Full transcript
0:03Buenos días y bienvenidos a la clase.
0:06Eh, vamos a recapitular un poco lo en
0:09qué estábamos con las funciones
0:10generatrices exponenciales, que es algo
0:11que acabamos de introducir, ¿no es
0:13cierto? Para recordar la forma como se
0:15define esto es muy similar a las
0:17funciones generatrices
0:19ordinarias, lo que antes llamábamos
0:21simplemente funciones generatrices,
0:23excepto que el z a la n está siempre
0:25dividido por n factorial.
0:28Y cuando usamos la definición
0:31en base a recorrer todo el conjunto,
0:33toda la clase, eh en lugar de sumar z
0:38elevado al tamaño de alfa,
0:41eh sumamos z elevado al tamaño de alfa
0:43dividido por el tamaño de alfa
0:45factorial.
0:48Y ahí tenemos las reglas de composición
0:50que habíamos visto, que cuando una clase
0:53es la unión disjunta de dos otras
0:54clases, entonces las respectivas
0:57funciones generatrices
0:59se suman para dar la función generatriz
1:02resultante.
1:04Ya, eso es exactamente lo mismo que pasa
1:07con las funciones generatrices
1:09ordinarias. Cuando una clase se obtiene
1:13mediante el producto
1:18rotulado,
1:21ahí
1:24el resultado se obtiene multiplicando
1:27las respectivas clases, las respectivas
1:29funciones generatrices. Ya recuerden qué
1:31es el producto rotulado. Productor
1:32rotulado significa que cada objeto
1:35resultante se forma como la
1:37concatenación de de los dos objetos de
1:40las clases B y C, ¿no es cierto? Un
1:42fondo como un parordenado el producto
1:43cartesiano, excepto que no lo podemos
1:46dejar tal cual porque acá está numerado
1:48de uno en adelante los rótulos. Acá
1:51están de uno en adelante. Si lo
1:52dejáramos juntos habría rótulos eh
1:56duplicados.
1:57Entonces, lo que se hace es que a la
2:00estructura resultante completa se le
2:01asignan los números del uno hasta el
2:03número total de átomos que contiene. Y
2:06la forma como se hace es eh se algunos
2:09de los rótulos se asignan a la primera
2:11parte, en los restantes a la otra parte.
2:14Ah, y eso de todas las maneras es
2:15posible. O sea, ahí aparece inmediato un
2:18coeficiente binomial. Eso ya lo hemos
2:22visto. Eh, después, ¿qué más? Eh, si
2:26tengo una secuencia, si una clase se
2:29forma como una secuencia,
2:31no, no más muy bien, esto se supone que
2:34es una es cursiva, una secuencia de
2:37objetos de la clase B, ¿ya? Eh,
2:43eso eh ahora, ¿qué cosa es la secuencia?
2:46Anotemos que qué es la secuencia. Eh,
2:50vamos poner nuestro color aquí. Ya,
2:54esto es
2:56la clase del objeto vacío.
3:00Más B
3:02más B
3:06producto con B
3:08más B producto con B
3:14y así sucesivamente. Ese es el esa es la
3:18secuencia
3:19eh muy parecido a lo que es la operación
3:21estrella que usamos en
3:24funciones genérices
3:27ordinarias, eh pero esto ya asociado a
3:30esta rotulación. Hm.
3:33Y en ese caso el el A de el agorro de Z
3:39es 1
3:42+ B gorro de Z
3:46Bor Z², etcétera.
3:50Y eso es igual a 1/ido por 1 - B Z.
3:55Ya. Después eh los subconjuntos que yo
4:00puedo sacar. Si A está formado por todos
4:02los subconjuntos posibles de B,
4:07más bien
4:10más bien A eh es un conjunto de objetos
4:15tomados de B.
4:18E
4:21objetos de tipo B.
4:23Eso da que agorro de Z
4:32es la sumatoria
4:36de p Z
4:40a la K partido por K factorial, ¿cierto?
4:43Porque yo yo puedo tomar una secuencia
4:47ya de objetos, eh, pero como es un
4:51conjunto, el orden no importa. Por lo
4:55tanto, cada
4:59a partir de cada conjunto yo puedo del
5:01tamaño K, yo puedo generar K factorial
5:02secuencias, por lo tanto tengo que
5:04dividir por K factorial y ahí lo que
5:06resulta
5:09es la exponencial.
5:11Y por último,
5:15Ca es un el conjunto de todos los ciclos
5:19de objetos de tipo B, todas las
5:22permutaciones cíclicas,
5:25hay el agorro de Zatoria
5:30de Porro de Z a la K
5:34partido por K, no por K factora, sinción
5:36que es K, porque en las permutaciones
5:38cíclicas yo coloco el líder de la
5:39permutación al principio. y el resto eh
5:42es una permutación cualquiera. Ya eh
5:46como eso es un ciclo, ¿no es cierto? Yo
5:47podría haber partido numerándolo de
5:49cualquiera de sus componentes, pero
5:50siempre para fines de que de no enumerar
5:52más de una vez lo mismo, eh, tomo una
5:55forma canónica de escribirlo que es
5:56colocando el mínimo al comienzo h y por
5:59lo tanto se está fijo y los restantes se
6:02permutan de cualquier manera
6:04y y eso me da el logaritmo
6:09de 1/ por 1 men v z. Esas son las reglas
6:13de composición que tenemos.
6:18Y eh vamos a aplicar esto.
6:25Una aplicación de esto es la siguiente.
6:33enumeración
6:39de árboles
6:42generales
6:45rotulado.
6:49[Música]
7:00un
7:01un árbol general. Eh, bueno, aquí
7:05habíamos hecho, repitámoslo aquí,
7:07habíamos hecho una pequeña tabla para
7:09indicar
7:11cómo podrían ser
7:16estos.
7:23Aquí pongamos los
7:26árboles
7:28no rotulados.
7:34Acá pongamos los árboles rotulados.
7:42Entonces, para n = 1 hay un solo árbol
7:46no rotulado que es ese. Y el único árbol
7:49rotulado sería ese que llega el rótulo
7:50uno y hay uno, ¿no es cierto? Para n =
7:532, el único árbol no rotulado que yo
7:58puedo hacer con dos nudos es ese, pero
8:00acá puedo tener el uno como padre el dos
8:03y el dos como padre del uno, que son
8:05árboles distintos cuando yo tengo en
8:07cuenta los rótulos.
8:09Y después ahora acá
8:12ya para tres aquí es la primera parte,
8:16la primera vez que esto es no trivial.
8:18Esto es tres medio, ¿no? Eh, con tres
8:22nodos, una posibilidad es esta. Ese es
8:27un árbol general con tres nodos y esta
8:29es la otra. Son los dos árboles
8:31generales que hay con tres nodos. Hm. Y
8:36al enumerarse, el primero da origen a
8:39seis, que son pues yo puedo asignar eh
8:42los rótulos en las seis permutaciones
8:44posibles, o sea, 1 2 3
8:501 3 2
8:551 3
8:582 3 1
9:023
9:041 2
9:06y 3 2 1.
9:10Ahí están los seis, ¿no es cierto?
9:12Y ahora cuando tengo que asignar rótulos
9:16al a este árbol con forma de triángulo,
9:19eh la diferencia la hace quién es la
9:22raíz. Cuando la raíz es uno, los hijos
9:25pueden ser el dos y el tres.
9:29Ya. Y si yo asignara a los hijos en el
9:33orden 32 en vez de 2 3, eso no sería un
9:36árbol distinto porque el
9:40el
9:42lo que hay como hijos del uno es un
9:44conjunto de es un conjunto de hijos,
9:48¿ya? Así es que las diferencias en el
9:51orden no hacen que sea un conjunto
9:52diferente. De hecho, para fines de de
9:55evitar enumerar más de una vez el mismo
9:57árbol, yo puedo tener la convención que
9:59los hijos los ordeno en orden creciente.
10:01¿Ya? Entonces sería el 1 2 3. Otro
10:04distinto es el dos y en ese caso los
10:06hijos serían el uno y el tres. Y por
10:09último, eh cuando la raíz es el tres,
10:11los hijos son el uno y el dos.
10:15Y eso me da un total de nueve.
10:18No es cierto. Entonces la pregunta es
10:23ya si esto sigue ha abajo, cuando esto
10:25es n,
10:27¿cuánto vale de su n? El número total de
10:32árboles generales con n de nodos. Okay.
10:35Entonces, ¿cómo vamos a modelar esto?
10:39Eh, digamos que
10:42llamemos T cursiva
10:48a la clase
10:51de los árboles
10:55generales
10:59con rotulado, no rotulado.
11:05rotulados
11:09con n nodos
11:15y llamemos de gorro de Z
11:19a la función generatriz exponencial
11:23de la clase
11:26de cursiva. ¿Okay?
11:29Entonces, ¿cómo modelamos esto? La
11:31verdad es que esto es s simple.
11:34es eh
11:36todo árbol.
11:38Ya
11:41recuerden que los árboles generales
11:43siempre tienen por lo menos un nodo.
11:45Entonces árbol va a tener una una raíz.
11:49¿Okay?
11:54Eh,
11:56y
11:58luego
12:02lo que va a ver aquí es un conjunto
12:07de hijos. Cada hijo es un árbol general
12:10recursivamente, ¿no es cierto?
12:13O dicho de otra manera, lo que tengo
12:15aquí es una raíz
12:18con un conjunto de objetos de tipo t
12:22como como hijos. Ah,
12:26si quieres, no sé.
12:30Okay. Bueno, eso tiene una traducción
12:34simple a
12:37lo que son las respectivas funciones
12:38generatrices.
12:42La función generatriz asociada a la
12:43clase T va a consistir de la raíz. La
12:48raíz,
12:50su función generatriz es Z, ¿cierto? La
12:53función generatriz de un átomo e es Z.
12:56Eh, lo que hay la raíz es un átomo y
12:59luego eh y esto es un producto
13:01cartesiano rotulado, ¿no es cierto? En
13:03que está la raíz y están todos los todos
13:08los hijos. A continuación lo podemos
13:10escribir así, ¿no es cierto? Y esto es
13:12rotulado porque una vez que los
13:14concateno, después los rótulos hay que
13:16distribuirlos de todas las maneras
13:17posibles que son compatibles con el
13:19orden que en que venían. ¿Ya? Y por eso
13:21es que eh a cada uno de los rótulos le
13:26toca hacer la raíz en alguna
13:27oportunidad, que era lo que oíamos un
13:28poquito antes, ¿no es cierto? Ya es
13:31debido a la rerrotulación que que eso se
13:34produce, ¿ya? Eh, entonces lo que viene
13:38es un producto rotulado que se traduce
13:40en un simple producto aquí, ¿ya? Y lo
13:43que viene a continuación es un conjunto
13:47de objetos de tipo T. La regla me dice
13:50que en ese caso, la regla respectiva me
13:53dice que en ese caso lo que obtengo yo
13:54es la función exponencial. Ah, entonces
13:57esto va a ser
13:59por e elevado a gorro de Z.
14:06Y esta es la esta es la ecuación
14:10esta es la ecuación que enumera
14:13los árboles generales rotulados. Esta
14:16función t gorro de Z
14:20se llama
14:24la tre function, la función árbol
14:33y también se llama
14:37la función de Ky.
14:55Y
14:56esta función
15:02está relacionada
15:08con la función
15:13W de Lampart,
15:20que es la solución
15:27de la ecuación.
15:33Z igual W de Z por E elevado WZ.
15:42Es una ecuación bien parecida, pero pero
15:44distinta, ¿no? Pero hay una relación
15:47entre la solución de las dos. Hm. Así es
15:50que esa es la Y de hecho cuando ustedes
15:53trabajan en Maple, Maple entrega los
15:56resultados de esto en términos de la
15:58función W, que esa es la que maneja
16:00Maple.
16:02Muy bien. Eh, pero ahora la pregunta es,
16:05¿cómo nosotros podemos resolver esto?
16:07Ah, bueno, eh,
16:12¿qué es este gorro de Z? Este gorro de
16:13Z, aparte de esa solución de la ecuación
16:16que está ahí en el enmarcada, ¿no es
16:18cierto?
16:19Te digo R de Z es la función generatriz
16:22exponencial de eh de la clase t cursiva,
16:26¿no es cierto? Entonces, por definición
16:28va a ser la sumatoria para n mayor o
16:31igual que 0 de t sub n
16:35por z a la n partido por n factorial.
16:38Eso es la definición. Okay.
16:42Entonces, aquí como estamos espacio,
16:44¿sí? Ya vamos a recordar el teorema
16:50de inversión
16:55de la granch que ya lo hemos aplicado
16:57una vez
17:03que dice que si a dez
17:08la solución
17:12de una ecuación
17:19de la forma
17:24A de Z
17:26igual Z
17:28por fi de AD Z.
17:33Ya.
17:34Entonces,
17:38a su n,
17:40que es el coeficiente que multiplica a z
17:43la n dez.
17:46Eso es lo que
17:48significa esa anotación de los
17:49paréntesis cuadrados.
17:52Se puede expresar como 1/ido por n por
17:55el coeficiente que multiplica a u a la n
17:58- 1
18:00dentro de fi de u
18:03a la n.
18:05Ya ten cuidado que no se me confundan
18:07las con las n. Aquí escribamos esto más.
18:12Esto es una
18:14n.
18:16Okay, es el teorema de inversión de la
18:19grang.
18:20Entonces, eh veamos si lo podemos
18:23aplicar, ¿no es cierto? Eh nuestra
18:25ecuación, recuerden, es esa. Tor z es z
18:28por e a la torre de z.
18:31Eh, y necesitamos ver si eso es de la
18:33forma ad = z por de z. Bueno, y
18:36efectivamente es
18:38este la ecuación
18:45tengo R de Z = Z * E a la Torr de Z
18:59igual Z por fi de ADZ.
19:06para a de z
19:10igual tor de z
19:13y fi de u igual e a la u, ¿cierto?
19:22Claro, la función fi la exponencial,
19:24por eso de la forma z por la z por de
19:29este correo de zoni
19:32f igual la función exponencial.
19:37Por lo tanto, aplicando,
19:41por lo tanto,
19:44okay.
19:45Eh,
19:55el au sub n, ¿no es cierto? Porque eso
19:57es lo que vamos a despejar, ¿no es
19:58cierto?
19:59Ah, eh,
20:02ahora
20:05eh
20:08quizás debería hacer una anotación aquí
20:10al margen
20:12que me dice que eh
20:16A de Z
20:19es la sumatoria de A sub n z a la n la n
20:23mayor o igual que 0.
20:25y t gorro de zatoria
20:29para n mayor o igual que 0 de t sub n *
20:32z a la n parido por n factorial, ¿no es
20:34cierto?
20:36Ah, entonces eh eso implica que a sub n
20:41es igual a t sub n parido por n
20:44factorial, identificando coeficientes.
20:47Entonces, cuando la cuando el teorema
20:50dice que yo voy a despejar a su n, aquí
20:53lo que están viendo ustedes aquí, en
20:54realidad lo que estoy despejando este su
20:56n partido por n factorial, ¿no es
20:57cierto?
20:59Ya. Entonces,
21:02t sub n parido por n factorial. Lo puedo
21:05despejar como lo puedo despejar como
21:081/ido por n
21:13por el coeficiente que multiplica a u a
21:16la n - 1,
21:19¿ya?
21:21Dentro de fi de u a la n,
21:24pero fi de u a la fi de u es e a la u.
21:27Entonces sería e a la nu.
21:37Okay. Eh, ya. Entonces, esto sería igual
21:42a 1/ido por n por el coeficiente que
21:45multiplica a u a la n - 1
21:49dentro de e a la nu. Para saber,
21:52para poder extraer el coeficiente, lo
21:54que yo voy a hacer es voy a expandir
21:56el exponencial en serie, ¿no es cierto?
21:59Entonces, pongamos K aquí mayor o igual
22:01que er 0. ¿Cómo se expande el
22:02exponencial? Se expande como nu a la K
22:07partido por K factorial. La sumatoria de
22:09eso, ¿no es cierto?
22:12Entonces, cuando yo quiero extraer
22:19el coeficiente, aquí lo que yo quiero
22:21extraer, quiero extraer el coeficiente
22:26que multiplica a u a la n - 1 dentro de
22:29esa serie. Entonces yo lo que tengo que
22:31hacer, ¿cuál es el coeficiente que
22:33multiplica a u a la n - 1? tengo que
22:35poner k = n - 1.
22:38Si pongo k = n - 1,
22:42quede multiplicando al u a la n - 1 va a
22:44ser el coeficiente que yo busco.
22:46Entonces, si pongo k = n - 1, me va a
22:49quedar n a la n - 1
22:55dividido por n factorial, ¿no es cierto?
22:58Ya, porque para extraer el coeficiente,
23:01como les digo, yo pongo k = n - 1. Me
23:04queda eso,
23:06¿eh?
23:10A ver, ¿está bien eso? No, no está bien.
23:13No está bien. Alguien dijo que no estaba
23:15bien. No, nadie me corrigió. Ya. Eh, no
23:18está bien
23:20porque me estoy contradiciendo a lo que
23:22yo mismo dije. Yo dije que hay que poner
23:24k = n - 1, ¿no es cierto? Entonces, en
23:26el denumerador lo puse bien, n a la n -
23:281 * u a la n - 1, pero en el denominador
23:31lo puse mal, puse n factorial, cuando en
23:33realidad es n - 1 factorial. Sí, si
23:37estoy poniendo que a ig,
23:39¿cierto? O sea, lo que esto queda aquí
23:41es n a la n- 1 dividido por n factorial.
23:48Y ahora pongamos otro valor para que no
23:51se confunda.
23:53Eh, yo partí aquí
23:56diciendo que lo que yo iba a encontrar
23:59es una fórmula para t sub n parido por n
24:01factorial y la fórmula que encontré es
24:04de la forma n a la n- 1 parido por n
24:06factorial. Por lo tanto, identificando
24:08una cosa con la otra, lo que me queda es
24:10que te su n, perdón, no era esa la idea.
24:14Aquí que t sub n
24:18es igual a eso
24:28n a la n- 1. Simplemente eso. A ver,
24:32déjeme escribirlo bien.
24:38N a la n - 1. Eso es el número
24:43de árboles
24:48generales
24:51rotulados
24:55con n nod n nod nodos.
25:01Entonces pongo aquí n
25:03y acá pongo t sub n, ¿cierto?
25:10Para n = 1 es 1 a la 0, eso es 1. Para n
25:13= 2, eso es 2 a la 1, que es 2.
25:19Para n = 3, eso es 3 a la 2, que es 9. y
25:23así sucesivamente.
25:25Ven ahí el 129 que habíamos encontrado
25:29al principio a mano. Ahí está.
25:34Esta es la fórmula que me da es de 19.
25:37La fórmula es
25:42es
25:44este es un resultado clásico dentro de
25:47la
25:50enumeración combinatoria.
25:55Muy bien. Ya.
25:58¿Alguna pregunta sobre esto? Con esto
26:00estamos cerrando
26:02capítulo dentro del curso que es nos da
26:05las herramientas básicas que vamos a
26:06usar para trabajar con eh cada vez que
26:10necesitemos enumerar eh estructuras de
26:13datos, por ejemplo, las vamos a ver como
26:15estructuras combinatoriales que están eh
26:19compuestas eh a partir de átomos. que
26:22son los nodos, ¿no es cierto?,
26:23organizados de acuerdo a estas reglas de
26:25composición que hemos visto, la unión
26:27disjunta, el producto cartesiano, la
26:29secuencia,
26:31la, ¿no es cierto?, etcétera, los
26:33conjuntos, los las permutaciones
26:36cíclicas.
26:39Eh, pero en realidad eh eh
26:42necesitamos ir más allá eh porque eh no
26:46solamente vamos a a trabajar con
26:48enumeración, también vamos a trabajar
26:50con probabilidades, porque uno de los
26:52objetivos de este curso es eh entrar más
26:55a fondo en lo que
26:59en, por ejemplo, estudio de costos
27:03promedios. Ya. Eh, a menudo en cursos
27:07anteriores uno se enfoca en el peor
27:10caso, uno estudia el peor caso, qué es
27:12lo puede qué es lo peor que puede pasar
27:14y ahí veo.
27:16Eh, entonces, por ejemplo, ¿cuál es el
27:17peor caso de mer? Eh, eso ya lo vimos en
27:22en eh al principio del curso, ¿no es
27:24cierto? nos dijo que era del orden de
27:26log, pero después encontramos una
27:27fórmula super eh detallada para
27:30describir el peor caso de Quicks sort,
27:33perdón, de Mers sort. Si estudiáramos el
27:35peor caso de quicks sort, el resultado
27:37sería más o menos desalentador, porque
27:40el peor caso es cuadrático,
27:43ya que es cuando yo por por mala suerte
27:46o mala programación siempre estoy
27:48expuesto a elegir como pivote el mínimo,
27:52por ejemplo, que siempre me salga el
27:53mínimo. Entonces yo hago todo un trabajo
27:55de de partición que me toma tiempo de DN
27:59y lo único que yo logro es que el mínimo
28:01queda al principio y y a la derecha
28:03quedan todos los demás y a la izquierda
28:05nadie y eso se repite siempre. Y
28:08entonces con un costo de orden n yo
28:11disminuí mi conjunto en uno. Ya.
28:13Entonces esos costos se van a ir
28:14sumando, va a ser n + n -1 + n - 2,
28:17etcétera. Y el costo total va a ser
28:18cuadrático, n cuadrado medio
28:20aproximadamente, ¿ya? Eh, pero Quicksort
28:23por otro lado, es en la práctica un
28:26algoritmo superficiente. ¿Y por qué? Ah,
28:29porque ese peor caso es muy improbable
28:32si está bien programado Quicksort y
28:34porque el caso promedio es es eh me dice
28:37que es muy eficiente. Ah, el caso
28:39promedio me dice el costo promedio de
28:41ordenar con quixordes del orden de n por
28:43log n y la constante que multiplica el n
28:45log n es muy pequeña. Entonces ahí es un
28:48caso que si yo me limitara a estudiar
28:51peor caso, jamás usaría Quicksort. Pero
28:54si logro analizar bien Quicksort y ver
28:57cuál es su su costo, voy a ver que en
29:00realidad es muy eficiente en promedio.
29:02Entonces, si yo quiero hablar en
29:03promedio, eh tengo que hablar de
29:06probabilidades.
29:14Ya, pero eh ustedes seguramente han
29:17estudiado probabilidades en cursos
29:19anteriores, ¿no es cierto?, de de plan
29:21común, ya sea como parte de un curso con
29:24estadística o un curso dedicado a
29:26probabilidades, pero las probabilidades
29:28que se suelen estudiar tienden a ser más
29:30bien de tipo eh continuo, por ejemplo,
29:32distribución normal, ¿ya? Eh, pero acá
29:35lo que nos interesa más bien son las
29:37distribuciones discretas, así que nos
29:39vamos a enfocar en probabilidades
29:40discretas,
29:45¿ya? Entonces, lo que viene ahora es un
29:48pequeño repaso de probabilidades
29:50en caso que no lo tengan muy fresco en
29:52la memoria y si no han estudiado muchas
29:55probabilidades antes, será una
29:56introducción
29:58muy rápida a las probabilidades. ¿Cuál?
30:01Entonces, por favor, síganme aquí. Esto
30:05un poquito latoso, pero es como una
30:06página más latosa. Vamos. Ya nosotros
30:10partimos de un espacio muestreal.
30:13Espacio muestral.
30:20ya, que es el conjunto de todas las
30:22cosas que pueden ocurrir. Por ejemplo,
30:24si yo lanzo una moneda al aire, el
30:25espacio muestral eh contiene solo dos
30:28eventos posibles, que salga cara o que
30:29salga sello, ¿no es cierto? Eh,
30:33si yo le lanzo una moneda n veces
30:37seguidas, el espacio mostrarle es el
30:39espacio de todas las posibles secuencias
30:41de caraj y sellos ah que pueden ocurrir.
30:43Si yo lancé NBC, hay dos a la n e
30:48eh elementos en ese espacio muestral,
30:50¿no es cierto? porque cada lanzamiento
30:51puede dar car o sello, ya como son
30:53independientes se va multiplicando. Así
30:55que eso es el espacio muestral y a cada
31:00evento que puede ocurrir dentro de este
31:02espacio muestral, yo le asocio una
31:04probabilidad.
31:06Entonces, la probabilidad de un evento
31:09omega
31:11es mayor o igual que era.
31:16la probabilidad
31:23de que el evento
31:29omega en omega pueda ocurrir.
31:42Y por supuesto, si yo sumo todas las
31:45probabilidades
31:47para todos los omega en omega, eso tiene
31:50que dar uno. Okay. O sea,
31:56algún evento tiene que ocurrir.
31:58No puede ser que que si sumo las
32:00probabilidades de todos los eventos
32:01posibles y todavía me falta para llegar
32:03a uno.
32:05Ya. A partir de aquí podemos definir
32:07variables aleatorias.
32:19Eso lo llamamos un x mayúscula de un
32:22omega. Es una función
32:28definida
32:34sobre todos los eventos.
32:42Omega en omega. H eh de lo que puede ser
32:46una variable, yo lanzo una moneda n
32:48veces, ¿no es cierto? Y cuento cuántas
32:50caras salieron. Entonces, el número de
32:53caras es la variable aleatoria. Eh,
32:56entonces el resultado es un valor
32:58entero. Okay. Eh,
33:02eh, entonces para cual para cualquier
33:04evento, recuerden que los eventos en ese
33:06mi ejemplo eran las secuencias de
33:08carajas y sellos. Entonces, para
33:10cualquier secuencia de n caras y sellos,
33:13yo cuento cuántas caras salieron y eso
33:15es la variable aleatoria que estoy
33:17definiendo. ¿Okay? A partir de ahí uno
33:20puede definir los momentos.
33:27El más importante es lo que se llama el
33:29valor esperado,
33:34también llamado esperanza,
33:39¿okay? que eh se escribe como etx,
33:44o sea, es un operador que se aplica a
33:47una variable aleatoria
33:49y lo que ese es un promedio ponderado.
33:53Yo sumo sobre todos los eventos omega en
33:55omega
33:57el valor de la de la variable aleatoria
34:00x de omega, ¿ya? y lo multiplico por la
34:05por la probabilidad de de ese óega
34:08de que ocurra ese evento.
34:11Ya es un promedio ponderado. Cada valor
34:15para cada evento, yo calculo cuánto vale
34:16la función y lo multiplico por la
34:19probabilidad de que salga ese evento y
34:22la suma de todo eso es es la esperanza.
34:25Ya me lo esperaba. Esta no es la forma
34:27como uno normalmente ve la
34:31ve los eh
34:34expresada la esperanza. Eh, ¿por qué?
34:38Porque eh lo que uno suele ver es eh
34:44que esta suma se agrupa de acuerdo a los
34:47valores posibles que puede tomar la
34:49función x de óega.
34:51Nuevamente con el ejemplo de los números
34:53de cara.
34:54¿Qué valores puede tomar la función
34:57número de caras? Eh, puede tomar valores
35:00desde cero, que yo lancé n veces y no
35:02salió ninguna cara, hasta nancé n veces
35:06si fueron puras caras y todos los
35:07valores intermedios, ¿no es cierto? Ah,
35:10eso eh ese conjunto del 0 al n sería el
35:14x mayúscula aplicado al óega completo,
35:17¿cierto? Ya son todos los posibles
35:20valores que yo puedo obtener cuando le
35:21aplico la función x a todos los objetos,
35:25todos los eventos dentro de de omega
35:26mayúscula. ¿Okay? Entonces, y ahora yo
35:30lo puedo una vez que yo sé cuáles son
35:31todos los valores posibles, yo puedo ir
35:33agrupando valor por valor, o sea, todos
35:35los quedan cero, todos los quedan uno,
35:36todos los quedan dos, todos los quedan
35:38n. Entonces, esta sería una sumatoria
35:43para todo K en x de omega.
35:49Ya de
35:52entonces eh
35:54yo voy
35:57yo voy agrupando
35:59eh de acuerdo al valor de x de omega. Ya
36:01ese valor de x de omega lo llamo k.
36:04Entonces esto sería k, ¿cierto? Este x
36:07de omega
36:10que sería el k de acá. ¿Okay?
36:13Y ahora tengo que multiplicar esto. Una
36:16vez que yo factoricé el K, lo que me
36:19queda dentro son todos los omegas chicas
36:22cuyo valor es igual a K. Entonces acá va
36:24a estar la sumatoria de todos los omega
36:29en omega mayúscula
36:34tal que
36:37x de omega
36:39es igual a k
36:41y acá lo que está es la probabilidad.
36:48Ya.
36:50Bueno,
36:52y esto lo puedo escribir como la
36:53sumatoria
36:55sobre todos los cas posibles
37:00ya de K multiplicado por la probabilidad
37:07de que X sea igual a K.
37:11Ya, o sea, esta sumatoria que está aquí,
37:18esa sumatoria, la suma de las
37:20probabilidades de todos los eventos
37:22tales que su función x vale k, lo llamo
37:26la probabilidad que x sea igual a k,
37:28¿ya? Esa es la definición de la
37:29probabilidad de que x sea igual a k.
37:31Entonces esta y esto es el valor
37:33esperado.
37:37Este es la
37:39este es la
37:41versión de la fórmula de del valor prado
37:44que uno más ve.
37:45Eh, en la práctica agrupado de acuerdo a
37:49los valores de K, sumatoria de K por la
37:50probabilidad que X sea igual a K.
37:54Eh, este operador X es lineal,
37:59perdón, este operador E es lineal.
38:04Significa que e aplicado a X + Y
38:09eje de X
38:11+ E de Y,
38:14¿cierto? ahíen
38:17y que eh
38:21e
38:23aplicado alfa x es igual a alfa * e de
38:28x. Ya, eso quiere decir que es lineal.
38:33Okay, ahora eh
38:36definamos variables
38:40aleatorias
38:44independientes.
38:54Se define que dos variables aleatorias
38:59son independientes.
39:06Si
39:07la probabilidad
39:10de que X sea igual a I
39:15y que Y sea igual a J
39:19es igual al producto. la probabilidad de
39:22que x sea igual a y multiplicado por la
39:25probabilidad de que y sea igual a j.
39:54Eh,
40:02si dos
40:07variables aleatorias
40:08X y son independientes.
40:20Entonces, el valor esperado de Xi
40:25es igual al valor esperado de X por el
40:28valor esperado de Y.
40:33¿Y
40:39cómo se demostraría eso?
40:43¿Qué es el valor esperado de X?
40:47es la sumatoria
40:50para todo, digamos, eh
41:03sería para todo acá
41:05en
41:09A ver,
41:16X y de omega, ¿no es cierto?
41:19Ya. De k
41:23por la probabilidad de que X sea igual a
41:25K.
41:28Ya, pero eh
41:33los casos son todos de la forma eh i *
41:36j, ¿no es cierto? Donde y es un valor
41:38que toma x y j es un valor que tome y.
41:40Entonces, lo mismo decir la sumatoria
41:42sobre todos los i,
41:45a ver,
41:48sobre todos los i en x
41:57y los j
42:01de omega.
42:05En realidad,
42:07en realidad tengo dos omegas distintos,
42:09¿no es cierto?
42:11Porque
42:13a ver,
42:17el omega que tengo allí arriba es son
42:19todos los
42:21los eh
42:24no es el mismo Omega. Sí, solo que le
42:26explico dos funciones distintas.
42:29Entonces,
42:30x de omega y de omega,
42:35¿ya? Y el kene ser de la forma i* j, ¿no
42:38es cierto?
42:40Y la probabilidad es la probabilidad de
42:43que eh
42:46x sea igual a y
42:49que y sea igual a J para para que el
42:53producto de i por j, ¿cierto?
42:56Pero eh y ahora ahora viene la
43:03la aplicación de la hipótesis de que son
43:05independientes, porque al ser
43:07independientes, esto me va a quedar la
43:09sumatoria sobre ti. J. Escribámoslo así
43:11mejor, ¿ya? De i J por probabilidad de
43:16que X sea igual a i por la probabilidad
43:19de que y sea ig a j. Ya, el
43:24la hipótesis de independencia hace que
43:28eh la probabilidad de que x sea igual a
43:31y que y sea igual a j es simplemente el
43:33producto de las respectivas
43:34probabilidades. Y esta doble sumatoria
43:37es separable, le queda sumatoria sobre i
43:40de por la probabilidad de que x sea
43:42igual a i
43:45por la sumatoria de j de jad
43:50sea igual a j.
43:51Ya.
43:55Eh, pero esto es GX
43:58y esto otro es G de Yi. Ahí está. Y con
44:02eso demostramos que la el valor esperado
44:05del producto es el producto de los
44:06respectivos valores esperados. ¿Ya?
44:10Okay. Ese la esperanza, el valor
44:12esperado es el primer momento y como
44:14digo, el más importante. Ah. Eh, pero
44:18hay más momentos. Otro momento
44:19importante es la varianza.
44:31La varianza de X
44:35es una medición de cuán dispersos están
44:37los valores en torno al promedio. El
44:40valor esperado también se llama promedio
44:41o también se llama la media. ¿Ya? eh
44:45cuán dispersos están en torno al
44:49al a este valor esperado. Eh, yo podría
44:52definir esto como la eh
44:56el valor esperado de eh x - e de x, ¿no
45:01es cierto? X - edx
45:04es es la distancia, la desviación
45:06respecto de del edx. EX. EX es una
45:11constante. Ojo, cuando yo digo edx ya se
45:15aplicó el operador e ya me dio un valor
45:17específico. Entonces dex es una
45:19constante. Entonces si yo tomo el x, que
45:22es una variable aleatoria menos el valor
45:24esperado, yo podría calcular el valor
45:26esperado de eso.
45:29Pero eso no me sirve porque eh si aplico
45:33el valor esperado de esa fórmula, me
45:35queda el valor esperado de x menos el
45:37valor esperado de x me da 0.
45:39Ah, eh, porque fondo el promedio de las
45:43desviaciones en torno a la media es cero
45:47porque a veces es positivo, a veces es
45:49negativo y los positivos compensan a los
45:50negativos y el resultado final es cero.
45:52Ya eso yo no necesito eso. Eso no me va
45:55a decir cuán disperso. Si estás muy
45:57dispersos, sos poco dispersos, ¿no es
45:58cierto? Entonces, lo que yo tengo que
45:59ver es una manera que eh,
46:04tanto si si está a la izquierda o a la
46:06derecha, en ambos casos sume. Okay. Eh,
46:10yo podría aplicar ahí la fórmula de que
46:14es el
46:16eh el valor absoluto de la diferencia,
46:19¿no es cierto? Pero es complicado
46:22trabajar con valores absolutos. Otra
46:24forma que es eh
46:28algeb algebraicamente más tratable es eh
46:33tomar el cuadrado de la distancia a la
46:36media, ¿no es cierto? Entonces cuando es
46:39menor, eso es negativo la diferencia,
46:42pero alarse al cuadrado da positivo y
46:44cuando es mayor da positivo y con razón
46:46con mayor razón alarse al cuadrado sigue
46:48dando positivo. Entonces ahí esto todas
46:50las desviaciones aportan términos
46:52positivos a la sumatoria que finalmente
46:54va a dar el valor esperado. Así que así
46:55es como se define la varianza. se define
46:58como el valor esperado
47:00de x menos el valor esperado de x y todo
47:06eso al cuadrado.
47:09Ya.
47:13Y como les decía, esto de aquí no hay
47:16que perder de vista que esto es una
47:18constante.
47:21Una vez que yo apliqué el operador valor
47:22esperado, el resultado fue una
47:23constante, así que es eso es x menos una
47:25constante.
47:28Y de hecho, si yo le aplico e a e de x,
47:32el resultado es dex, ¿no es cierto? Si
47:34le aplico el valor esperado a una
47:35constante, el resultado es una
47:36constante,
47:39la misma constante. Ya. Eh, esa es la
47:43varianza. Ah, y también se define la
47:46desviación típica.
47:54sigma como la raíz de Bx.
47:59Ya vamos a ver por qué es importante
48:01sigma, pero entre otras cosas porque
48:04tiene dimensionalmente
48:07eh las mismas unidades que eh que el X,
48:12¿cierto?
48:14Ya, porque en la varianza tiene como
48:17unidades el cuadrado de las unidades de
48:19x, pero lación típica al tomar raíz
48:22vuelve a ser las mismas unidades que que
48:24el x.
48:26Eh, ya y tenemos una fórmula.
48:31Aquí tenemos una fórmula alternativa
48:33para la varianza.
48:41¿Qué es la más usada?
48:49que la obtenemos como tenemos que px
48:54es el valor esperado de x - e de x al
48:59cuadrado, ¿no es cierto? Esa es la
49:01definición. Entonces, ahora yo expando
49:03lo que hay adentro.
49:06Entonces me va a quedar x²
49:09- x * e de x
49:13así
49:15es, ¿no es cierto?
49:18Más e de x al cuadrado.
49:22Ahí expandiendo el binomio.
49:26Y ahora aplico e a cada uno de los
49:29términos por linealidad. Entonces, me va
49:30a quedar el valor esperado de x²
49:34menos
49:36eh aplico e
49:41el operador e se lo aplico a esto.
49:45¿Ya? Entonces recuerden que dx es una
49:47constante, así que sale para fuera junto
49:49con el 2. EX y lo que queda es el
49:51operador e aplicado al x, que el
49:54resultado dex ya tenía un edx afuera,
49:57así es que me queda -2x².
50:07Y acá tengo eh justo un el valor
50:10esperado de x cuadrado es de x cuadrado.
50:14Por lo tanto, tengo la fórmula que me
50:16dice que la varianza es el valor
50:17esperado de x cuad
50:20menos
50:23el cuadrado del valor esperado. Ahí
50:24tengo.
50:28Esa fórmula es a menudo eh más usada que
50:33la que la misma definición, ¿no? Esto es
50:36así.
50:38El valor esperado se le aplica a x²
50:41menos e de x todo eso al cuadrado.
50:45Ya. Y una de las
50:48y una de las cosas que muestran la la
50:51importancia que tiene la
50:54la varianza lo da lo que se llama la
50:57fórmula de Chevichevf.
51:21Sí,
51:24ahí está mejor. Ya si ustedes han visto
51:27Chevichev escrito de otra manera, no es
51:29raro. Chevichev se escribe porque el
51:32nombre de Chevichev en realidad se
51:33escribe en cirílico, ruso. Ah, así es
51:36que estas son trasliteraciones al
51:38alfabeto latino.
51:42Eh, ya. Eh,
51:47la fórmula de Chevich no la vamos a
51:49demostrar, solamente la vamos a usar. La
51:50fórmula de Chevich dice que la
51:52probabilidad de que x - e de x ah, que
51:57esta desviación que yo calculo de x
52:00respecto de x al cuadrado sea mayor o
52:05igual que alfa
52:08es menor o igual que bdx parido por
52:11alfa. Eso es lo que dice la fórmula de
52:12Chevich.
52:14Ya. Eh,
52:18una.
52:21A ver.
52:24Okay.
52:25¿Recuerdas que la que la demostración de
52:27la fórmula de Chev Chef no era tan
52:28difícil? Ah, no me acuerdo cómo era,
52:30pero me acuerdo que no era difícil, así
52:31que a lo mejor
52:33eh la podríamos haber visto, pero no la
52:35tengo a la mano la demostración. Pero sí
52:38unos corolarios. El para el corolario
52:41vamos a decir lo siguiente, si vamos a
52:43cambiarle nombre a algunas cosas.
52:48Si a edx lo llamamos mu,
52:52¿ya? Eso es habitual. Ustedes van se van
52:55a acostumbrar a que a menú vamos a
52:56escribir mu por el valor esperado de
52:58algo, ¿no? Y sigma cuadrado es bdx, ¿no
53:02es cierto? Porque dijimos que sigma era
53:04la raíz de Bx.
53:07Y y vamos a definir eh una
53:12valor
53:13c tal que 1/ido por c²
53:17sea igual a bx
53:21partido por alfa.
53:23Ya.
53:29Okay. Eh, esto último va a implicar que
53:33si yo despejo el alfa,
53:37alfa va a ser igual a C² por BX, pero BX
53:41es sigma cuadrado.
53:44Entonces, con todos esos cambios de
53:45anación, la
53:49fórmula de chef y chef ahora la puedo
53:51reescribir y decir que es la
53:53probabilidad de que x- mu al cuadrado
54:03sea mayor o igual
54:06que alfa, pero alfa es c² sigma
54:08cuadrado,
54:10¿cierto?
54:12es menor o igual que bx/ido por alfa,
54:15pero bdx parido por alfa es 1/ido por
54:18c²,
54:21¿ya?
54:22Y eh si x - 2 cuad es mayor o igual que
54:26c² sigma cuadrado
54:29y yo tomo raíz cuadrada ambos lados, se
54:31va a mantener la desigualdad y me va a
54:34decir y y la raíz cuadrada de de algo al
54:37cuadrado es el valor absoluto. Así que
54:40lo que esto me va a decir es que la
54:41probabilidad
54:43de que el valor absoluto de x- mu
54:47sea mayor o igual que c veces sigma
54:53es menor o igual que 1 parido por c².
54:56Esa es la fórmula que que a menudo se
54:59usa como la fórmula de chef y chef,
55:02porque esto lo que me está diciendo es
55:04si yo estoy eh
55:11viendo cuál es la probabilidad que yo me
55:12aleje mucho de la media, ah, hagamos
55:16aquí una línea.
55:19Entonces, pongamos aquí el mu
55:23y acá eh
55:27pongamos mu sigma
55:30y acá mu + 2 sigma y así
55:38ya a la izquierda
55:40mu men sigma
55:43mu - 2 sigma
55:46mu - 3 sigma ¿verdad?
55:49Okay.
55:51Entonces, eh, por ejemplo,
55:57¿cuál es la
56:00cuál es la probabilidad de que yo me
56:04aleje más de dos sigmas? Ah, eso.
56:10La probabilidad de que yo me aleje más
56:12de 2 sigmas es la probabilidad de que x
56:16- mu sea mayor o igual que 2 sigma, ¿no
56:19es cierto? Y eso va a ser entonces va a
56:23ser C = 2. Por lo tanto, esto va a ser
56:25menor o igual que 1/ido por 4. Sea la
56:29probabilidad
56:30de que yo esté fuera de este rango, ah,
56:35este rango que yo marqué con naranja
56:37aquí, la probabilidad que yo esté fuera
56:39del rango es menor o igual que un/4. Por
56:44lo tanto, la probabilidad que yo esté
56:46aquí adentro del rango es mayor o igual
56:48que 3/4.
56:51¿Ya? O sea, esto,
56:55esta probabilidad aquí es mayor o igual
56:59que 75%.
57:03¿Ya? ¿Y qué pasaría eh acá?
57:07Si yo digo 3 sigma, ¿cuál es la
57:10probabilidad de que eh yo esté fuera de
57:14este rango? H va a ser menor o igual que
57:18que
57:20un noveno
57:22la que esté fuera. Por lo tanto, la
57:25probabilidad que yo esté dentro va a ser
57:28mayor o igual que 8 noven
57:31y eso es mayor o igual que 89%.
57:35¿Ya? O sea, lo que esto me está diciendo
57:38es que eh
57:40la
57:43una vez que yo conozco el sigma, yo sé
57:45cuán concentrada va a estar la
57:48distribución en torno a la mu. Ya. Si el
57:52sigma es muy pequeño,
57:54la distribución va a estar muy
57:56concentrada, ¿ya? Porque yo me tengo que
57:58alejar muy poco para que ya la
58:00probabilidad sea muy alta, que yo esté
58:01dentro de este rango. Si el si el sigma
58:04es grande, eh la distribución puede
58:06estar mucho más dispersa, ya porque
58:09tengo que alejarme mucho para llegar a
58:11acumular suficiente probabilidad de
58:13estar al interior del del intervalo.
58:15Solo que no está no dice la fórmula de
58:17Chevichev.
58:21Ya. Y ahora en esta media hora que queda
58:26ya
58:30vamos a
58:33conectar lo que habíamos estado haciendo
58:35antes con lo que estamos haciendo ahora.
58:38relación
58:45con funciones generatrices.
58:50Entonces, sospechaban que no iba a pasar
58:52mucho tiempo antes de que volviéramos a
58:54hablar de funciones generatrices, ¿no es
58:55cierto?
59:00Ordinarias
59:04para mayor decisión.
59:13Si x
59:16es una variable aleatoria
59:20que toma
59:23solo valores enteros
59:29mayor iguales que er
59:34se define tiene
59:38su función
59:42generatriz
59:49de probabilidad
1:00:00la FGP
1:00:04como de la siguiente manera digamos g(x)
1:00:09t z, llamamos así la función generatriz
1:00:11de probabilidad para la variable
1:00:12reductoria x
1:00:16es la sumatoria
1:00:19eh para k mayor que mayor o igual que 0
1:00:24de probabilidad de que x sea igual a k
1:00:28por z la
1:00:37Okay. O sea, los valores de la las
1:00:41probabilidades
1:00:43eh
1:00:45de
1:00:47los valores que puede tomar la función
1:00:48x, ¿ya? Yo la multiplico eh por z
1:00:53elevado a al valor de la función x. Y
1:00:57eso es la y eso es eh esa función
1:00:59generatriz la llama la función
1:01:01generatriz de probabilidad. Entonces,
1:01:02por ejemplo, ¿qué significaría esto en
1:01:03mi ejemplo de que yo lanzo n monedas?
1:01:06Entonces, lanzo n monedas y cuento
1:01:07cuántas caras salieron. Entonces, hay
1:01:09una probabilidad de que hayan salido
1:01:10cero caras. Eso es la probabilidad que x
1:01:12sea igual a 0 y lo multiplico por z la
1:01:140. Y la probabilidad que haya salido una
1:01:17cara, esa es la probabilidad de que x se
1:01:19igual a 1 y lo multiplico por z la 1 y
1:01:21así voy sumando todo. Hasta la
1:01:23probabilidad de que x sea igual a n, que
1:01:25salieron puras caras. y lo multiplico
1:01:27por z la n. Y la suma de todo eso es la
1:01:28función generatriz de probabilidad. Ya
1:01:31el las las probabilidades
1:01:35que haya salido cero caras, una cara,
1:01:37dos caras, hasta n caras es lo que se
1:01:38llama la distribución de probabilidad.
1:01:41Entonces, la otra manera de verlo es que
1:01:44la función generatriz de probabilidad es
1:01:47la función generatriz aplicado a la
1:01:49secuencia que es la la que es la
1:01:53secuencia de probabilidad. Ah, ya.
1:01:56Entonces, e así está definido
1:02:00algunas propiedades.
1:02:02¿Cuánto vale g sub x de 1? ¿Qué pasa si
1:02:06yo pongo z = 1?
1:02:09Si yo pongo z = 1,
1:02:12todas estas potencias valen uno. Y lo
1:02:14que me queda es la sumatoria de todas
1:02:15las probabilidades. Bueno, la sumatoria
1:02:17de todas las probabilidades siempre
1:02:18tiene que dar uno. Así que una manera de
1:02:22chequear de que yo no me he equivocado
1:02:23al hacer cálculos de una función
1:02:25generatriz de probabilidad, por lo menos
1:02:26que no me he equivocado mucho, es e
1:02:29poner ser igual 1, porque el valor de la
1:02:32función generatriz de probabilidad tiene
1:02:33que ser uno.
1:02:35¿Cuánto vale g sub x en?
1:02:40Si yo pongo z
1:02:43igual 0, aquí esto se anula siempre,
1:02:46salvo para el caso eh K = 0, porque 0 a
1:02:51la 0 es 1. Y en ese caso me queda la
1:02:53probabilidad de que x sea igual a 0.
1:02:55Okay. Otra forma de verlo es que el k =
1:02:580 es el término constante y después
1:03:00viene el término multiplicado por z, el
1:03:02término multiplicado por z cu, etcétera.
1:03:04Entonces, si pongo z = 0, se anulan
1:03:06todos los que tienen z, pero sobrevive
1:03:07el término constante, que es entonces la
1:03:10la probabilidad
1:03:14de que x sea igual a 0.
1:03:16Ya, ese es Jesú x de 0. Ahora, ¿por qué
1:03:21introducimos estas funciones generates
1:03:22de probabilidad? porque son muy útiles
1:03:24para calcular momentos.
1:03:38El valor esperado de x
1:03:40está definido como la suma para k mayor
1:03:43o igual que 0 de k por la probabilidad
1:03:46de que x sea igual a k, ¿no es cierto?
1:03:48Esa es la definición con la que
1:03:50terminamos operando.
1:03:52Eh, entonces lo que yo necesito es una
1:03:54manera de generar esta sumatoria.
1:03:58Eh, yo necesito que eh la probabilidad
1:04:02esté multiplicada por k. Y la pregunta
1:04:05es, ¿cómo puedo hacer eso a partir de la
1:04:06función generatriz? Si yo miro acá la
1:04:09definición de la función generatriz de
1:04:11probabilidad, aquí
1:04:16si yo pongo 7 = 1, desaparecen todos los
1:04:19set de lo que me queda la suma de las
1:04:20probabilidades, no más que yo sé que
1:04:21vale uno, pero eso no es lo que yo
1:04:22necesito. Yo necesito que antes de que
1:04:25se vayan a sumar las probabilidades, que
1:04:26cada probabilidad esté multiplicada por
1:04:28K. Ah, para que quede esta fórmula.
1:04:32Entonces, yo necesito que cada
1:04:33probabilidad esté multiplicada por K.
1:04:34¿Cómo puedo hacer que cada probabilidad
1:04:36esté multiplicada por K? Muy fácil.
1:04:38Primero derivo, hago la derivada
1:04:40respecto de Z. Entonces, al hacer la
1:04:42derivada respecto de Z, me va a quedar K
1:04:45por la probabilidad por z la K - 1,
1:04:48¿cierto? Y ahora pongo z = 1, con lo
1:04:52cual desaparecen los z y lo único que
1:04:53queda la sumatoria de K por la
1:04:54probabilidad que es el valor esperado.
1:04:58Así que ese es el truco. El truco es
1:05:02calcular
1:05:03G prima de Z, g prima sub. Ya, la
1:05:09derivada de si yo derivo la fórmula GX
1:05:13de Z respecto de Z, me queda la
1:05:16sumatoria
1:05:19para K mayor o igual que 0 de K por la
1:05:22probabilidad de que X sea igual a K
1:05:26por z a la K - 1. ¿No es cierto? Ahí
1:05:28calculé la derivada.
1:05:31Y si ahora pongo g prima
1:05:35de x en z = 1, evalu = 1, me va a quedar
1:05:39la sumatoria para k mayor o igual que 0
1:05:42de k por la probabilidad de que x sea
1:05:44igual a k, que no es otra cosa que de x,
1:05:49o sea, mu. ¿Ya? Entonces esa es la
1:05:53conclusión. Si yo si yo quiero calcular
1:05:56mu, que es e de x,
1:05:59eh simplemente lo que hago es derivo
1:06:02y pongo z = 1.
1:06:11Ya. Entonces con eso yo puedo calcular
1:06:13el valor esperado.
1:06:16¿Qué pasa si yo quiero calcular la
1:06:18varianza?
1:06:20La varianza de x.
1:06:22Ya, para la varianza de X nos podemos
1:06:24basar en esta fórmula de por acá, esta
1:06:30esta fórmula que me dice que la varianza
1:06:32de X es el valor esperado de x²
1:06:36menos el valor esperado de x al
1:06:38cuadrado. El valor esperado de x lo
1:06:39llamamos mu, así sería menos mu
1:06:41cuadrado. ¿Ya?
1:06:43Y entonces
1:06:46esto me quedaría aquí la varianza
1:06:53me quedaría como el valor esperado de x²
1:07:00- mu².
1:07:03¿Ya?
1:07:05Eh, ¿qué cosa es el valor esperado de
1:07:07x²? El valor esperado x² sería la
1:07:10sumatoria sobre todo k mayor o igual que
1:07:120 de k² por la probabilidad de que x sea
1:07:17igual a k
1:07:19y todo eso menos el mu cuadrado. ¿Ya?
1:07:24Entonces, la pregunta eh tal como yo
1:07:26generé aquí
1:07:30al hacer la derivada,
1:07:33al hacer la derivada yo generé que el
1:07:37que el la probabilidad que ahora
1:07:38multiplicada por k, ¿no es cierto?
1:07:41Pero ahora yo lo que necesito es que la
1:07:43probabilidad que multiplicada por k²ado,
1:07:45no por k, sino que por k²ado. Entonces,
1:07:47lo que yo puedo hacer es intentar
1:07:50eh derivar dos veces.
1:07:53¿Qué pasa si yo derivo dos veces? Si yo
1:07:56derivo dos veces, digo G segunda de X en
1:08:02Z,
1:08:05¿qué sería? Bueno, hagamos la primera
1:08:07derivada. Yo sé que la primera derivada
1:08:10me deja la sumatoria para acá mayor o
1:08:12igual que 0 de K por la probabilidad de
1:08:16que X sea igual a K * Z a la K - 1, ¿no
1:08:20es cierto?
1:08:22Y todo eso ahora tengo que derivarlo una
1:08:24vez más.
1:08:26Entonces, al derivar una vez más, me va
1:08:28a quedar la sumatoria para k mayor o
1:08:30igual que 0 de k * k - 1 por la
1:08:36probabilidad de que x sea igual a k
1:08:41eh por z a la k - 2,
1:08:47¿cierto?
1:08:48Y si ahora yo pongo g x y evalúo en z =
1:08:531, me va a quedar la sumatoria
1:08:56para k mayor o igual que 0 de k por k -
1:09:001 por la probabilidad de que x sea igual
1:09:04a perdón dije x eso está malo allá
1:09:10la prob que x se igual a k eso era por
1:09:14la prob se igual a k ah desaparece el z
1:09:18y eso es la sumatoria para k mayor o
1:09:22igual que 0 de k² por la probabilidad de
1:09:25que x sea igual a k
1:09:28menos la sumatoria para k mayor o igual
1:09:31que 0 de k por la probabilidad de que x
1:09:35sea igual a k.
1:09:37Ya. Y bueno,
1:09:42esto que tengo aquí es el valor esperado
1:09:45de x²
1:09:47y esto que tengo acá es mu.
1:09:51O sea, g segunda en 1 es el valor
1:09:53esperado x² - mu. Ya. Eh, parecido a lo
1:09:58que yo necesito.
1:10:00Eh, pero no idéntico. Bueno, fácil. Si
1:10:05yo necesito despejar eh el valor
1:10:08esperado de x²,
1:10:10lo que tengo que hacer es pasar el mu
1:10:12sumando al otro lado. Aquí este mu acá,
1:10:15entonces me va a quedar que el valor
1:10:16esperado cuadrado es la segunda derivada
1:10:18más mu. Entonces yo tenía esta fórmula
1:10:21acá.
1:10:24Yo necesitaba el valor esperado de que
1:10:25es cuadrado.
1:10:27Ya. Eh, entonces voy a sustituir lo que
1:10:31acabo de obtener acá. Voy a sustituir la
1:10:34segunda derivada más mu. Entonces, me va
1:10:36a quedar que el valor esperado
1:10:38aquí en vez de x e de x² va a quedar la
1:10:40segunda derivada más mu y - mu cuadrado.
1:10:44¿Ya? O sea, eso implica
1:10:49cambiamos color.
1:10:54Eso implica
1:10:56ahí que el la varianza de x
1:11:01va a ser gunda
1:11:04sub x en 1
1:11:07más mu, ¿no es cierto? Ese es el más mu
1:11:09que apareció al al
1:11:12despejar el e dex² y - mu²ad.
1:11:23Ahí está.
1:11:27O si ustedes lo prefieren escrito de una
1:11:29manera en términos de la función G,
1:11:32queda que la varianza de X es la segunda
1:11:36derivada en 1
1:11:40más la primera derivada en 1
1:11:44menos la primera derivada en un pero al
1:11:47cuadrado.
1:11:59Ya.
1:12:00Ahora como notación
1:12:08llamamos P de Z a la al G de X de Z
1:12:13por P por probabilidad.
1:12:16Eh, y definimos operadores. Pz es una
1:12:21función generatriz. Entonces definimos
1:12:23dos operadores sobre funciones
1:12:24generatrices. El operador AB de Average
1:12:29que consiste en derivar y evaluar en uno
1:12:33y el bar
1:12:37de P dez,
1:12:39que significa derivar dos veces es valor
1:12:41en un
1:12:43más derivar una vez valor en un y menos
1:12:47derivar
1:12:48dos, perdón, una vez.
1:12:54yar en uno al cuadrado.
1:12:57Ya no confundan,
1:13:03no confundan eh
1:13:08estos operadores AB y bar con los
1:13:09operadores E y B corta. Ya. Los
1:13:14operadores E y B corta son operadores
1:13:16sobre variables aleatorias.
1:13:19Los operadores AVE y bar son operadores
1:13:20sobre funciones generatrices. Ya. Eh,
1:13:24para que aprecie la diferencia, si yo eh
1:13:28tengo una función aleatoria que tiene
1:13:29valor constante uno y le aplico valor
1:13:31esperado, el valor esperado de uno es
1:13:33uno, obviamente, ¿no es cierto? Pero si
1:13:36yo tengo una función generatriz de
1:13:37probabilidad que vale uno constante y le
1:13:40aplico AB, eh el AB de 1 es cerar
1:13:46y evaluar en C = 1, pero si yo derivo el
1:13:48uno, que es una constante, me da cero.
1:13:50Ya. Así que no confundan una cosa con la
1:13:52otra. Y para concluir por hoy,
1:13:56eh, vamos a ver qué pasa. Pámosla acá
1:14:00con suma de variables aleatorias
1:14:02independientes.
1:14:06Ya. suma
1:14:10suma de variables aleatorias
1:14:12independientes.
1:14:28Okay.
1:14:32dadas
1:14:36dos variables aleatorias independientes
1:14:45X com Y.
1:14:48Ya
1:14:50queremos
1:14:54estudiar
1:14:58la variable aleatoria x + y.
1:15:10Por ejemplo, supongamos que yo lanzo eh
1:15:14n veces una moneda y calculo cuántas
1:15:16caras salieron ahí y luego lanzo m veces
1:15:21una moneda y veo cuántas caras salieron
1:15:23ahí. Y ahora pregunto, ¿cuántas caras
1:15:26salieron en total?
1:15:28Va a ser la suma de las que salieron de
1:15:29acá con la suma de las que salieron de
1:15:30allá, ¿no es cierto? y ambas son
1:15:32independientes. Ya el número de caras
1:15:35que sale de acá es independiente cuántas
1:15:36salieron acá. Entonces, ese eso es lo
1:15:39escenario que yo quiero estudiar. ¿Okay?
1:15:42Entonces,
1:15:44veamos cuál es la probabilidad de que x
1:15:48+ y
1:15:51sea igual a un cierto eh K.
1:15:57Ya
1:15:59es, a ver, eh, no, pongamos n
1:16:03cambiamos cambiemos de opinión.
1:16:06Sea igual a un cierto n.
1:16:14Eso va a ser igual. ¿Cómo yo llego a que
1:16:17la suma de uno con el otro valen n?
1:16:19Bueno, porque uno vale k y el otro vale
1:16:21n men- k, ¿no es cierto? Para que sumen
1:16:23n. Entonces, eh de hecho quizás me
1:16:27conviene más escribirlo
1:16:29como
1:16:32como simétrico, ¿no?
1:16:37Eh, claro.
1:16:40Ya.
1:16:43A ver, eh, la probabilidad que es que
1:16:45sea igual a n es la suma sobre todo y j
1:16:49mayor o igual que 0 tal que i + j = n,
1:16:52¿cierto?
1:16:54de la probabilidad
1:16:57de que x sea igual a i y que y sea igual
1:17:01a J.
1:17:04Ya, porque si si x = i y = j, eh, x + i
1:17:11es i + j, pero i + j es n. Esa es la
1:17:13probabilidad que x + y sea igual a n.
1:17:16Okay. Entonces, ahí tengo mi mi
1:17:19probabilidad de que x + y sea ig a n.
1:17:21Entonces, ahora eh calculemos
1:17:25la función generatriz en probabil de
1:17:27probabilidad
1:17:30de
1:17:33la variable aleatoria
1:17:35x + y.
1:17:37¿Ya?
1:17:39Esto va a ser igual a la suma,
1:17:43sobre todo n mayor o igual que 0 de la
1:17:47probabilidad de que x + y sea igual a n
1:17:50por z a la n, ¿no es cierto?
1:17:53Y la probabilidad de que x + y sea ig la
1:17:55que estoy escrito allí arriba, es la
1:17:57sumatoria sobre todo y j mayor o igual
1:18:00que 0 tal que i + j = n
1:18:04de la probabilidad. Y aquí eh
1:18:14aquí antes de seguir escribiendo eso,
1:18:17aquí
1:18:18yo debería haber dicho que esto era lo
1:18:21mismo que probabilidad de que x sea
1:18:22igual a y
1:18:25por probabilidad de que y sea igual a J
1:18:30por la suposición de independencia.
1:18:34Así que acá
1:18:36al tiro puedo escribir que esto
1:18:38probabilidad que x sea igual a i por
1:18:41probabilidad de que y sea igual a J.
1:18:45¿Ya?
1:18:47Y
1:18:49y ahora,
1:18:52a ver, déjenme, necesito un poquito más
1:18:54de espacio, disculpen, voy a escribirlo
1:18:56de nuevo. Ya corremos aquí
1:18:59ya necesito un poquito más de espacio.
1:19:03Entonces, la probabilidad de que x sea
1:19:07igual a y
1:19:10por la probabilidad
1:19:13de que y sea igual a J.
1:19:17Y todo eso multiplicado por z la n.
1:19:20Okay. Ya. ¿Por qué dejé ese espacio?
1:19:24Porque ahora yo puedo decir que z a la
1:19:26n, como n es ig a i + j, lo puedo
1:19:30escribir como z a la i por z a la j, ¿no
1:19:32es cierto? Y lo meto aquí adentro. Z a
1:19:36la i, z a la j. Eso, eso es lo que
1:19:39quería hacer. Ya. Y ahora
1:19:43esta doble sumatoria es separable.
1:19:47Me queda sumatoria.
1:19:49A ver, antes, bueno, todavía no lo
1:19:50escrito como doble sumatoria. Escriamos
1:19:52doble sumatoria. Eh, yo voy n tomando
1:19:55los los valores n = 0, n = 1 = 2 y
1:19:59viendo todos los que suman n. Pero eso
1:20:01es lo mismo que decir que yo estoy
1:20:02cubriendo todo el cuadrante y j mayor o
1:20:04igual que 0. una doble sumatoria de la
1:20:07probabilidad de que x sea igual a i * z
1:20:11a la i por la probabilidad de que y sea
1:20:15igual a j z a la j. Y ahora estas dos
1:20:18son las que son separables. Por un lado
1:20:20me queda sumatoria
1:20:23sobre todo y mayor o igual que 0 de la
1:20:26probabilidad de que x sea igual a i por
1:20:28z la i por la sumatoria sobre todo j
1:20:33mayor o igual que 0. probabilidad de que
1:20:36y sea igual a j z la j.
1:20:41¿Ya?
1:20:43Y esto no es otra cosa que gx de z y el
1:20:49otro no es otra cosa que gy de z.
1:20:54Entonces, aquí está. Esto es lo que
1:20:56quería demostrar, que la función
1:20:59generatriz de probabilidad de la suma de
1:21:01variables aleatorias independientes
1:21:04es el producto
1:21:08de las funciones geratrices de las
1:21:09respectivas variables.
1:21:22Este es un resultado superimportante y
1:21:25que para que quede más claro lo voy a
1:21:26escribir en palabras. Ah, la
1:21:31función generatriz de probabilidad
1:21:34de la suma
1:21:38de variables aleatorias independientes
1:21:48es el producto.
1:21:53La función G de la suma es el producto
1:21:57de las respectivas
1:22:04funciones
1:22:07generatrices
1:22:09de probabilidad.
1:22:21O sea, cada vez que ustedes tengan
1:22:23procesos encadenado
1:22:25en que yo hago algo y obtengo una
1:22:28variable X como resultado y después hago
1:22:30algo y obtengo una variable y como
1:22:32resultado y son independientes,
1:22:35eh, y yo quiero formar la función
1:22:36generatriz resultante de todo eso, las
1:22:39respectivas funciones generatrices se
1:22:42van a ir multiplicando.
1:22:44O sea, cuando las respectivas variables
1:22:45se van sumando y son independientes, las
1:22:48respectivas funciones se van
1:22:50multiplicando.
1:22:52¿Cuál es la intuición que hay detrás de
1:22:54esto de que una suma se transforma en un
1:22:56producto? Ah, la intuición que hay es
1:22:59que eh los valores que puede tomar la
1:23:03función eh la variable aleatoria,
1:23:07yo las leo en el exponente de los zas.
1:23:10Ya si volvemos atrás, cuando definimos
1:23:13lo que eran estas funciones generatrices
1:23:15de probabilidad,
1:23:18acá está, ¿okay?
1:23:23La variable aleatoria x puede tomar
1:23:26valores k, k = 0, k = 1, etcétera. Y
1:23:30esos valores yo los leo en el exponente
1:23:32de los Z. Ahí se encuentran los valores
1:23:34que puede tomar la función generatriz.
1:23:37Entonces, cuando yo voy sumando
1:23:41eh variables aleatorias independientes,
1:23:42yo quiero que los valores resultantes se
1:23:44vayan sumando. Y eso se obtiene
1:23:46exactamente al ir multiplicando las
1:23:48respectivas funciones generatrices,
1:23:50porque al multiplicar
1:23:52z a la i, cuando la primera variable dio
1:23:54valor i por el z a la jorta
1:23:58la segunda variable aleatoria, me
1:24:00resulta un z a la i + j, que es
1:24:02exactamente lo que yo quiero obtener
1:24:03como el resultado de la suma de las dos
1:24:06variables aleatorias. Ah, esa es la
1:24:09razón por la cual yo las multiplico,
1:24:11porque al multiplicar funciones
1:24:14generatrices, eh, los valores que están
1:24:18en los exponentes se van sumando. Ah, y
1:24:20así lo obtengo. O sea, esto de esta esta
1:24:24operación de multiplicar funciones
1:24:27generatrices para obtener eh la
1:24:29generatriz de la suma es algo que vamos
1:24:31a ver con con mucha frecuencia. Eh, y
1:24:34bien, con eso completamos el material
1:24:37que yo tenía para la clase de hoy
1:24:40y vamos a cerrar la grabación.
1:24:45Bueno, vamos a dejar