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0:06Buenos días. Vamos a comenzar esta clase
0:10e
0:14con un pequeño repaso de lo que vimos la
0:15clase pasada, eh porque eh la idea hoy
0:20día es ver el uso
0:24de eh funciones generatrices
0:35para resolver.
0:40ecuación de recurrencia.
0:53Entonces, un pequeño recordatorio. La
0:55idea es que a cualquier función de un
1:01de un parámetro entero no negativo
1:05le podemos asociar
1:07una función generatriz que denominamos A
1:10de Z
1:14con también con esta función con un
1:17operador GZ que transforma su N en Z y
1:20que está definido como la sumatoria
1:24para n mayor o igual que 0
1:27t a sub n por z a la n, ¿no es cierto?
1:29Eso es lo que tenemos.
1:31Y en la clase pasada vimos algunas
1:35funciones generatrices importantes.
1:38Eh,
1:40la generatriz del delta de Kreneker, de
1:42la función que vale, perdón, que vale 1
1:45en n = 0 y 0 en todo el resto es 1.
1:50¿Cierto? La generatriz
1:53de 1
1:55de la constante 1 es 1/- z.
2:00La generatriz
2:02de n + 1
2:05es 1/ido por 1 - z
2:08al cuadrado.
2:11¿Ya?
2:12Y y en general la generatriz
2:16del coeficiente binomial simétrico n
2:19alfa
2:22es 1/- z
2:26a la alfa + 1
2:32donde
2:35n coma alfa
2:38es n + alfa sobre n
2:45también eh lo podemos equivalentemente
2:49se puede escribir como alfa + 1 a la
2:52ncente
2:54dividido por n factorial.
2:58Después, respecto de algunas
2:59propiedades,
3:03si
3:06ADZ es la generatriz
3:11eh a su n,
3:14entonces tenemos algunas propiedades
3:17útiles. Por ejemplo, la generatriz en Z
3:20de a sub n + 1, o sea, la secuencia
3:24desplazada en 1 es 1 partido por z por a
3:29z - a sub0.
3:34Eh,
3:39si
3:44la generatriz en Z
3:48de AU n -1,
3:51desplazamiento en el otro sentido es Z
3:55por A Z.
3:58Esto es suponiendo
4:04que
4:06a sub - k es 0 para todo k mayor o igual
4:10que 1, ¿cierto? todo el lado negativo es
4:13es cero.
4:16Y otra propiedad super útil es que
4:21GZ
4:23de
4:25lambda a la n por a sub n, o sea, si
4:28cada a sub n se multiplica por un
4:29parámetro lambda elevado a la n,
4:33eh
4:36eso su función generatriz es a evaluada
4:41en lambda z en lugar de z.
4:45Ya.
4:47Y creo que lo último que vimos en la
4:50clase pasada fue la
4:54generatriz de la convolución,
4:57que si si a de Z
5:02es la generatriz en Z de A sub N
5:07y B de Z,
5:10la generatriz en Z de otra función B sub
5:14N.
5:17Entonces, eh la generatriz
5:21en Z de la convolución,
5:23la convolución es la sumatoria de A sub
5:26K * B sub n - k para 0 menor igual que K
5:31men igual que n,
5:33que también se puede escribir de manera
5:35simétrica como la generatriz en Z de la
5:40sumatoria de A sub por B subj
5:44tomado sobre todo y j mayor o igual que
5:470 tal que i + j = n.
5:52Okay, manera equivalente escribirlo
5:56y esto la generatriz de estas sumatorias
5:59que se ven bastante
6:02complicadas, eh, la generatí es muy
6:04simple, es el producto de AD Z por BZ.
6:12Así que ahí creo que tenemos un
6:14repertorio
6:15de funciones útiles y y
6:21propiedades que nos van a permitir ahora
6:24abordar los siguientes ejemplos.
6:32El ejemplo número uno,
6:37supongamos una simplemente una función
6:39que crece exponencialmente,
6:41o sea, que a sub n + 1
6:45es dos veces a sub n
6:47con a sub0 = 1.
6:52Hay una leyenda asociada a la a la
6:55invención de la ajedrez
6:57que
6:59dice que en recompensa por haber creado
7:03este juego, el no sé, debe haber sido el
7:07sultán de la época o algo, eh, a su
7:10autor le dijo que
7:13le pidiera cualquier cosa que quisiera,
7:15yo se la daba y y el inventor le dijo,
7:18"No, yo no quiero nada, no quiero mucho,
7:20solo quiero
7:22un
7:23un grano de arena por el primer un grano
7:27de trigo en realidad por el primer eh
7:30cuadro del tablero.
7:33Eh, el doble de eso por el segundo, el
7:35doble de lo anterior por el siguiente y
7:38así sucesivamente, o sea, 1 2 4 8 16 32
7:43hasta llegar a a llenar el tablero de 64
7:46casilleros.
7:48Y el monarca
7:50le dijo, "Por supuesto, ningún
7:52problema." Hasta que sus asesores le
7:55explicaron que no había suficientes
7:58granos de trigo en todo el reino para
8:00poder juntar toda esa cantidad y no solo
8:03en todo el reino, seguramente en todo el
8:04universo. Así es que eso es lo que es el
8:07crecimiento exponencial.
8:09Entonces aquí aquí tenemos modelado
8:11crecimiento exponencial. Cada valor es
8:13el doble del anterior partiendo con uno,
8:16¿no es cierto? Entonces, lo que vamos a
8:17hacer,
8:19vamos a aplicar la función generatria.
8:21Bueno, esta es muy simple, está la
8:22nosotros podemos adivinar la solución,
8:24por supuesto, pero veamos cómo lo
8:25haríamos con funciones generatrices. Eh,
8:28hay que aplicar la función generatriz a
8:29ambos lados de la ecuación de arriba,
8:30¿ya? Entonces, sabemos que la generatriz
8:34de 1 / por n + 1 es 1/ z por a z
8:40- a sub0, ¿cierto?
8:43Y la el lado derecho por linealidad
8:46sabemos que es dos veces a Z.
8:50Okay. Bueno, al tiro ya sabemos que a
8:53sub0 vale 1
8:56por la condición de borde, ¿no es
8:58cierto? Si multiplicamos todo por z,
9:01eh, va a quedar a z - 1 = 2z
9:09por ad,
9:10¿cierto?
9:12Y si ahora pasamos el 2z porz a la
9:15izquierda y pasamos el -1 a la derecha,
9:18queda eh 1 - 2z
9:22por az
9:25= 1, ¿no es cierto? Y si despejamos aquí
9:28queda dez = 1/ por 1- 2z.
9:37Ahí está la solución. Ya, la solución en
9:40el dominio de los Z.
9:42Y ahora, ¿cuál es la solución al dominio
9:44de los AU n de los ns? Eh, bueno,
9:48nosotros sabemos que eh la generatriz
9:52aquí
9:54de de 1 es 1 parido por 1- Z.
10:00Aquí, ¿no es cierto?
10:03Esto aquí abajo se le parece, pero no es
10:05lo mismo. No es 1/ido por 1 z, es 1/ido
10:08por 1 - 2z.
10:10Entonces, el el Z aparece multiplicado
10:12por 2 y eso nos lleva a esta regla. ¿Por
10:17qué faltó el paréntesis ahí? A ver,
10:20ya parece que lo borré inadvertidamente.
10:25Okay, nos lleva esta regla.
10:28Si yo tengo una función conocida a como
10:311/ por 1 - z, pero donde en lugar de
10:33zambda z, quiere decir que en el
10:36original cada a su n hay que
10:39multiplicarlo por lambda a la n. En este
10:41caso, eh, los a sub n eran constante
10:44uno, así que al multiplicarlo por 2 a la
10:46n queda 2 a la n. Y eso es exactamente
10:49lo que es
10:51el a sub n. A sub n es 2 a la n.
10:56como ustedes me imagino que ya habían
10:58adivinado desde hace mucho rato, ¿ya?
11:01Pero esta es la
11:03esta es la solución eh en términos de
11:07funciones generatrices. Ya. Ahora, en
11:10este caso da la casualidad que nosotros
11:14conocíamos el
11:16eh estas reglas que nos permitieron
11:18invertir la función generatriz por
11:21inspección, ¿ya? Eh, si no la si no
11:25encontramos ninguna regla inmediatamente
11:27aplicable, ¿qué podríamos hacer? Ya,
11:30bueno, lo que lo que podríamos hacer es
11:33decir, mire, A de Z
11:36es eh sumatoria.
11:40Ah, bueno, es es 1 paro por 1 - 2z. Pero
11:42yo lo yo sé
11:45que la expansión en serie de 1 parido
11:47por 1 - x es sumatoria x a la a la n.
11:51Ya, en este caso x es 2z. Entonces sería
11:54sumatoria para n mayor o igual que 0 de
11:572z a la n.
12:00¿Ya? Y eso es lo mismo que la sumatoria
12:05para n mayor o igual que 0 de 2 a la n z
12:09a la n, ¿no es cierto?
12:12Y
12:18y esto que aparece multiplicando al z a
12:20la n
12:22nos lleva el caso n es 2 a la n, ¿ya? O
12:27sea, lo que sea que está multiplicando
12:28al z a la n, eso es el a sub n.
12:32Y de hecho hay una anotación que se
12:35utiliza que resulta útil en este caso
12:38que es la siguiente.
12:40Se dice
12:42que eh a sub n
12:46es el coeficiente que multiplica z a la
12:49n
12:50de z.
12:52Ya,
12:54eso esta anación de paréntesis cuadrado
13:00que es el coeficiente
13:07que multiplica
13:14a Z a la n.
13:23que
13:26vamos bien hasta aquí, ¿no? Ninguna
13:29sorpresa, ¿no es cierto?
13:31Sí, pero profesor
13:33esa como expansión en trailer siempre va
13:36a ser tan directa como siempre se va a
13:38cachar que hay un término Z la N.
13:41Eh, no siempre, pero eh
13:46nosotros sabemos cómo hacer expansión en
13:48serie de Taylor, así que eh por lo menos
13:51en principio podemos calcular el
13:53coeficiente de Z a la n derivando n
13:55veces evalando en
13:58en eh z = 0 y dividiendo por n
14:01factorial. Ah, por lo menos en
14:03principio.
14:04Ya.
14:06E ya, pero decía si si no había oído
14:09ninguna sorpresa. Bueno, aquí aquí va a
14:11haber una ya otra forma.
14:18Eh,
14:20la ecuación anterior estaba escrita
14:22diciendo que a su n + 1 era 2 a sub n,
14:24¿no es cierto? Y a su 0 es igual a 1.
14:27Eh, pero yo podría haber escrito eso
14:29equivalentemente de la siguiente manera.
14:31Mire, a su n es dos veces a su n - 1, lo
14:35mismo, ¿no es cierto? O sea, dos veces
14:37el anterior con a sub = 1.
14:42Y y le podría haber aplicado el mismo
14:44método. Aplico función generatriz, ¿no
14:46es cierto?
14:49Y entonces a la izquierda me queda ADZ.
14:53A la derecha, ¿se acuerdan de la regla?
14:55Aquí
14:57la regla dice que eh la generatriz
15:04de a sub n - 1 es simplemente z por sub
15:07z. Okay. Así es que
15:11eh aquí vamos a tener e
15:15z por a z, ¿no es cierto?
15:19Y eso eh moviendo a la izquierda me
15:22queda que a z, perdón, eh
15:282 z, perdón, ¿no es cierto? Se me estaba
15:30quedando en el tintero el 2 es 2 z porz
15:34factor de 1 - 2z
15:37igual 0. Por lo tanto, z = 0.
15:51que supongo que no es la solución, no es
15:53la lo que ustedes esperaban, ¿no es
15:55cierto?
16:00¿Qué pasó?
16:03Está malo. Ya el método nos llevó una
16:06solución equivocada.
16:09E,
16:11¿por qué pasó eso?
16:15Lo que ocurre es que para eh poder
16:19aplicar el operador de función
16:21generatriz que tenemos aquí,
16:24se lo tenemos que aplicar a una ecuación
16:26que sea válida para n mayor o igual que
16:280, para todo n mayor igual que 0, porque
16:31aplicar función generatriz significa
16:33multiplicar por z a la n y sumar para
16:35todo n mayor o igual que 0. Ya.
16:39Eh, resulta que eh esta ecuación
16:43eh no es válida para todo mayor o igual
16:45que er. Veamos por qué. Ya, aquí está el
16:48error.
16:51El error
16:55es que para
16:58aplicar
17:04que Z
17:06debemos
17:09hacerlo
17:13sobre algo, un valor, una ecuación.
17:20válido
17:22para todo n mayor o igual que
17:25de lo contrario no es no es correcto
17:28y veamos qué es lo que sucede. sucede la
17:31ecuación
17:37a su n = 2 a su n - 1
17:44es válida.
17:47Bueno, es válida en general, ¿no es
17:48cierto? Que se va a sub 10 es 2 a sub.
17:52Okay, es por ahí no va el problema. El
17:54problema está al comienzo.
17:57Es válida para todo n mayor o igual que
17:591, ¿cierto? A sub un es dos veces a sub,
18:03pero
18:06no
18:10para
18:11n = 0. ¿Por qué? Porque para n = 0
18:17diría que a sub0 es 2 a sub-1, ¿no es
18:22cierto?
18:26Pero la convención es que a sub-1 es 0.
18:28Por lo tanto, estoy diciendo que a sub0
18:30es 0.
18:32Y eso no es cierto porque a sub0 tiene
18:34que ser uno, como dice la condición de
18:36borde. Ya, por lo tanto, falla con la
18:40condición de borde
18:42y por eso yo no lo puedo aplicar así.
18:53orden. Okay.
18:56Okay. Eh, quiere, por lo tanto, en
18:59general, si uno no quiere correr el
19:01riesgo de equivocarse,
19:03es bueno, a mejor digamos eh escribir
19:07las ecuaciones de modo de que todas las
19:09variables que aparezcan puedan ser
19:12válidamente eh ceros o ya,
19:17perdón. que que toda la parte donde
19:20aparece n eh eso sub índice es mayor o
19:23igual que cer.
19:26Eh el caso aquí, ¿no es cierto? en esta
19:30y aquí los n los subíndices parten de
19:32uno en adelante que parten de cero en
19:33adelante. Perfecto. Ya, pero acá no,
19:39acá no, porque para n = 0 tengo un sub
19:42índice que vale -1 y eso eh arruina
19:45arruina todo. Así que la primera es más
19:47segura de de escribir si quieren hacerlo
19:50sin riesgo de equivocarse, pero eso no
19:52quiere decir que la segunda esté
19:55eh definitivamente perdida como como
19:58opción. Ah, e si es que pero ya ese es
20:05el error y aquí, pero
20:09esto se puede
20:13parchar
20:18de la siguiente manera.
20:22Yo si yo escribo mi ecuación
20:25a su n = 2 a su n - 1.
20:30Okay, como decíamos, esta ecuación es
20:32válida para todo n mayor o igual que 1,
20:36pero no es válida para n = 0, porque
20:38para n = 0 predice que a sub0 es 0,
20:42cuando en realidad debería ser que a
20:44sub0 es 1. Entonces, cuando tengo una
20:46ecuación que me está diciendo que algo
20:49vale cer, cuando en realidad vale uno,
20:51yo lo puedo parchar sumándole un delta
20:55de cronicer.
21:00¿Ya?
21:02Entonces, cuando para todo n mayor o
21:05igual que 1, eso es la misma ecuación
21:07anterior, porque eh el cajón de n = 0 es
21:110, pero para n = 0, que es el que el
21:15punto crítico,
21:17eh
21:18me predice correctamente que a sub0 es
21:211. Así que perfecto. O sea, por lo
21:24tanto, esta ecuación es válida para todo
21:26n mayor o igual que 0.
21:32Y a ella sí
21:35le puedo
21:37aplicar. Ya, pongámle aquí
21:41en verde
21:43un tic de que está correcto,
21:46mientras que podemos volver atrás y acá
21:49ponerle una X de que eso no está
21:51correcto. Ya.
21:56Entonces, eh,
21:58¿qué qué obtengo cuando se la aplico? A
22:00la izquierda me queda AD Z.
22:03Acá 2
22:06AD Z. ¿cierto?
22:09Y se acuerdan cuánto era la generatriz
22:10del Delta Kreneker
22:13fue la primera que pusimos.
22:17¿Cuál es la función generatriz de del
22:20cajón de n = 0?
22:28¿Se acuerdan con lo que es la función?
22:30La sumatoria de su n por z la n, ¿no es
22:32cierto? En este caso a sub n es cajón de
22:35n = 0. ¿Qué vale? que que vale cero casi
22:38siempre. Así que la generatriz
22:40prácticamente se anula toda, salvo para
22:43n = 0, donde vale uno. Entonces, la
22:46subcer que vale 1 se multiplica por z0
22:48que vale 1 y el resultado es
22:53uno.
22:54Uno
22:55más uno. Claro, esa es la Ya, eso fue la
22:59la primera fórmula que escribimos en la
23:01clase hoy día. Va.
23:04Y de aquí yo puedo pasar a la izquierda
23:06el 2z, ¿no es cierto? y me queda 1 - 2z
23:12por ad
23:14= 1 y y
23:20despejo 1 - 2z y perfecto, ya llegamos a
23:25la misma función generatriz a la que
23:26habíamos llegado antes, que es como debe
23:28ser, por supuesto.
23:30Entonces, con esto y en ningún momento
23:32usamos e en en este desarrollo de aquí
23:36al final nunca usamos la condición de
23:38borde, a diferencia de lo que pasaba
23:40acá, donde eh tuvimos que usar la
23:44condición de borde, decir que a su cer
23:45vale uno, ¿no es cierto? Aquí
23:49ya acá en nuestro desarrollo, en la
23:52solución, nunca usamos eso. ¿Por qué?
23:55porque la condición de borde ya está
23:56metida dentro del de la ecuación misma.
24:01¿Okay? Así que ahí tenemos nuestra
24:04ecuación.
24:07¿Se entiende? Sí.
24:10Sí. P.
24:11Ya. Perfecto. Vamos a otro otro ejemplo.
24:15Ya. Este era el ejemplo.
24:17Este era el ejemplo. Si usted quieren
24:19poner un nombre del de la invención de
24:22la Jedrez. Ah, de la leyenda de la
24:23invención de la jedrez.
24:25Vamos a
24:28vamos a un segundo ejemplo que es el de
24:31la el número de movidas en las torres de
24:33Jatico.
24:48Todos conocen el P de las Tor
24:52no.
24:54Tien que haberlo visto
24:56hasta en las ferias artesanales uno
24:58encuentra las torres de Hanoy, ¿no es
24:59cierto? eh que consiste en que eh yo
25:02tengo
25:04tres estacas ya eh donde hay piladas en
25:09la primera de ellas
25:11n discos
25:13y el objetivo que están en orden de
25:16diámetro decreciente hacia arriba
25:19y se tienen que trasladar todos a a la
25:23estaca de destino. que este la estaca
25:25uno, la dos y la tres. Hay que mover n
25:28discos desde la uno a la tres,
25:30¿cierto? Y con la regla de que solo se
25:34puede mover un disco a la vez y que
25:37nunca puede haber un disco más grande
25:38sobre uno más chico. Ese es el puzle de
25:40las torres de Hano y la forma. Este es
25:43un ejemplo típico de
25:47de
25:49recursividad. Ah, porque se puede ver de
25:51la siguiente manera recursiva que dice,
25:53miren, si yo tengo aquí mis tres estacas
25:59y quiero mover, pongámoslo así, n de
26:02aquí para acá,
26:04eso es equivalente a hacer lo siguiente.
26:07Primero,
26:09si aquí tengo esto, dejar la el disco
26:12más grande abajo y las n-1 de arriba
26:18moverlas, pero a la estaca central.
26:21Ya. Entonces, con eso, esto como queda?
26:26Queda así.
26:32Aquí queda una.
26:34Aquí quedan n - 1. Ah, bueno, ¿eso cómo
26:37lo hago? Recursivamente, usando el mismo
26:38método, ¿ya? Pero para mover n - 1 y no
26:42para mover de la 1 a la 3, sino que de
26:44la 1 a la dos. ¿Ya? Pero aparte de eso,
26:46el mismo método con distintos
26:47parámetros.
26:50Luego, eh, ahora sí puedo mover esta
26:53estaca
26:54a su destino final, ¿no es cierto? Y eso
26:59nos deja así.
27:06Y ahora estas n -1 las puedo poner
27:09encima acá recursivamente
27:13y eso nos deja finalmente en esta
27:16situación,
27:20qué es lo que queríamos. Ya, así que así
27:23se resuelve recursivamente
27:26y el número de movidas que hicimos, yo
27:29lo puedo eh modelar
27:32eh
27:34diciendo que eh
27:38la sub n, el número de movidas para
27:42mover n discos
27:47eh
27:48dos veces el número de movidas para
27:51mover
27:53n - 1 discos porque tengo que hacer dos
27:55veces el d más recursivo, ¿no es cierto?
27:58Más una
28:00que es cuando eh cuando traslado el
28:04disco grande que estaba debajo de todo,
28:06¿ya? Y eh
28:10y ay, ¿qué pasa cuando hay que mover
28:12cero discos? Bueno, eso es fácil, pues
28:13no muevo ninguno y con eso estoy listo.
28:15Ya.
28:18Entonces, e
28:21la pregunta es eh esta primera ecuación
28:25el que hay un n -1 ahí de inmediato nos
28:28permite sospechar que que a lo mejor no
28:31todo va a funcionar bien, ¿ya? Así que
28:33chequémoslo.
28:34Eh,
28:37esta ecuación, ¿qué nos dice para n = 0?
28:40Ya, para n = 0 nos dice que a sub0 aquí
28:49nos dice que a sub0 es dos veces a
28:51sub-1, por lo tanto eso es 0 + 1, o sea,
28:55me dice que a sub0 es 1.
28:58Eso está malo.
29:00me dice que a sub0 es un eh, por lo
29:03tanto, una de dos o yo escribo mi
29:07ecuación para a sub n + 1 en vez de a
29:11sub n. Ese se lo podría dejar a ustedes.
29:14Ah, una solución como ejercicio.
29:18Pongamos otro color aquí para que se
29:21distinga
29:24como ejercicio.
29:29Ya.
29:30resolver
29:33la ecuación que dice que para mover n +
29:36un disco, yo tengo que mover dos pilas
29:39de tamaño n y además mover uno abajo y
29:43que cer a sub cer vale cer perdón está
29:48to
29:49error aquí ya y que a sub0 vale cer0
29:53esa ecuación no debería tener el
29:55problema que tiene que tiene esta ya
29:59eh porque incluso para n = 0 es válida.
30:01Me dice que a sub1 es 2, a sub0 + 1 y
30:03eso es correcto. ¿Ya? Así que les dejo
30:06que ustedes resuelvan eso como
30:07ejercicio. Pero nosotros por nuestro
30:09lado, ya eh para que esto se pueda
30:16resolver, lo que tengo que hacer es la
30:18ecuación a su n 2 a su n
30:23-1 + 1 parcharla.
30:26Ya
30:28medio raro.
30:32¿De qué manera? Esta ecuación para a
30:35predice que a sub vale uno cuando en
30:37realidad vale cer por tengo que restar
30:39un delta crener.
30:43De modo que para 0 va a decir que sub es
30:461 men 1 0. Está bien. Ya. Y esta es la
30:49ecuación que vamos a resolver en
30:51realidad. Okay. Entonces, eh vamos eh
30:57aplicando función generatriz ahora que
30:59podemos
31:01va a decir que a zz
31:06ADZ.
31:10¿Cuánto es la generatíz de un?
31:27La generatriz de uno
31:321 sobre 1 Z.
31:33Exacto. Ya.
31:37Okay. Menos la generatriz del Delta
31:41Kreneker, de generatriz de cajón de N =
31:430, que ya sabemos que vale uno, ¿no es
31:45cierto?
31:46Ahí, esa es mi ecuación. Ahí. Entonces,
31:49ahora eh ¿qué es lo que puedo hacer?
31:52Multiplicar todo por 1 - z, ¿no es
31:54cierto?
31:56Eh,
32:00¿sí o no? Ya, ya. Multipliquemos todo
32:02por 1 men Z.
32:07En está bien eso, ¿eh?
32:12Sí. Pues ya. Entonces va a quedar 1 - z.
32:16por a z
32:19= 2z
32:22* 1 - z
32:25+ 1 - 1 - z, por lo tanto -1 + z. Ya,
32:32ya, por lo menos algo que se cancele
32:34aquí.
32:37Y
32:39ah, perdón, perdón, perdón, se me olvidó
32:41lo más importante, equipo. Eh,
32:48aquí
32:50al multiplicar esto por 2 z por 1 men z,
32:53perdía la de Z.
32:56Ya. Entonces, corrijámoslo el tiro que
32:58nadie se de cuenta.
33:02Ya.
33:03Entonces,
33:072
33:10z * 1 - z * a de z. Ahí está mejor.
33:17Eso está bien, ¿eh?
33:23Bueno, sí va a estar bien, pero
33:32Ah, claro,
33:34sí, lo pasa mi apunte lo tengo más
33:36simple. ¿Y por qué? Porque ahora que
33:38desapareció el el Z, puedo dividir,
33:43puedo ya puedo pasar para la izquierda
33:46el
33:472 por 1- Z por Z. Ja. Eh, y a la a la
33:52derecha queda solo Z. Entonces, ahora
33:54puedo dividir todo por 1 men Z. Que
33:57deshacer lo que hice. Bueno, en fin.
33:59Entonces, hagámoslo así para quedar
34:03eh a de Z.
34:08eh por
34:111 - 2z,
34:13¿cierto?
34:15E por 1 - z, pero eh eso lo voy a pasar
34:19al tiro dividiendo para el otro lado. Z
34:21par por 1 Z. Ya.
34:26Ya.
34:30O sea, podría haberlo hecho con menos
34:32trabajo. Okay. Entonces va a quedar Z.
34:36partido por eh 1 - z y partido por 1 -
34:412z.
34:43Esa es nuestra
34:45solución en términos de funciones
34:47generatrices.
34:49Ya.
34:51Eh,
34:55okay. ¿Y qué hago con esto?
34:58Ya necesito invertir la función
35:01generatriz para poder obtener el azu
35:05alguna.
35:05Podemos intentar hacer fracciones
35:06parciales.
35:07Correcto. Fracciones parciales.
35:14¿Alguno de ustedes les suena que esto es
35:15super parecido a cosas que se hacían en
35:17ecuaciones diferenciales ordinarias?
35:22Porque es cierto, sí
35:24hay mucho, mucho paralelismo aquí entre
35:27eso y esto. Entonces, vamos a hacer
35:30fracciones parciales. Todos ustedes
35:32saben hacer expansión en fracciones
35:33parciales, así es que no los voy a
35:35molestar dándole el detalle cómo se hace
35:37eso a mano. posible que alguno se le
35:40haya olvidado, pero eh vamos a
35:42aprovechar que tenemos aquí el Sage, que
35:47cada día estoy aprendiendo un poquito
35:49más sobre cómo usarlo.
35:52Entonces, entre paréntesis, mientras me
35:55cambio de pantalla, ¿cómo les ha ido a
35:56ustedes con Sage? Eh, ¿han logrado
36:00instalarlo en sus computadores o hay
36:01alguien que lo esté usando en Cocalk,
36:04por ejemplo, vía web? que mientras me
36:08cambio, cuéntenme un poquito cómo les
36:09está yendo.
36:11Yo lo estoy ocupando en mi local y no
36:13tuve problema en instalarlo. Si instal
36:15¿En qué plataforma es eso?
36:17¿En qué
36:18local?
36:19No, en qué sistema Windows
36:21Linux. Listo, ya
36:27le pasé la conversación cloud y cloud me
36:29dio todos los comandos,
36:33no hubo mucha.
36:39Ya estamos acá. ¿Alguien lo está usando
36:43en Cocalk?
36:47No. Bueno, okay. Entonces vamos aquí.
36:52Vamos a
36:55a ver.
37:00Ya. Entonces vamos a decir que
37:05Z es bar de Z.
37:12bar quise decir.
37:17Ya
37:19alguno de usted ha descubierto cuándo
37:20uno tiene que usar bar y cuándo no.
37:26Me imagino cuando se va a ocupar como
37:28variable simbólica.
37:30Claro, cuando se va a usar como variable
37:31simbólica. Lo es correcto. La única que
37:34no se necesita declarar de esa manera es
37:38eh X.
37:39X viene predeclarado como variable
37:41simbólica, pero las demás se se necesita
37:44hacerlo. Entonces, lo que tenemos es Z
37:47dividido por eh 1 - z
37:51por 1 - 2z,
37:54¿cierto?
37:58Parece que estamos
38:02ya. A ver.
38:04Sí.
38:06Y ahora
38:09entonces podemos tomar lo anterior. Lo
38:10anterior recuerden que se dice
38:12subrayado. Si yo no le puse nombre,
38:14entonces subrayado me permite accesarlo.
38:17Punto partial fraction
38:23e en la variable Z. Hay que decirle cuál
38:27es la variable.
38:30Ahí está.
38:34Eh,
38:36en realidad a mí me va a convenir en los
38:38dos casos cambiarle signo. Ah, que el
38:40primero quede como 1 menos, perdón,
38:431/ido por 1 - 2z y que el segundo quede
38:46como 1/o por 1 - z, con lo cual tengo
38:49que ponerle signo negativo afuera.
38:51[carraspeo] Ya, pero esa es la
38:54esa es la expansión en fracciones
38:57parciales de esto que como dio estoy
38:59seguro ustedes podrían darle a mano más
39:01rápido incluso. Ah. Pero cuando son
39:03cosas más complicadas, vale la pena
39:05tener esto a la mano. Okay, entonces
39:08volvemos
39:18y listo.
39:22Ya. Entonces, esto con fracciones
39:25parciales queda como 1/
39:292 - 1/- z. ¿Okay? Y ahora yo puedo eh
39:41invertir eh uno por uno, ¿ya? O sea, el
39:45A Z queda así.
39:48Eh, lo cual implica entonces que la sub
39:52eh va a ser la inversa de 1 parido por 1
39:55- 2 z, pero ya sabemos que eso es 2 a la
39:57n menos la inversa de 1/o por 1 - z y
40:01sabemos que 1 parido por 1 - z es la
40:03generatriz de la constante 1.
40:07Así que aquí tenemos nuestra solución.
40:10Ya, ese es el número de movidas que se
40:14hacen para resolver el puzzle de las
40:15torreso de tamaño n eh 2 a la n - 1. Son
40:20bastante
40:24un número grande mod cuando no es
40:25grande. Ah, lo cual está
40:29lo cual es bueno eh des el punto de
40:32vista del universo, ¿no? que no sé les
40:35contar, me imagino que la leyenda de
40:37este puzzle que en realidad es un puzle
40:39matemático ah eh inventado hace un par
40:43de siglos atrás no más, pero la leyenda
40:45es que esto se originó cuando fue creado
40:48recién el universo y pusieron ahí este
40:52puzzle con 64
40:55discos de oro ah en estacas de diamante
40:59con un monasterio de monjes budista,
41:02supongo.
41:03eh dedicado toda su vida a a trasladar
41:05los discos desde el estaca 1 al estaca 3
41:09y que cuando completaran esa misión eh
41:13se iba a terminar el universo porque esa
41:15y no otra era la única razón por la que
41:17había sido creado.
41:20Bueno, dos a la 64 men un es un número
41:22muy muy grande, así que si est aunque
41:24estos monjes sean super eficientes
41:27es mover los discos, el universo tiene
41:29para rato, así que no no se preocupen.
41:33Ya, un tercer
41:36ejemplo, Fibonacci.
41:43Ya, [suspiro][grito ahogado]
41:45Fibonacci es eh
41:50una
41:53eh sucesión, ¿no es cierto?, que
41:55comienza con 0 y un y de ahí para
41:57adelante cada número es la suma de los
41:59dos anteriores.
42:01Yo lo puedo entonces escribir ya sea en
42:03la forma f subn + 2 es igual a f subn +
42:071
42:09+ f subn,
42:12lo cual es válido para todo n mayor o
42:13igual que 0 con f sub0 = 0, f sub1 = 1.
42:19Y eso es una manera de hacerlo.
42:22Y la otra forma es decir que f sub n
42:28es f sub n - 1 + f sub n - 2,
42:34lo cual eh hay que chequear si es válido
42:37para para n mayor o igual que 0.
42:42Eh, veamos. Y en este caso, como es una
42:46ecuación de segundo orden, tengo que
42:47probar no solamente para el cero, sino
42:49que para el cer y el uno. Ya del dos en
42:52adelante no hay ningún problema.
42:55¿Qué pasa con n = 0? Para n = 0 e
43:00esto me dice que f0 es 0.
43:03Igual está bien. Ah, f0 es f -1 + f -2.
43:08Eh, ambos cero, así que es cer. Eso está
43:10correcto. Así que no hay problema en n =
43:120. Pero el problema está en n = 1
43:15porque, ¿cuánto vale f1?
43:18F1 sería f0 que ya sabemos que vale 0 +
43:22f -1 que también vale 0. O sea, f1
43:24también valdría 0 según esta ecuación y
43:27eso está malo porque tiene que valer
43:28uno. Así que tenemos que pararchar
43:32sumando
43:34un delta de n, pero no en n = 0, sino
43:39que en n = 1.
43:42O sea, para n = 1, yo tengo que sumarle
43:431.
43:45Ya. Y ahora puedo aplicar la función
43:47generatriz.
43:50Entonces, eh
43:53ya vamos a
43:55aplicar la función generatriz aquí.
44:10Entonces me va a quedar que f
44:15es z
44:18por f de z
44:23+ z²
44:25por f z
44:30más
44:32cuanto es la generatriz de n igual uno,
44:42¿cuánto sería la función generativ de
44:43cajón de n = 1?
44:57Vayan a la definición. Sumatoria sub n
45:00por z la n. En este caso, todos esos a
45:03su n valen salvo uno, que el aú un que
45:06vale 1, el único que se salva en la
45:09sumatoria.
45:12Entonces,
45:14¿cuánto quedaría?
45:27A ver,
45:30les repito, sumatoria a su n por z la n.
45:34De todas esa sumatoria solo un término
45:35sobrevive, que es a su 1 * z a la 1.
45:39¿Y eso cuánto vale?
45:44Uno,
45:45no, a su un vale uno, pero ese 1 no está
45:50multiplicado por z la 0, está
45:52multiplicado por z a la 1,
45:57o sea,
45:59n.
46:00Ah,
46:02n.
46:04Espérate más fuerte. No te escucho bien.
46:07O escríbelo en la el chat.
46:14No, no, no, no. N porque la sumatoria ya
46:17fue. Cuando yo hago sumatoria da su n
46:20por z la n para todo n mayor o igual que
46:22la desaparece la variable n. Pues ahora
46:24queamos función de z.
46:33Ya, o sea, toda esa sumatoria lo único
46:35sobrevivió fue a su 1 por Z a la 1. Y si
46:40y si y si a su uno vale 1, ¿cuánto vale
46:43a su 1 por Z a la 1?
46:56Z
46:57Z, por supuesto. Z.
47:01Ya.
47:07Esto
47:11ahí está la la generatriz.
47:15Ya, la generatriz de cajón = 1 es z
47:19porque es a sub 1 * z a la 1. A sub 1
47:21vale 1, z la 1 vale z. Ya, aquí está
47:25nuestra ecuación. Ahora pasamos para la
47:26izquierda todo lo que tiene que ver con
47:27f y factorizamos el f y va a quedar 1 -
47:32z - z²
47:35* f de z = z.
47:40Y va a quedar que f de z
47:46dividido por 1 - z - z².
47:53Esa ecuación generatriz es la ecuación,
47:55perdón, esa esta es la función
47:57generatriz
48:00de Fibonacci.
48:07Ya.
48:09Bueno, aquí expandimos en fracciones
48:12parciales.
48:27Ya. Eh, y bueno, me voy a saltar unos
48:31pasos aquí y ustedes lo pueden hacer en
48:32detalle.
48:34Lo que hay que hacer es factorizar el
48:35denominador y esto queda factorizado
48:39así.
48:411 por ra 5 * 1/
48:45z
48:47menos 1 parido por un por una constante
48:51se llama figur,
48:55¿ya? Donde
48:59fi
49:011 +√5 med.
49:06y Figo Ro es 1 -√5.
49:13Ya. 1 + 5/ aproximadamente 1.6.
49:19Eh, Figorro es como -0.
49:23Algo así. Ya.
49:27Y ahora yo puedo invertir.
49:31Ya.
49:32Fn
49:34va a ser 1/ por√5 factor de el 1
49:39dividido por 1 - z me de fi a la n
49:43menos el 1 partido por 1 men figro z me
49:46da figro a la n.
49:50Ya. Y esa es la solución para los
49:53números de Fibonacci.
49:56Ya. Ahora, eh esto, ¿qué comportamiento
50:00tiene cuando n tiende infinito? Eh fi,
50:04eh, como les digo, es como 1.6, es mayor
50:07que uno en todo caso, por lo tanto, fi a
50:09la n tiende a infinito. Ya. Eh, figro es
50:14- 0.6 6 a prox se es negativo
50:19e y de valor absoluto menor que uno. Por
50:21lo tanto, cuando n tiende infinito,
50:24figorro a la n tiende a cero. Ya,
50:28oscilando, eso sí, porque como tiene un
50:29signo menos positivo, negativo,
50:31positivo, negativo, pero siempre
50:33tendiendo a cero.
50:35que esto fn
50:39tiende a ser 1 parido por raíz de 5 por
50:42fi a la n
50:44cuando n tiende a infinito
50:50y por eso fi es la la
50:54el valor que es ampliamente conocido y
50:56figorro en realidad
50:59nadie se preocupa mucho porque a medida
51:02que n crece su aporte desaparece S. Ah,
51:07ustedes conocen esta constante fino,
51:08¿cierto? 1 + raí de 5 med. ¿La han
51:10encontrado en alguna parte antes?
51:21Es como el número aurio.
51:22El número aurio, exactamente. Ya en
51:25inglés lo llaman de Golden Section, la
51:26sección dorada, ¿no? El número aurio,
51:29segmento aurio también le dice,
51:32muy conocido,
51:35especialmente
51:37del punto de vista estético, una
51:38proporción muy
51:40eh muy agradable y que viene desde la
51:44antigüedad. De hecho, se le le pusieron
51:47F por Fidias, el escultor griego, que se
51:51dice que le ocupaba mucho en su en sus
51:54esculturas, ¿no?
51:56Y está en todas partes, por supuesto, no
51:59aparecen.
52:03De hecho,
52:05de hecho, los números de Fionachi fueron
52:09descubiertos
52:11mucho antes que lo hiciera Fibonacci.
52:13Fibonacchi es del eh del
52:17comienzo del Renacimiento, como 2,000
52:19años antes de eso en India ya conocían
52:21los números de Fibonacci. Claro que no
52:22los llamaban así.
52:25Eh, Fibonacci eh
52:29lo hizo con un problema matemático
52:31basado en la evolución del número de
52:33conejos. Ah, si uno parte con una pareja
52:36de conejos y los conejos fueron fértiles
52:37después de un año, eh, y cuánto la
52:41población total de conejos al cabo de n
52:43generaciones. Ah, y eso son los números
52:47de Fionachi. Eh, los indios lo hicieron
52:51viendo el número de
52:54de versos distintos que se pueden
52:55escribir en en la poesía sánscrita, eh,
52:59que por lo que me he enterado, la poesía
53:00sánscrita consiste en versos de un
53:02cierto largo, ¿ya? Eh, pero esas cada
53:05verso está compuesto por una secuencia
53:07de sílabas y hay dos tipos de sílabas,
53:10sílabas cortas y sílabas largas. Las
53:12sílabas largas tienen el doble de largo
53:15que las sílabas cortas. Entonces, no
53:17puede decir sílabas de tamaño uno,
53:18sílabas de tamaño dos y eh entonces de
53:22la pregunta era de cuántas maneras uno
53:24podía escribir una secuencia de sílabas
53:26largas y cortas cuyo largo total fuera
53:29n.
53:31Entonces,
53:32que eh que eh cómo se puede resolver eso
53:35puede decir, mire, voy a ver la primera
53:38sílaba si es corta o larga. Si el largo
53:40total es n, si la primera sílo es corta,
53:43el largo uno, entonces el resto es un
53:45verso de largo n - 1. Y hay que ver de
53:48cuántas maneras se puede armar ese
53:49verso. Y a eso hay que sumarle lo que
53:51ocurre cuando la primer primera sílaba
53:53es larga, porque en ese caso tiene largo
53:55dos y entonces el resto del verso es de
53:58largo n - 2 y hay que ver de cuántas
53:59manera se puede llenar, ¿ya? Y de ahí
54:01sale que f sub n es ig a fn -1 + fn - 2
54:05f ya 2000 años antes de de fonach.
54:11Eh, ya vamos a ver el siguiente
54:13problema. Contar árboles finarios.
54:30Ya vemos a su n,
54:35[carraspeo]
54:35al número de árboles finarios con n
54:37nodos.
54:39Entonces, hagamos unos pequeños casos a
54:42mano. Eh, pongamos el caso n = 0.
54:49Eh, partamos con el caso n = 1.
54:55Para n = 1 hay un solo árbol binario que
54:57es ese. Ya. Por lo tanto, si aquí voy
55:01poniendo la UN,
55:05perdón.
55:10Aquí
55:12ya si aquí voy poniendo la N. Entonces
55:16este vale 1.
55:19Y si
55:21n fuera dos, yo tengo dos árboles. Tengo
55:25ese y tengo ese.
55:29O sea, hay dos árboles, ¿no es cierto?
55:33Y para n = 3. Ahí ya tengo más árboles.
55:36Tengo ese.
55:40Ese es otro.
55:42Ese es otro.
55:45Ese es otro.
55:47Ese es otro. Ya tengo cinco.
55:52Entonces, la pregunta es, ¿cuántos
55:53árboles tengo con n con cero nodos? La
55:56el que me faltó llenar al principio.
55:59¿Cuántos árboles yo distintos yo puedo
56:01construir con cero nodos?
56:05Cero.
56:06Cero, ¿no es cierto? ¿Alguien está en
56:08desacuerdo?
56:15Nadie.
56:18Estás todo equivocado, pero en realidad
56:20hay uno
56:23que es el árbol vacío.
56:25Ya, es el árbol vacío, que ahí lo están
56:27viendo ustedes. Eh, ahora si uno quiere
56:30verlo un poquito más fácil, lo que
56:33podemos hacer es agregar los e las
56:37hojas. Ah,
56:44estos nuevos cuadrados aquí, que es la
56:46otra manera de dibujar estos árboles,
56:48¿no es cierto?
56:51Y aquí también, ¿no es cierto? No, no lo
56:53voy a hacer para no
56:55latearlos, pero y cuando las hojas se
56:57ven, entonces también se ve el árbol
57:00vacío. Ahí está. El árbol vacío es el
57:03árbol que consiste solo de una hoja,
57:06¿ya?
57:07eh que se ve cuando la dibujamos, pero
57:10en la convención de no dibujar las hojas
57:12se ve un espacio vacío y ahí hay
57:14exactamente un árbol. Ya. Así es que
57:18perfecto. Ese ese es mi es esos son los
57:22árboles. Pero, ¿qué pasa con el caso
57:24general? Ya. Bueno, el caso general es
57:26el siguiente. Eh, si yo quiero construir
57:29un árbol con n + 1, no. A ver, a ver,
57:34está claro que a sub
57:37vale uno, ¿no es cierto? Ya. Un árbol de
57:40cero nodos hay hay uno solo. ¿Qué pasa?
57:43Pero, ¿qué pasa con a sub n + 1?
57:47Ya se me dice, "Construye usted un árbol
57:49con n + un nodo."
57:52En ese caso, eh
57:58lo que yo puedo hacer es e si son n más
58:01un quiere decir que el número de nodo es
58:03mayor o igual que uno. Por lo tanto, uno
58:04de ellos tiene que ser raíz
58:05necesariamente
58:07tiene que haber una raíz. ¿Ya?
58:10Y aquí a un lado y al otro van a colgar
58:14árboles
58:16tales que si este árbol de aquí tiene
58:18knos, este tiene que tener n - k
58:21necesariamente, ¿no es cierto?
58:24De todas maneras, n - k. Eh,
58:29pero eso, ¿cuánto vale k? Bueno, como
58:32estamos viendo todos los árboles
58:33posibles, hay que tomar todos los cas
58:35posibles. Eh, y K puede variar desde que
58:38a la izquierda no haya nadie, sea cero,
58:43o que a la derecha no haya nadie. Cuando
58:45a la derecha no hay nadie, quiere decir
58:46que n - k es 0, o sea, k es n
58:52y son todas las posibilidades, así que
58:53hay que sumarlas todas. Por lo tanto,
58:56eso me conduce a esta ecuación que dice
58:58que a su n + 1
59:00es la sumatoria
59:04de a sub k todos los árboles que yo
59:07puedo formar con k nod nodos
59:09multiplicado por a sub n - k todos los
59:12árboles que yo puedo construir con n- k
59:15nodos sumado sobre 0 menor o igual que k
59:18men o igual que n.
59:20Esa es mi ecuación con a sub0 = 1.
59:27Esa ecuación es la que me dice cuántos
59:30cuántos
59:33árboles distintos yo puedo construir con
59:35n más un nodo. ¿Ya? Entonces, eh ahora
59:38aplicamos función generatriz.
59:42Ya ahí no hay no hay problema en aplicar
59:45función generatriz,
59:47eh, porque
59:49es válido, esto es válido para todo n
59:51mayor o igual que 0.
59:53Ya la generatriz de a sub n + 1, esa
59:56regla no la hemos aplicado mucho, pero
59:57está ahí al principio de la clase. Es 1
1:00:00parido por z por a z menos a sub0, ya
1:00:06que en este caso sabemos que vale 1.
1:00:09Y a la derecha, y aquí está lo
1:00:11interesante,
1:00:13esa sumatoria intimidante que hay ahí a
1:00:16la derecha es una convolución.
1:00:20¿Ya?
1:00:22Entonces, lo que vamos a hacer es esto
1:00:25de aquí vamos a aplicar la regla de la
1:00:27convolución.
1:00:31Okay.
1:00:35Y la convolución nosotros la definimos
1:00:37cuando era la convolución entre un A y
1:00:39un B. En este caso es una convolución
1:00:41entre el A y el A.
1:00:43Así es que es, recuerden que la
1:00:46generatriz de la convolución es el
1:00:47producto de las generatrices, pero el
1:00:49producto de AD Z con AD Z es a Z al
1:00:51cuadrado.
1:00:57Ya. Así es que si yo todo multiplico
1:00:59todo por Z, me queda que A de Z
1:01:04- 1
1:01:06es Z * A Z². Puedo al tiro pasar el -1
1:01:10sumando al otro lado y queda 1 + z por a
1:01:17z².
1:01:20Ahí tengo una ecuación.
1:01:24Esta es la esta es la ecuación
1:01:27para
1:01:29la función generatriz
1:01:31de los árboles binarios.
1:01:45Ahora hay una ¿Qué habría pasado si
1:01:48hubiéramos tratado de seguir la ruta
1:01:50alternativa? Ah, de
1:01:58escribir que a su n
1:02:01escribir la ecuación para su n, no para
1:02:03su n - 1, ¿ya? Eh, no para su n + 1. La
1:02:08ecuación es para su n, si tengo n nodos,
1:02:13uno de ellos tiene que ser raíz, por lo
1:02:14tanto quedan n - 1 nodos eh disponibles,
1:02:18¿no es cierto?
1:02:20Y por lo tanto, eh, si a la izquierda
1:02:23hay k, a la derecha tiene que haber n -
1:02:251 - k. Por tanto, lo que me va a quedar
1:02:28es la sumatoria para 0 menor o igual que
1:02:31k hasta n - 1, no más, no hasta n ya de
1:02:36a sub k
1:02:39por a sub n - 1 - k. Esa ecuación me
1:02:43queda ya. ¿Y qué pasa con n = 0? Para n
1:02:50= 0, esta ecuación me predice
1:02:53esta sumatoria es vacía, así que da
1:02:54cero.
1:02:57Eh,
1:02:58así es que eh me predice que a sub0 vale
1:03:020, lo cual sabemos que está incorrecto
1:03:04porque a sub0 vale 1. Por lo tanto,
1:03:06sabemos que tenemos que parchar esto
1:03:08diciendo n = 0.
1:03:10Ya. Y si yo aplico función generatriz
1:03:14ahora
1:03:19a la izquierda va a quedar z,
1:03:23¿ya? Y a la derecha va a quedar una
1:03:27convolución, la misma convolución de
1:03:29antes. Por lo tanto, sería la cuadrado,
1:03:32¿no es cierto?
1:03:34Pero para n- 1, no para n.
1:03:37Entonces, está trasladada
1:03:40uno hacia la izquierda. Eso quiere decir
1:03:42que hay que multiplicar por Z. ¿Se
1:03:44acuerdan que esa era la regla? Ah, así
1:03:46que va a ser Z por az²ad
1:03:51y por otro lado, la generatriz de n = 0
1:03:54es 1.
1:03:56Y me queda una ecuación que
1:03:57afortunadamente es la misma anterior,
1:04:00más vale, ¿no? Pero obtenida de una
1:04:03manera distinta. Ya. Muy bien.
1:04:10Vamos. Eh,
1:04:17resolvamos la ecuación.
1:04:32Es una ecuación de segundo grado.
1:04:39De hecho, la podemos escribir. Hacemos
1:04:41todo, todo para el mismo lado. va a
1:04:43quedar z * a z²
1:04:48- a de z.
1:04:55A ver, eso está viendo o no.
1:05:04Más un mira, yo tengo menos un más,
1:05:11¿cierto? Anotar ahí.
1:05:18Mi apunto tengo la pequeña vi
1:05:21más un
1:05:24eh
1:05:28correcto que es más un, ¿no es cierto?
1:05:30Sí, pues sí, de todas maneras
1:05:331 más Claro, el único cambio de signo es
1:05:36el A Z.
1:05:39Okay. Eh, entonces, ¿cuál es una
1:05:42ecuación de segundo grado? Así que yo
1:05:43despejo a Z, ¿no es cierto?
1:05:46Va a ser igual a
1:05:50menos
1:05:52b.
1:05:54B vale -1, así que va a ser 1
1:05:58más menos
1:06:00raíz cuadrada de b².
1:06:04b² es
1:06:07- 4ac
1:06:10- 4ac eh a es z y c es 1, o sea, 4z
1:06:20partí por 2a, o sea, 2 z.
1:06:23Aquí tengo mi solución despejada. Ya,
1:06:28pero ups, eh, tenemos dos casos.
1:06:35Porque es más menos. Tenemos consigno
1:06:37más
1:06:39y tenemos consigno menos.
1:06:42Solo una de las dos puede ser correcta.
1:06:45¿Ya? ¿Cómo sabemos cuál es correcta? Eh,
1:06:50supongamos que lo correcto es el signo
1:06:53más. ¿Ya? Eh,
1:06:58entonces me quedaría 1 +√1 - 4z/ por 2z.
1:07:02Okay. Si
1:07:05si esa fuera la correcta, tendría que
1:07:06ser válida para todo Z, en particular
1:07:08para Z = 0.
1:07:10¿Se acuerdan ustedes qué pasaba cuando
1:07:12la función generatriz yo la evaluaba en
1:07:13Z = 0? ¿Qué es lo que obtenía?
1:07:20Si en toda esta sumatoria de sub n * z a
1:07:22la n pongo z = 0, se anulan todos menos
1:07:25el primero, ¿no es cierto? Que es a sub.
1:07:27Así que a evaluado en 0 es a sub
1:07:31y a sub0 en este caso vale 1, ¿no es
1:07:34cierto? Entonces si yo pongo z = 0 aquí
1:07:37con signo más debería dar uno. ¿Qué es
1:07:40lo que queda? En el numerador queda 1 +
1:07:421, 2 y abajo queda 0. 2 parido por 0 no
1:07:46puede ser 1, ¿no es cierto? Así es que
1:07:50descartado,
1:07:51ya queda queda que a de 0 es 2 parido
1:07:57por 0 que es distinto de 1 rechazado.
1:08:02No, no funciona el signo más, por lo
1:08:06tanto tiene que funcionar el signo
1:08:07menos. Eh, y ¿cómo sé que funciona el
1:08:12signo menos?
1:08:13Porque para ser ig 1 -√ 1 - 4 0 es 1 -
1:08:171, o sea, 0. y abajo 2 * 0 0, o sea, a a
1:08:22de 0 queda 0 parido por 0,
1:08:26lo cual puede ser uno, depende, ¿no es
1:08:28cierto? Tengo que calcular por lo vital,
1:08:30¿no es cierto? Ya, pero puede ser
1:08:34uno y más vale que sea uno porque es la
1:08:37única alternativa disponible, ¿no es
1:08:38cierto? Ya que la otra la descartamos,
1:08:40esta tiene que ser. Ustedes verifiquen
1:08:42por loital que eh esto cuando Z tiende a
1:08:46cero efectivamente vale 1. Entonces A de
1:08:49Z,
1:08:51lo correcto es A de Z = 1 -√1
1:08:56- 4z
1:09:00parido por 2z.
1:09:02Ya.
1:09:04Eh, ahora tengo que invertir esto.
1:09:10Eh,
1:09:13entonces esto
1:09:17yo tengo que expandirlo en la forma
1:09:19sumatoria para n mayor o igual que 0 de
1:09:23a sub n por z a la n, ¿no es cierto?
1:09:28Ya. Momento para un poquito más de de
1:09:34cálculo simbólico. Vamos.
1:10:01Entonces vamos a
1:10:04vamos a calcular eh
1:10:07un a ver ya
1:10:121 men raíz cuadrada a
1:10:17de 1 - 4 * z
1:10:21y todo eso dividido por 2 z.
1:10:26Eso.
1:10:29Okay.
1:10:32Ahí está mi mi ecuación, perdón, mi
1:10:35función.
1:10:36Y ahora eh pantamos esto en serie de
1:10:39Taylor,
1:10:44que es en la variable Z
1:10:48en torno a cer y pongámosle unos 10
1:10:52aquí por alguna razón a
1:10:57Se le gusta escribir las cosas en este
1:10:59orden. Ah, yo lo habría preferido
1:11:01partiendo por el 1. + z + 2 z²,
1:11:04etcétera. Fíjense, eh, ahí si ustedes
1:11:07miran los coeficientes,
1:11:09los coeficientes
1:11:11son 1
1:11:152 5 que corresponden exactamente al 1 2
1:11:195 que fue los números de de árboles que
1:11:23vimos a mano. Ah, el siguiente si lo
1:11:26hubiéramos hecho a mano habría sido 14.
1:11:28Con cuatro nodos hay 14 árboles
1:11:31distintos. después 42, 132, etcétera.
1:11:35Así que si yo expando en serie de
1:11:37Taylor, esta función efectivamente me
1:11:40entrega los valores correctos
1:11:42comprobados numéricamente. Entonces,
1:11:44veamos qué pasa analíticamente, ¿ya? Y
1:11:47para eso eh volvamos entonces a nuestra
1:11:55pizarra.
1:11:59¿Ya?
1:12:09Entonces, eh esto lo vamos a escribir
1:12:12como que a de Z
1:12:16es eh igual a 1 men la raíz cuadrada,
1:12:20pero la raíz cuadrada la vamos a
1:12:21escribir como 1 - 4z
1:12:24elevado 1/2 ya
1:12:28partido por 2 z
1:12:32y eso es igual a 1/ por 2 z
1:12:37factor de 1 menos
1:12:41[carraspeo] y el 1 - 4 zio lo expandimos
1:12:43con el teorema del binomio. Entonces va
1:12:45a ser la sumatoria
1:12:47para k mayor o igual que 0
1:12:51de 1/io
1:12:53sobre K
1:12:56por eh -4z a la K. Eso da -4
1:13:06a la k por z a la k.
1:13:15Okay. Eh,
1:13:17ya. Eh,
1:13:26[suspiro]
1:13:29ya. A ver, veamos qué pasa con el
1:13:32primero
1:13:34con el primer término de esta sumatoria.
1:13:37El primer término de esta sumatoria,
1:13:39¿cuánto vale? 1/2 sobre 0, que es 1. -4
1:13:43la 0 que es 1, z la 0, que es 1. El
1:13:45primer término de esta sumatoria vale 1,
1:13:48que se cancela exactamente con este uno
1:13:50de acá. ¿Ya? Así es que eh
1:13:56este uno desaparece si es que esta
1:13:58sumatoria yo la comienzo en K mayor o
1:14:01igual que 1. Y eso es lo que vamos a
1:14:04hacer. Ya.
1:14:06Entonces va a quedar eh
1:14:10va a quedar la sumatoria. Vamos a meter
1:14:11todo dentro de la sumatoria. Sumatoria
1:14:13para acá mayor o igual que 1. Muy
1:14:15importante que sea 1
1:14:17de
1:14:191 par por 2 z. que lo metí para dentro.
1:14:25Ya, el 1/2 sobre K.
1:14:30Ya, el
1:14:34-4 acá voy a separar el signo menos.
1:14:36Entonces, va a quedar un -1 a la K, pero
1:14:38hay un signo menos afuera, así es que va
1:14:40a quedar -1 a la K + 1.
1:14:45Y el 4 de acá, 4 es 2 al cuadrado, así
1:14:48es que va a quedar 2 a la 2K.
1:14:52y Z la acá.
1:14:56Okay.
1:15:00Okay. Eh,
1:15:03y ahora voy a hacer un cambio de
1:15:06variable. Bueno, estos,
1:15:10a ver, voy a identificar un K - 1 aquí.
1:15:14A ver, vamos.
1:15:18Esto de aquí lo puedo escribir como que
1:15:20k - 1 es mayor o igual que 1, ¿cierto?
1:15:22Lo mismo
1:15:24acá.
1:15:27Eh,
1:15:31acá esto es
1:15:35k - 1 + 1. Lo mismo
1:15:41acá.
1:15:45Acá esto yo lo puedo cambiar sin ningún
1:15:47problema por k - 1 porque es el signo
1:15:50menos, ¿no es cierto?
1:15:53K + 1 k -1 elevado k + 1. Lo mismo es -1
1:15:56k -1, así que no tengo para qué hacer
1:15:57nada ahí.
1:15:59Y acá
1:16:02aquí tengo,
1:16:03profesor, una consulta. ¿Hizo cambio de
1:16:05variable o pasó el -1 para el otro lado?
1:16:06No más en
1:16:08en el exponente -1,
1:16:10no en el índice de la sumatoria.
1:16:12Eh, no he hecho el cambio variable
1:16:13todavía, pero lo voy a hacer. Ya. Eh, lo
1:16:16que
1:16:16entonces debería ser k - 1 mayor que 0,
1:16:18pues no. [resoplido]
1:16:21Eh, bueno, eh, ah, sí, sí, sí, perdón,
1:16:24perdón. Ese
1:16:26sí,
1:16:26eso sí. Tienes toda la razón. Toda la
1:16:28idea era pasar menos uno al otro lado,
1:16:30no más. Ya, gracias. Ya. Y acá eh
1:16:34juntando este dos de aquí
1:16:39con este 2k de acá me queda 2k - 1, ¿no
1:16:44es cierto?
1:16:47Eh,
1:16:49y
1:16:50eso es
1:16:55eso es igual a 2
1:16:59k - 1.
1:17:01Ahí resté 2, por lo tanto sumo 2 - 1.
1:17:05¿Ya? Entonces, eso es igual a 2 k - 1 +
1:17:111.
1:17:13¿Ya? Y acá entre este y ese me queda un
1:17:18z k - 1. Entonces está lleno de k - 1
1:17:22que dice aparecer ahí, ¿no es cierto?
1:17:24Entonces ahora puedo hacer un cambio de
1:17:26variable
1:17:34n = k - 1.
1:17:39Entonces, ¿cómo queda? Queda sumatoria
1:17:42para n mayor o igual que 0, ¿ya? de
1:17:471/2
1:17:51sobre n + 1.
1:17:54Todas las partes donde dice k -1 estoy
1:17:55reemplazando por n
1:17:57-1
1:17:59a la n
1:18:04- 1 2n + 1, perdón, allá
1:18:08z a la n.
1:18:11Y ahí tengo lo tengo exactamente como
1:18:13como lo quiero, porque lo que yo quiero
1:18:14es tener una expansión.
1:18:18Esa expansión algo multiplicando a Z a
1:18:21la n y aquí tengo exactamente algo
1:18:24multiplicando a Z a la n. Por lo tanto,
1:18:28ya tengo la sub.
1:18:31a su n es
1:18:351/2
1:18:37sobre n + 1
1:18:41por -1 a la n
1:18:45por 2 a la 2n + 1.
1:18:51Lo cual no es, digamos, la expresión más
1:18:54simple del mundo,
1:18:56pero antes de intentar simplificarla,
1:18:59eh
1:19:01vamos a necesitar eh
1:19:06ver que esté correcta, ¿no es cierto?
1:19:09Ya. Entonces eh para eso volvemos a
1:19:13nuestra otra pantalla.
1:19:28Okay,
1:19:30entonces vamos
1:19:35vamos a definir entonces una función.
1:19:47Okay, vamos a decir que n es una
1:19:49variable simbólica,
1:19:56¿ya? y vamos a definir una función
1:20:00f de n
1:20:06que eh retorna
1:20:12el binomial
1:20:16de 1/2
1:20:19sobre
1:20:20n + 1.
1:20:26multiplicado por -1 a la n.
1:20:29Eso sí por
1:20:33-1
1:20:39a la n y por 2 a la 2n + 1
1:20:46por 2
1:20:49elevado
1:20:512* n + 1. Eso, [carraspeo] ¿cierto?
1:20:58Ya. Y ahora
1:21:03formemos la siguiente lista.
1:21:09A ver, una lista.
1:21:12La lista de los valores fdange
1:21:25de 0,11.
1:21:32Mírenlo, ahí están. 1 2 5 14 42 132 429,
1:21:38etcétera. Los mismos coeficientes que
1:21:41teníamos.
1:21:42en la expansión de la serie Taylor. Ah,
1:21:44o sea, que no no nos equivocamos en con
1:21:47todas estas manipulaciones de su índice
1:21:49y cambio de variable y todo. Finalmente
1:21:51lo que tenemos ahí es eh la solución
1:21:56correcta. Ya. Así es que vamos de
1:21:59vuelta.
1:22:14Así es que lo que podemos decir
1:22:18esta otra es que esto está totalmente
1:22:22bien, ¿ya?
1:22:26Eh, pero
1:22:34falta simplificar
1:22:40esta esta fórmula es demasiado fea como
1:22:42para que pueda pasar a la historia en
1:22:44esta forma, pero considerando la hora,
1:22:48la clase de hoy va a quedar hasta aquí
1:22:51y en la próxima clase entonces
1:22:53comenzaremos con la simplificación que
1:22:55no que nos falta. Okay, muy bien. Muchas
1:22:59gracias a los que se levantaron temprano
1:23:02para venir a la clase
1:23:05y nos veremos el el viernes.
1:23:12Gracias, profesor.
1:23:15Chao.