generatriz sería igual a la sumatoria
1:22:04para n mayor o igual que 0.
1:22:07de esta sumatoria I + J mayor o igual
1:22:10que 0 con i + j
1:22:13= n de a su i * b sub j z a la n. Okay,
1:22:21ya.
1:22:23Eh,
1:22:28y esto lo puedo escribir entonces como
1:22:31la sumatoria para n mayor o igual que 0
1:22:34de la sumatoria de i j mayor o igual que
1:22:380 con tal que i + j = n. ¿Ya? Y el z a
1:22:43la n como como n es igual a i + j lo
1:22:46puedo separar z a la i* z a la j.
1:22:48Entonces puedo escribir esto como a sub
1:22:51i * z a la i, b sub j * z a la j.
1:22:56Okay. Y ahora
1:23:00ahora pasa algo super importante que que
1:23:03lo entiendan bien porque lo vamos a usar
1:23:05una y otra vez. Veamos qué pasa con este
1:23:08espacio de subíndices. Ya esto dice,
1:23:12tengo los subíndices I y J. I y I y J.
1:23:16¿Ya? Y aquí está el uno, el dos, el
1:23:18tres, el uno, el dos, el tres, etcétera.
1:23:21¿Ya? Supongamos que aquí tengo la malla
1:23:25de los subí índees posibles. Entonces
1:23:27para n = 0 eh son todos los que todo eh
1:23:31tomo todos los sub índices que suman
1:23:33cero, que es solo ese. Este corresponde
1:23:35al caso n = 0.
1:23:38Para i = 1 i = 0, j = 1 e = 1 j = 0. O
1:23:44sea, serían este y ese corresponde al
1:23:48caso n = 1. Para el caso n = 2 tengo 0 2
1:23:541 y eh y 2
1:23:58que serían este s y ese en ese caso
1:24:02igual 2. Y así yo voy tomando diagonal
1:24:06por diagonal avanzando en esa dirección.
1:24:09Ya,
1:24:11pero el resultado de eso es que una vez
1:24:13que yo continúo este proceso, al final
1:24:18e de hacer este barrido así por diagonal
1:24:21por diagonal por diagonal, al final
1:24:22terminado barriendo todo el cuadrante.
1:24:25Por lo tanto, esto es equivalente
1:24:28a decir sumatoria
1:24:30sobre todo i y i j mayor o igual que 0.
1:24:34Esto igual es una doble sumatoria sobre
1:24:36i sobre j, ¿no es cierto? Ya, pongamos
1:24:38doble sumatoria.
1:24:40Doble sumatoria sobre todo y j mayor o
1:24:42igual que 0 y nos olvidamos del n. Ya.
1:24:45Entonces, porque al final el n lo único
1:24:49que nos indicó en qué orden fuos
1:24:50haciendo el barrido, pero en realidad da
1:24:52lo mismo en qué orden lo hagamos. Al
1:24:53final hay que terminar sumando todos los
1:24:54términos. Así es que esto es igual a la
1:25:00doble sumatoria sobre todo y j mayor o
1:25:03igual que 0. de a su i por z la i
1:25:08p sub j z a la j y estas dos sumatorias
1:25:12son separable por un lado tengo la
1:25:14sumatoria sobre todo y mayor o igual que
1:25:160 de a su i por z a la i
1:25:19y por otro lado tengo la sumatoria sobre
1:25:22todo j mayor o igual que 0 de b sub j z
1:25:25a la j
1:25:28y esto no es otra cosa que a dez
1:25:32y esto no es otra cosa que b de Z. Por
1:25:35lo tanto, la generatriz
1:25:38en Z de la convolución, que es una suma
1:25:41tan rara, 0 menor o igual que K menor o
1:25:45igual que n de A sub K * B sub N - K.
1:25:51La generatriz de eso no es otra cosa que
1:25:53el producto de las generatrices.
1:25:58Y esto es una propiedad s super útil,
1:26:01porque
1:26:03vamos a ver que en ocasiones nos
1:26:04aparecen convoluciones en nuestras
1:26:06ecuaciones de recurrencia que a primera
1:26:09vista aparecen como imposible de
1:26:10resolver porque es una sumatoria super
1:26:12enredada y en realidad cuando nos damos
1:26:14cuenta que es una convolución sabemos
1:26:16que la que en el espacio de las
1:26:17generatrices lo que vamos a tener es el
1:26:19producto de las generatrices y eso es s
1:26:21simple. Ya. Y con eso estamos justo en
1:26:24la hora. Así es que eh con eso
1:26:26concluimos nuestra clase de hoy. Ah,
1:26:30muchas gracias por por venir.
1:26:34Gracias, profe.
1:26:37Profe, una consultita antes de terminar.
1:26:39Déjame, eso sí, eh cortar