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0:02Buenos días y bienvenidos a la clase.
0:06Eh, vamos a comenzar. A ver, creo que
0:10déjenme
0:12un poquito, no creo que solo moleste.
0:16Eh, vamos a comenzar hoy día viendo un
0:20tema que dejamos pendiente la clase
0:21pasada. Hago una pregunta super buena de
0:24eh por qué en la en las triangulaciones
0:29nosotros no podíamos en vez de partir
0:30con un triángulo que tiene a su lado dos
0:33triángul a cada lado una triangulación
0:35porque no podíamos partir con una
0:37triangulación vacía, una línea no más y
0:39construir a cada lado las
0:41triangulaciones, ¿no es cierto? Eh eh
0:44porque lo que nosotros habíamos dicho es
0:46lo siguiente, que que un que un
0:50polígono triangulado, llamémoslo P,
0:56ya puede ser ya sea eh una simple línea,
1:02un polígono que tiene solo dos vértices,
1:05que esa que contiene cero triángulos,
1:08o bien
1:10un
1:12triángulo que tiene un polígono
1:15triangulado a la izquierda y otro
1:16polígono triangulado a la derecha.
1:19Y así recursivamente vamos construyendo
1:21todos los polígonos triangulados
1:23posibles.
1:24Eh, y la pregunta es, era aquí al centro
1:32aquí, ¿por qué en vez de poner un
1:33triángulo no podemos poner esto? ah una
1:35línea que separa esto de esto y
1:40y podría ser. Ah, pero la razón por la
1:43cual no lo hacemos es porque necesitamos
1:46que esta sea una unión disjunta.
1:49Ya. Eh, con lo que tenemos aquí está
1:52garantizado que es una unión disjunta
1:54porque aquí tenemos los triangulaciones
1:56vacías en realidad, ah, con cero
1:58triángulos y acá están las
2:00triangulaciones no vacías. ¿Y cómo se
2:02garantiza que es no vacía? porque
2:04contiene por lo menos un triángulo. ¿De
2:06acuerdo? Si acá pusiéramos la
2:08posibilidad de poner una triangulación
2:10vacía al medio, separando estas dos, eh,
2:13la triangulación vacía se podría
2:14construir de múltiples maneras. Una
2:16sería esta, pero otra sería poner una
2:18triangulación vacía aquí que contiene a
2:20la izquierda una triangulación vacía y a
2:22la derecha otra triangulación vacía y el
2:24resultado sería una triangulación vacía,
2:26¿ya? Eh, y así y recursivamente
2:29podríamos tener una infinidad de maneras
2:30de construir triangulaciones vacías y la
2:32triangulación vacía, que solo una, la
2:34estaríamos contando una infinidad de
2:35veces, ¿ya? Eh, porque esta unión ya no
2:38sería disjunta. La triangulación vacía
2:40estaría aquí y acá también. Ya, ese esa
2:43es la razón por la cual no tenemos acá
2:45tenemos que garantizar que esta
2:46triangulación es no vacía, que tiene por
2:48lo menos un triángulo y ahí está. Okay.
2:52Eh, y eso eh, bueno, y de ahí hay un
2:55paso nada más para llegar a la ecuación
2:58de de catalán, ¿no es cierto? Entonces,
3:01eso había quedado pendiente y quería
3:03verlo antes de comenzar la materia de
3:06esta clase.
3:08En realidad va a ser una continuación
3:11de las triangulaciones, perdón, de los
3:13recubrimientos condominos, pero ustedes
3:16van a ver.
3:31El otro día habíamos analizado los
3:33recubrimientos de
3:362 por n, ¿no es cierto?
3:42ese reticulado de 2 por n, ¿cómo lo
3:44podemos cubrir con dominos
3:46eh que pueden estar en posición vertical
3:49u horizontal? Hicimos todo un análisis
3:51bien detallado de esto que vimos en
3:54principio que esto en realidad es
3:55equivalente a lo que habíamos hecho
3:56antes de cubrir un pasillo con baldosas,
4:00ya sea de de uno por uno o de 2 por un
4:04ah y que conducía los números fibonach.
4:06Así que esto también cuando usa los
4:07números H, por cierto, eh, pero como
4:11paso intermedio pasamos por coeficientes
4:13binomiales, lo cual fue eh, por lo menos
4:15para mí cuando primero lo vi un poquito
4:17inesperado, no esperaba que aparecieran
4:19coeficientes binomiales ahí por el
4:21camino. Eh, pero ese problema ya lo lo
4:24vimos. Ah, ¿qué pasa acá? eh que estos
4:28eran,
4:29como digo, recubrimientos
4:37de 2 por n. Okay. Lo que quiero ver
4:41ahora son recubrimientos de 3 por n,
4:50o sea, tenemos un un reticulado aquí.
4:56de altura 3
5:02y de ancho N
5:05y queremos cubrirlos con dominó. Ah,
5:08vamos a ver un ejemplo.
5:12Supongamos que eh yo parto con dos
5:17dominos
5:19verticales. Abajo necesariamente tiene
5:22que haber un horizontal para completar
5:24la altura tres, ¿no es cierto?
5:26Eh, otra manera de continuar podría ser
5:29con tres dominos horizontales,
5:32¿ya? Eh, otra manera podría ser poner
5:36aquí un domino vertical y acá un
5:38horizontal debajo formando una especie
5:40de L. Ah,
5:43cuando yo hago eso, estoy obligado a que
5:45aquí tengan que haber dos dominos
5:47horizontales.
5:49Es una movida forzada, ¿ya?
5:52Y y esto de acá
5:56va a forzar a que tenga que haber un
5:57horizontal ahí. Ya.
6:01Y aquí tengo varias opciones a seguir,
6:03pero una opción sería llegar y terminar
6:05aquí. Y ahí está listo ese, ¿cierto? Eh,
6:10pero yo podría haber
6:14haber puesto aquí uno, perdón,
6:19uno vertical aquí.
6:23Eso me forzaría a poner un horizontal
6:24arriba y esto me forzaría a poner dos
6:27horizontales acá y esto me forzaría
6:32a poner un horizontal allí arriba,
6:35ya que yo lo podría cerrar con un
6:37vertical abajo, pero pero también lo
6:38podría continuar,
6:42¿ya?
6:44Y a lo mejor cerrarlo aquí también se
6:47puede, ¿cierto? Y así y esto puede
6:50continuar.
6:52tanto como ustedes quieran para poder
6:53llegar al n, al ancho n estipulado, ¿no
6:57es cierto?
6:59Entonces, eh aquí aparecen ciertos
7:02ciertos patrones que eh podríamos tratar
7:05de identificar.
7:06Eh, por ejemplo,
7:09eh están estos tríos de dominóos
7:15horizontales, ¿no es cierto? Marquémoslo
7:17aquí.
7:19Acá hay otro.
7:23están
7:25los que comienzan
7:28con esta especie de L, ¿no es cierto?
7:35Eh,
7:37acá tengo otro
7:43y están los que comienzan
7:46por una especie de digamos L invertida,
7:53esa que están viendo aquí, una una gama
7:56mayúscula para los que conozcan letra
8:00griega y se llega hasta allá, ¿no es
8:02cierto?
8:03se fue prolongando, prolongando hasta
8:05que finalmente llegó hasta allá.
8:07Entonces, eh
8:10y esto es lo que nosotros queremos
8:12responder la pregunta. ¿Cuántas maneras
8:15hay de cubrir un espacio de 3 por n con
8:18dominos de esta manera?
8:22¿Está claro cuál es el problema? Sí.
8:26Sí.
8:28¿Alguna pregunta a este nivel antes que
8:29empecemos a ver cómo tratar de
8:31resolverlo?
8:33parece que no. Ya. Entonces, eh
8:42bueno, podríamos empezar a tratar de ver
8:44un poco algunos casos pequeños,
8:47etcétera, como vimos antes, pero ya
8:49tenemos suficiente experiencia en esto,
8:51como tratar de lanzarnos a la piscina
8:53por completo. Ah. Eh, entonces lo que
8:56vamos a [resoplido] hacer es tratar de
8:58describir la clase de todos los
9:01recubrimientos de altura tres, ¿ya?
9:04Todos los recurrimientos de altura tres,
9:05lo cual conjunto infinito, por supuesto,
9:07¿ya? Eh, y a partir de esa descripción
9:10de la clase después poder encontrar la
9:12función generatriz y y encontrar
9:14finalmente la respuesta que buscamos, el
9:16número de de manera, ¿no es cierto?
9:19Entonces, digamos que se u
9:24la clase
9:26de todos [suspiro]
9:29los recubrimientos
9:34de altura 3.
9:39Ya. Entonces, ¿cómo yo puedo
9:43cómo yo puedo describir esta clase U?
9:48Bueno, primero que nada
9:51tengo que tener el recubrimiento vacío,
9:53el de ancho cero, ¿no es cierto? Todo
9:55esto finalmente termina con un
9:58recubrimiento de ancho cero. ¿Okay? Eh,
10:02ese es el caso de borde. Después vamos
10:09describiendo cómo sigue o cómo se
10:11construye esto.
10:15La idea es leer el recubrimiento de
10:17izquierda a derecha y tratar de
10:18describirlo de izquierda a derecha. ¿Ya?
10:21Entonces, a ver, comencemos por el caso
10:23más fácil. Si el recubrimiento comienza
10:26con estos tres dominos horizontales,
10:31ya supongamos que hubiera comenzado con
10:34uno de estos tríos de dominó que yo
10:36pinté de color naranja, que eso fuera lo
10:38que estuviera a la izquierda. Okay.
10:40Cuando eso está a la izquierda, lo que
10:43sigue de ahí a la derecha es un
10:45recorrimiento de de altura tres, ¿no es
10:47cierto? O sea, es un recurrimiento de
10:48tipo U. Así
10:50y listo. Ya. Esa esa es la caso más
10:54fácil. ¿Estamos todos de acuerdo? No es
10:55ciertoa.
10:57Si parte de esa manera y yo le quito
10:58esos tres, lo que queda sigue siendo un
10:59recubrimiento de altura tres. Ya
11:02recuerden que no estamos enumerando
11:05recubrimiento de altura 3 y ancho n. Ya
11:08nos olvidamos del n. Estamos
11:11describiendo el conjunto infinito de
11:13todos los recurrientos posibles y
11:14después vamos a condicionar a aquellos
11:16que tienen ancho n. Pero por el momento
11:19son todos ya por eso es que estas
11:21ecuaciones son fáciles de escribir
11:23después.
11:25Pero no es todo, porque
11:28no todos los recubrimientos comienzan
11:29así, ¿no es cierto? Puede haber un
11:31recubrimiento que empiece con esta
11:34especie de L, un dominó vertical, lo
11:39cual me obliga a poner un domino
11:40horizontal aquí abajo. ¿Ya? Entonces,
11:44supongamos que yo parto así
11:47y ustedes lo están viendo así en
11:49realidad. Ya parto así, si quito esa L,
11:53la saco, lo que queda, lamentablemente
11:57no es un recubrimiento de de altura
12:00tres. ¿Ya? ¿Por qué? Porque le falta la
12:03esquina inferior izquierda. ¿Se fijan?
12:06Si yo si yo eh le quito, a ver,
12:11dibujémoslo aquí y después lo borro
12:13porque no no no quiero ponerlo así, pero
12:15si yo le quito esta L que comienza, lo
12:18que queda a continuación, pongámosle
12:21otro color aquí, ya
12:29sería algo de esta forma.
12:37Ya. Okay. Y
12:41sí,
12:43y eso no se podría escribir como un
12:45recubrimiento de altura 3 más un domino.
12:49Eh, no, porque si tú dirías decir que
12:53esto de aquí es un recurrimiento de
12:55altura 3 y agregarle lo que le falta esa
12:58esquinita que le falta ahí, ¿no es
12:59cierto? Pero ese ese es ese es un
13:01trocito uno por uno. Es de uno por uno,
13:04no es un dominó completo, es medio
13:05dominó. No, no, pero el de arriba es es
13:09un domino completo.
13:12¿A cuál te refieres? ¿A cuál de arriba?
13:15al cubito que sacó para que fuera un
13:16recobrimiento de altura tres.
13:20Ahí donde tiene el puntero.
13:21Sí, sí, claro. Tú dices,
13:26tú esto,
13:28yo esa esquina, este,
13:31claro, si le saco esa esquina, lo que
13:32está arriba de esa esquina es un domino
13:35que tiene que tener altura dos y puede
13:39ser como ese dominó más el cuadrado que
13:41está al lado, que sería un recobrimiento
13:43de altura tres.
13:46Ya, mira, no sé si entiendo exactamente
13:47lo que quieres decir, pero hay una
13:48manera fácil de de demostrar que eso no
13:51funciona. Aunque yo no entienda lo que
13:53estás diciendo, igual no funciona. ¿Por
13:54qué? Por un tema [risas]
13:56por un tema de área, ¿no es cierto? Un
13:58tema de área. El área verde aquí eh es
14:02eh es 3 multiplicado por el ancho que
14:05sea más 1, ¿no es cierto? Este que tiene
14:09aquí, esto es 3 por algo. Ese y le
14:12agregas eso. Entonces 3 por algo más y y
14:16no es múltiplo de tres. Tiene que ser
14:18múltiplo de de tres para que sea válido.
14:21Ah. No, pero no te preocupes, ya vamos a
14:23ver cómo vamos a resolver este problema.
14:24No, no es insoluble. Ah, pero lo que
14:27quiero decir es que si si por ejemplo si
14:30yo tomo aquí esto y le quito esta L de
14:34abajo, lo que queda pintado de verde
14:36hacia la derecha no es un rectángulo. No
14:40es un rectángulo, es un rectángulo el
14:41que le falta la esquina inferior
14:42izquierda. Ah, entonces eh hay que
14:45describirlo, no es que no se pueda
14:47describir, pero no se puede describir
14:48simplemente como un rectángulo. En
14:50cambio, las los recubrimiento de tipo U
14:52son rectángulos puros y simples, no le
14:56falta ni le sobra nada. Ya, por eso es
14:59que yo puedo escribir el eh esto lo
15:03puedo escribir así, porque aquí es
15:04cierto. Si yo en en el rectángulo quito
15:08estos tres este estos tres de aquí, lo
15:11que queda ahí para adelante es un
15:12rectángulo, por lo tanto es descrito por
15:14los recurrientes de tipo U, pero en este
15:17caso lo que queda hacia la derecha no es
15:18un rectángulo, es un rectángulo con un
15:21con una saliente allí arriba de de
15:22tamaño uno, de uno por uno. Ya, pero eh
15:26pero no se preocupen
15:28lo que ¿qué es lo que uno hace cuando se
15:29encuentra con algo desconocido? Bueno,
15:31le pone un nombre y lo
15:34y lo estudia por separado. Es lo que
15:36vamos a hacer. Ya. Entonces,
15:39ah,
15:44a esto que está aquí, vamos a decir que
15:47es un recubrimiento de tipo B corta.
15:51Ah, pero esto trata de ayudarme y
15:56ya y sería
16:01lo podemos meter aquí en una cajita para
16:04que sea es un la letra B corta va a ser
16:08la clase de todos aquellos
16:09recubrimientos
16:11que tienen forma de rectángulo, pero le
16:13falta la esquina inferior izquierda. Ya.
16:16Y
16:23por simetría están los recubrimientos
16:26que comienzan con un dominó vertical
16:29aquí abajo y encima hay uno montado ahí
16:32de tal forma que lo que queda ahí tiene
16:33forma como una gama, ¿no es cierto?
16:38Y y
16:40este lo que continúa hacia la derecha se
16:42parece mucho al B, pero está patas
16:44arriba. Ah, así que llamémoslo
16:46así. Okay, eso sería una en griego una
16:51lambda mayúscula. Ah, y ese los pintamos
16:54de este color como lila, ¿no? A ver si
16:58tengo eso aquí en mi paleta.
17:03Parece que no. Escucha. Ya. Pongámoslo
17:05azul.
17:12Ya. Okay. Entonces, esta descripción
17:16todavía no está completa porque me
17:19aparecieron nuevas incógnitas. Entonces,
17:20tengo que decir ya. ¿Y cómo es un
17:22recubrimiento de tipo B corta?
17:25Necesito una ecuación que me describa
17:26los recubrimientos de tipo P corta. Ya.
17:29Eh,
17:32los recubrimientos de tipo B corta,
17:34fíjense, eh,
17:40aquí ya. Eh, mire, aquí tengo uno que
17:44comenzó como una L y al tiro se cerró.
17:48Ya, pero aquí tengo uno que empezó con
17:50una L y no se cerró el tiro. Se hubo dos
17:52así
17:54y este que está cuando yo pongo esos dos
17:56allí arriba, estoy obligado a poner este
17:57aquí abajo
17:59y eso lo y ese pattern lo puedo repetir,
18:02¿no es cierto? Ahí está en el simátrico,
18:04está repetido más veces. Y finalmente
18:06para terminar tengo que poner lo que le
18:08falta, un vertical. Ya, en el caso de
18:11aquí el vertical que cierra apareció al
18:13tiro. Acá se demoró un poco porque entre
18:16medio hubo uno de estos tríos ya
18:19que podría haber aparecido varias veces,
18:22pero finalmente se cerró. Entonces este
18:26recubrimiento de tipo B corta,
18:29yo tengo
18:31eh dos opciones, ¿no? Si comienza
18:36con este
18:41grupo de tres dominó así, ¿no es cierto?
18:44En que el de abajo está corrido, está
18:46desplazado en uno, ¿no es cierto?
18:48Lo que viene de ahí hacia la derecha es
18:51otro recubrimiento de tipo B corta,
18:55¿ya?
18:59Porque se se reprodujo la situación
19:01original.
19:04Y la otra alternativa
19:08es que eh si que aparezca al tiro un un
19:14dominó vertical,
19:17ya ese dominó vertical
19:21eh
19:24coloca lo que le faltaba aquí.
19:28coloca lo que le faltaba a este para
19:32completarse como rectángulo. Entonces,
19:33lo que queda de ahí para la derecha es
19:36un verdadero rectángulo, es un
19:38recurriento de tipo U.
19:40Y lo escribo así. Ya noten que que
19:43intencionalmente puse el vertical como
19:46corrido para arriba respecto al U. Ah,
19:48porque está rellenando la parte superior
19:50que le faltaba al al recubrimiento que
19:53venía desde la izquierda y
19:56eso.
19:58¿Y cómo es un recubrimiento de tipo
19:59lambda mayúscula? Es como ese que es de
20:02color lila ya en el dibujo. Eh, lo
20:05mismo, puede comenzar con un grupo de
20:09tres
20:11de esa forma.
20:13Y si es así, lo que sigue a la derecha
20:15tiene que ser un recubrimiento de tipo
20:17lambda,
20:19pero también se puede cerrar colocando
20:22un dominó vertical que faltaba abajo y
20:26lo que queda hacia la derecha es un
20:28recorrimiento de tipo U. Ya. Y
20:31nuevamente, fíjese que puse el el dominó
20:35bien corrido para abajo respecto al
20:36lupa, que se note que lo estoy poniendo
20:37en la parte de abajo y no en la parte
20:39superior del
20:41del rectángulo, ¿ya? Y aquí tengo
20:45tres
20:47ecuaciones
20:48y tres incógnitas que puedo que puedo
20:51encontrar, ¿no? Las incógnitas son u, v
20:54y lambda mayúscula.
20:57Y tengo estas tres ecuaciones que
21:00que no son difíciles de resolver. Ah.
21:03Eh, veamos la primera. Tomemos esta de
21:07aquí.
21:10Eh, yo puedo pasar el
21:14restando el término de la derecha y va a
21:16quedar así. 1 menos
21:34va a implicar que B
21:37es 1 parido por 1 menos.
21:49Ya.
21:51Y a partir de esta otra,
21:54por simetría, tenemos lo mismo.
21:57Vamos a tener uno menos, solo que aquí
21:59estos dos están corrido hacia abajo y
22:02ese í arriba.
22:27Entonces ahora yo puedo reemplazar en la
22:29primera ecuación.
22:31Me va a quedar que u es un recurento
22:34vacío. 1
22:37más
22:39tres horizontales U
22:42más
22:45una Lido
22:50de 1/ido por 1-
22:58y seguido de
23:01U.
23:04Y por otro lado aquí
23:06una gama mayúscula.
23:19Ya.
23:21Y
23:23y aquí los términos que tienen u los
23:25puedo pasar restando hacia la izquierda
23:29y luego todo eso que queda multiplicando
23:31al uo dividiendo. Y lo que me queda como
23:34resultado final
23:37es que u es igual a 1 partido por
23:471 menos
23:52tres dominos horizontales
23:54más una L.
24:27es.
24:28Y aquí tenemos nuestra solución
24:34para la descripción de la clase de todos
24:38los recubrimientos
24:40de altura 3. Ya. Ahora, esa fórmula
24:44parece
24:47eh
24:49absolutamente
24:50incomprensible.
24:52A veces cuando hacíamos clases en
24:55presenciales de este curso mucho antes
24:58de la pandemia, eh
25:01a veces terminaba yo mi clase con esta
25:03fórmula, ah intencionalmente la dejaba
25:06en la pizarra escrita para ver para
25:10imaginar qué pensará el profesor que le
25:12toca hacer clase ahí en la siguiente
25:14hora. Si veía eso escrito en la pizarra,
25:17¿ya? Eh, bueno, pero entre paréntesis
25:21esta fórmula
25:29es intuitivamente
25:32o puede argumentarse que es
25:34intuitivamente
25:36obvia, aunque ustedes no lo crean.
25:40Si recordamos
25:46que
25:481 parido por 1 menos algo es lo mismo
25:51que decir algo estrella.
25:55Ya. ¿Por qué? Porque eh
26:00si yo
26:02vuelvo a mi ejemplo,
26:06la forma como yo puedo describir esto
26:10puede ser la siguiente.
26:12Esta este recubrimiento que yo lo puedo
26:15leer de izquierda a derecha, ¿ya?
26:18Es eh una secuencia de recubrimientos de
26:23cada uno de los colores que yo puse,
26:24¿ya? se hay recubrimientos verdes, hay
26:27recubrimientos naranjos, hay
26:28recubrimientos lilas aquí, ya que eh lo
26:33que tienen común ellos es que son todos
26:36indivisibles, en el sentido que yo no
26:38puedo tirar una línea vertical por el
26:41medio de ninguno de ellos sin romper
26:44dominoso. Ya, por ejemplo, estos tres
26:48que están horizontales aquí, no puedo
26:50tirar un cortar por el medio porque
26:52estaría rompiendo estos dominos, ¿no es
26:54cierto?
26:56Acá tampoco porque estaría rompiendo el
26:58de abajo. En esta acá tampoco ningún
27:01punto. Ni aquí porque rompo el debajo,
27:04ni acá porque rompo los dos de arriba,
27:06ni aquí porque rompo el de abajo.
27:08Solamente puede solo puedo ver los
27:09extremos, ¿no es cierto? En el extremo
27:11izquierdo puedo cortar, en extremo
27:13derecho puedo cortar, pero eh no por el
27:16medio. Lo mismo acá en cualquier parte
27:18de aquí hay dominós que están
27:20obstaculizando de modo que yo no pueda
27:21cortar por el medio solamente en los
27:23extremos.
27:25Eso lo que podemos llamar, podemos
27:27llamar a esos e [resoplido] un
27:29recubrimiento indivisible, atómico. ¿Ya?
27:32Entonces eh entonces un
27:38recubrimiento cambi color mejor.
27:50Un recubrimiento de altura 3
27:59se puede describir
28:08como una secuencia
28:13de recubrimientos.
28:22perdón,
28:25atómico,
28:29¿ya? O sea, indivisible,
28:36¿ya? Que son los que están pintados de
28:38colores más arriba. Entonces, lo que yo
28:41puedo escribir es que u
28:44es igual
28:46a una secuencia
28:48de cero o más recubrimientos atómicos.
28:51Cero o más, ¿no es cierto? Cuando son
28:52cero es el recubrimiento vacío. Si hay
28:55uno eh o más, bueno, habrá que describir
29:00cómo es cada uno de los que se repiten,
29:02¿no es cierto? Y hay tres tipos de
29:05recubrimientos que se pueden repetir,
29:07¿ya? Uno es este.
29:13Eso es una posibilidad, ¿no es cierto? Y
29:15son disjuntas. Además, no se intersectan
29:17uno con el otro.
29:19de los los que se repiten pueden ser ese
29:21es una posibilidad,
29:23otro puede ser
29:26algo que comienza por una L y si
29:29comienza por una L a continuación puede
29:31venir esto.
29:36Ahora, eso podría no venir y al tiro
29:39cerrar con un con un con esto, ¿no es
29:41cierto? podría no venir lo que está al
29:42medio o podría eh venir una vez
29:47o dos veces o la cantidad de veces que
29:48yo quiera, pero siempre cerrando con un
29:50vertical. Por lo tanto, esto es
29:52estrella. Ese que está ahí adentro es el
29:55que está al medio, es estrella. Se
29:56repite cero más veces. Ya. Y luego el
29:59simétrico, una gama.
30:04Ya. Luego
30:07esto que se puede repetir cero o más
30:10veces todo ese el grupo completo, ¿ya? Y
30:14cerrando con un
30:17dominio vertical que rellene la parte
30:19que le falta abajo.
30:21Y
30:23ah, por suerte nos quedaron las dos
30:24cosas en la misma página.
30:30Que esto sea estrella.
30:32Por eso es que esto es de la forma 1
30:34parido por 1 menos, ¿ya?
30:37Y ahora tengo que describir lo que va
30:40aquí y es lo que pongo aquí adentro. ¿Y
30:42qué es lo que va aquí? Puede ser ese
30:45grupo de tres que está aquí o bien puede
30:48ser eso, pero esto que está aquí al
30:51medio es ese grupo de tres asteriscos,
30:54¿no es cierto? Por eso lo escribo así. Y
30:57este que está acá, este, este grupo de
30:59tres asterisco, por eso que lo escribió
31:00así.
31:01Y descrito de esa manera es intuitivo
31:05porque lo que se repiten, los grupos
31:07indivisibles que se repiten son pueden
31:09ser ese que es obvio que un grupo
31:12indivisible, pueden ser ese que y al
31:15medio se repite en cero más veces esto y
31:17mientras yo esté repitiendo esto no
31:19puedo dividir aquí es indivisible porque
31:21rompería ya sea los de aquí o el de acá,
31:24¿ya?
31:25eh y tiene que cerrarse con el dominó
31:28que le falta ahí. Y con eso terminamos
31:31de describir ese grupo indivisible. Y
31:34este otro grupo indivisible es lo mismo,
31:36pero patas arriba, o sea, es el
31:37simétrico, ¿ya? Así que espero que
31:40ustedes a esta altura ya estén
31:42dispuestos a creerme h que esta, perdón,
31:50aquí mejor que esta descripción está
31:53correcta y que coincide con lo que
31:55tenemos allá. Hm.
31:59¿Cómo vamos hasta aquí? [grito ahogado]
32:02Ya esta última expresión regular, esta
32:05última expresión regular. Ya, espero que
32:07ustedes estén de acuerdo conmigo, que
32:08describe correctamente a todos los
32:11recubrimientos como el que está pintado
32:13de colores ahí, ¿no es cierto? Ya.
32:15Entonces, ahora,
32:17como decían los profesores viejos, el
32:20resto es álgebra. Eh, entonces, ¿qué es
32:24lo que queremos hacer? Finalmente,
32:26queremos poder llegar a decir cuántos
32:29recubrimientos
32:31hay distintos de altura tres, ¿no es
32:33cierto? Pero vamos a ir aproximándonos a
32:36esa a eso eh de la misma manera que lo
32:38hicimos con los recubrimientos de altura
32:41dos. Vamos a partir suponiendo que la
32:44multiplicación es conmutativa,
32:46¿ya? De modo que da lo mismo en qué
32:49lugar estén los dominos dentro del
32:52recubrimiento. Lo que importa es cuántos
32:54dominos hay. Ya, pero todavía vamos a
32:56estar distinguiendo entre dominos
32:58verticales y horizontales. Los cuento
33:00por separado. Ya. Entonces,
33:09supongamos
33:14que la multiplicación es conmutativa.
33:19Este caso esta multiplicación es una
33:21concatenación, ¿no es cierto?
33:24colocar una cosa al lado de la otra,
33:29pero al ser conmutativa ya da lo mismo
33:31dónde están los dominos, solo importa
33:32cuántos son. Eh, entonces con eso esta
33:36fórmula U que tenemos allí arriba, eh,
33:40va va a quedar, ¿cómo? Va a quedar de la
33:44forma 1
33:47dividido por 1 menos, ¿no es cierto?
33:51Ya. Y aquí tengo tres dominos
33:53horizontales. Bueno, eso
33:58es un horizontal al cubo.
34:01Ya. Pues ya no importa en qué posición
34:02están, solo que son tres. Así que es al
34:06cubo. Y este de acá
34:11va a ser eh
34:16¿cuántos verticales hay? Hay dos.
34:18Entonces es
34:21eh vertical al cuadrado y un horizontal
34:25y acá va a ser 1 parido por 1 menos
34:27horizontal al cubo, ¿no es cierto?
34:30Entonces es vertical al cuadrado y
34:32horizontal elevado a 1.
34:35Y este otro de acá da lo mismo, da lo
34:38mismo que este otro porque al ser
34:39conutativa ya no importa que esto sea
34:41una gama y esto una R. Cada uno de ellos
34:43está aportando uno horizontal y un
34:44vertical y lo mismo acá, lo mismo acá.
34:47Así que esto genera lo mismo que este
34:49otro por entonces dos veces eso. Ah,
34:52entonces va a ser más
34:55dos veces
34:59eh vertical al cuadrado
35:02horizontal elevado a 1 y dividido por 1
35:07menos horizontal al cubo.
35:13Ahí tengo esta fórmula.
35:18Ya. Y esto va a ser uno.
35:40Ya. Y aquí me va a convenir sacar hacia
35:43afuera un factor 1 dividido por 1 menos
35:46horizontal al cubo.
35:50Entonces, sacar fuera ese factor
35:53va a quedar 1 parido por 1 men
35:592
36:01vertical al cuadrado horizontal y acá va
36:04a quedar
36:061 menos horizontal al cubo
36:11al cuadrado.
36:13O sea, que eso fue por fuera, ¿cierto?
36:16Ahora,
36:18eh,
36:20¿para qué hice eso? Para que esto de
36:23aquí quedara en la forma 1 parido por 1
36:26menos,
36:28porque 1 partido por 1 menos algo, yo sé
36:30expandirlo. Es la sumatoria de ser algo
36:32para acá para acá mayor o igual que er,
36:34¿no es cierto? Entonces,
36:38ehamos,
36:43recordemos que 1/-
36:47es la sumatoria para k mayor o igual que
36:500 de un de x a la k.
36:53Entonces esto va a quedar 1/ido por 1
36:57men horizontal al cubo
37:01por la sumatoria para acá mayor o igual
37:03que er. ¿Por qué estoy haciendo esto?
37:05Entre paréntesis estoy tratando de
37:06expandir en serie todo. Porque una vez
37:08que tenga expandido todo en serie, ahí
37:10puedo mirar a los exponentes en las
37:12potencias y luego veo qué factor, qué
37:16coeficiente está multiplicando eso y el
37:18lo que está multiplicando es el número
37:19de manera. Ah,
37:23entonces esto va a quedar sumatorio para
37:26acá igual que cer de
37:31esto a la K. ¿Ya? O sea, va a ser 2 a la
37:35K, vertical a la 2K,
37:39horizontal a la K y esto es 1 men
37:42horizontal al cubo elevado a 2K, ¿ya?
37:46Así es que escribámoslo.
37:49Entonces va a ser 2 a la 2K,
37:52perdón, 2 a la K,
37:55vertical a la 2K,
37:59horizontal a la K
38:02y esto va a ser 1 menos horizontal al
38:06cubo
38:08a la 2K.
38:11Todo se eleva la K.
38:13Y ahora
38:16voy ese factor que tengo afuera lo voy a
38:17meter adentro.
38:20Sumatoria para acá mayor o igual que 0
38:23de 2 a la K.
38:28vertical a la 2K,
38:32eh horizontal a la K
38:37y 1 menos horizontal al cubo
38:43a la 2K + 1.
38:45¿Ya?
38:48Y ahora
38:50uso otra fórmula que que tengo, que es
38:53que eh uno
38:58que me chocó
39:001 div por 1 - x a la alfa + 1
39:06se expande como la sumatoria para k
39:09mayor o igual que 0 de eh alfa. Bueno,
39:15puede poner otra variable.
39:17para que no se me confunda con la K que
39:20ya la estoy usando. La variable puede
39:21cualquier nombre, así que eh
39:25J digamos mayor o igual que 0 de eh alfa
39:30j por x a la j. Ya esa fórmula también
39:35la la tenemos.
39:38Es la expansión
39:40eh es la función geratriz de los
39:42coeficientes binomiales simétricos.
39:46Y lo que tengo acá
39:48es exactamente de de esa forma con alfa
39:52= a 2K. Así que este denominador de aquí
39:54lo puedo expandir así.
39:56Ya. Y al expandirlo así,
40:06que cambi de variable
40:09me conviene cambiar de variable o no
40:12parce que no está lo mismo. Ya sigamos
40:14con J.
40:16Entonces, volviendo al color negro, aquí
40:19para ver esto me va a quedar, perdón, no
40:21era la idea.
40:24Creo que quise decir ya ahí. Eh, va a
40:28quedar como la
40:32sumatoria
40:34para acá mayor o igual que 0 de 2 a la
40:37k, vertical a la 2K,
40:41horizontal a la K, ¿no es cierto? Todo
40:43lo que teníamos ahí. Y ahora la
40:45expansión del denominador,
40:47que va a ser la sumatoria
40:49para j mayor o igual que 0
40:53de
40:542 eh alfa com j, pero alfa es 2k,
40:57entonces 2k j
41:00ya
41:03por eh x a la j, pero x es el horizontal
41:07al cubo, entonces va a ser horizontal a
41:10la 3J.
41:14Ya. Y si ahora esto yo lo escribo como
41:17una doble sumatoria
41:19sobre todo k y j mayor o igual que 0,
41:24me va a quedar
41:262 a la k
41:29eh 2k j
41:35ya por vertical
41:39a la cuánto a la 2k
41:44y horizon Tontal elevado a cuánto,
41:483
41:49K + 3J.
41:53¿Ya?
41:55Y fíjense lo que tenemos
41:59aquí. Tengo este exponente y este
42:01exponente y este coeficiente.
42:05Ya. Si junto estas tres cosas, yo lo
42:07puedo leer de la siguiente manera.
42:13Yo puedo decir que el número
42:18número de maneras
42:22de recubrir un rectángulo,
42:28un rectángulo
42:32de altura
42:36de altura
42:40tres.
42:42usando
42:442K
42:47verticales
42:51y
42:53k + 3J
42:57horizontales
43:01es 2 a la k * 2k j.
43:08ese resultado que hemos encontrado. Ya.
43:11Ahora, ¿por qué el número de verticales?
43:14¿Por qué el número de horizontales tiene
43:16esta forma tan extraña? Ah, porque yo
43:18podría haber dicho mejor, "Conta el
43:20número de manera recubrir un rectángulo
43:22de altura 3 usando,
43:24qué sé yo, eh, P verticales y Q
43:29horizontales, ¿cierto?"
43:32Bueno, tiene esa forma tan extraña
43:34porque no todas las combinaciones de PQ
43:37funcionan. Ya tienen que tienen que
43:41cuadrar
43:43y porque entre todas tienen que cubrir
43:45un espacio, un área que tenga que ser
43:48múltiplo de tres.
43:50Ya. Eh, perdón,
43:54e el área tiene que ser múltiplo de
43:56tres,
43:58¿cierto? porque es de tres por algo,
44:00pero además tiene que ser múltiplo de
44:02dos porque los dominó, cada dominó cubre
44:06un espacio de área dos
44:09y tiene que haber un número entero de
44:10dominos, ¿no es cierto? Entonces ti al
44:12mismo tiempo múltiplo de tres y múltiplo
44:14de dos y por eso es que finalmente salen
44:17sale esa esa forma. Ya, así es que eso
44:22ahora todavía no hemos terminado. Ah,
44:28tenemos este resultado. Si a mí me
44:30dicen, ya me dan un número que calce ah
44:34de dominos verticales y horizontales y
44:36me dice de cuántas maneras se puede
44:38recubrir, aquí tengo la solución. 2 a la
44:40K por 2K J.
44:43E
44:46ahora, ¿por qué es eso? ¿Alguien
44:50tiene alguna explicación intuitiva de
44:52por qué es así?
44:56A ver.
44:59Uh,
45:07yo creo que se los voy a tener que dejar
45:09de ejercicio. Piensen si ustedes
45:11tuvieran que explicar intuitivamente por
45:13qué, porque la fórmula final es simple,
45:15es 2 a la k por 2KJ. Ya, ¿de dónde salen
45:18los dos a la K? Cuando uno puede tener
45:20dos opciones en cada oportunidad, ¿no es
45:21cierto? Ya. Y eso eh probablemente viene
45:27de que eh son simétricos lo que sería el
45:31B corta y el y el y el lambda,
45:35así que y el 2KJ, ¿qué significa 2KJ? Es
45:39de cuántas maneras se pueden intercalar
45:412K objetos con J objetos,
45:44¿ya?
45:45Eh, o si yo tengo un espacio de ancho 2K
45:49+ J, de cuántas maneras puedo
45:51seleccionar J de ellos e o de cuántas
45:53maneras puedo seleccionar 2K de ellos,
45:56que probablemente tiene que ver con
45:57dónde yo coloco estas estos e estas ve
46:02cortas o estas lambdas dentro del
46:04recubrimiento. Así que ya dejo que
46:06ustedes traten de encontrar una
46:07explicación intuitiva para esto y capaz
46:09que lo logren y se habría ahorrado toda
46:12esta álgebra si es que hubiera podido
46:13argumentar desde principio. Así es
46:14superfácil. Ah, ya. Así que se los de
46:16ustedes. Pero nosotros seguimos
46:19avanzando. Y el siguiente paso, si
46:21ustedes se acuerdan, es decir, ya. Okay.
46:24Ahora no me interesa distinguir si el
46:26dominó es vertical o horizontal, solo me
46:29interesa que ahí hay un dominó. Ya.
46:32Entonces, para poder después decir,
46:34responder a la pregunta, ¿cuántas
46:36maneras se puede recubrir esto usando
46:38una cierta cantidad de dominó?
46:40Y a mí me entregan los dominos contados,
46:43¿ya? Y yo decido si los pongo
46:45horizontales verticales, pero el número
46:46de dominos con eso no cambia, son
46:48simplemente dominos. ¿Ya? Entonces, eh
46:52el el ese paso era decir, supongamos
47:00que no nos interesa
47:04distinguir
47:10entre
47:11vertical y horizontal para fines de de
47:16contabilidad. Ah, entonces ahí lo que yo
47:19hago es que el vertical lo sustituyo por
47:22Z y el horizontal también lo sustituyo
47:26por Z. Y ahora son indistinguibles y
47:29entonces la la ecuación queda cómo queda
47:32u igual
47:34ya eh
47:39tomemos como
47:42como esta de aquí.
47:46va a quedar 1 di 1 - z³
47:51- 2 z cubo allí arriba y aquí abajo 1 -
47:56z 1- z c. Claro, ya queda así, ya que
48:03ahora no estoy distinguiendo entre un
48:05tipo de domino y el otro.
48:07va a quedar eh 1 div por
48:131 - z³
48:17- 2 z³
48:22* 1 - z³.
48:31Eh, ya.
48:34¿Por qué aparecen puros Z cuos?
48:38Z es Z me numera el
48:42número de dominos que yo dispongo. El
48:43exponente del Z me dice cuántos dominos
48:45tengo.
48:47Ya. Eh, pero si yo expando esta serie,
48:51solamente los que tengan exponentes que
48:53son múltiplos de tres van a aparecer en
48:55la serie. Los otros van a ser cero, no
48:58van a tener, o sea, solo son factibles
49:00los que tienen exponentes múltiplos de
49:02tres. Ya. Eh,
49:06eso tiene que ver con lo que habíamos
49:07dicho antes, ¿no es cierto? Que el
49:11número de dominos tiene que ser múltiplo
49:13de tres y múltiplo de dos. En
49:15definitiva, múltiplo de seis. ¿Ya? Y
49:19¿Por qué entonces son los de tres en
49:21tres lo que parecen y no de y no de seis
49:24en seis? Porque cuando aparece un z
49:27algo, ese número, eso significa que hay
49:30un dominó ahí, pero implícitamente eso
49:33cubre un espacio ancho dos porque un
49:35dominó tiene área dos. Ah, así que el
49:37número de dominúltiplo de tres. El área
49:40mismo va a ser múltiplo de 6, ¿ya? Así
49:43que por eso es que aparece Z cu c. Tiene
49:44que aparecer Z cu. Entonces, para
49:46simplificar nuestra fórmula, hagamos
49:52y = z³,
50:00entonces u
50:03queda 1 dividido por
50:071
50:08- y
50:10- 2y/
50:12por 1 - y
50:15ya.
50:16Y si multiplico todo por 1 - y va a
50:18quedar 1 - y
50:21eh
50:24dividido por 1 - y
50:27al multiplico arriba y abajo por 1- y.
50:30Entonces va a quedar bajo 1- y cuadrado
50:33- 2y. Ya. Entonces haciendo mentalmente
50:38la el álgebra queda 1 - 4y
50:43+ y cuad.
50:46Okay. Y esto hay que expandirlo en
50:48fracciones parciales.
51:04Ya nos vamos a saltar eso para no
51:07demorarnos tanto y además no tener la
51:09oportunidad de equivocarnos.
51:11Al expandir en fracciones parciales,
51:12esto queda así. U es 1/ 3 -√3
51:19* 1 * 1 - 2 +√3
51:27y
51:29+ 1/
51:313 +√3
51:34* 1 parido por 1 - 2 -√3
51:41y. La diferencia entre un término y el
51:43otro es que el
51:45el raíz de3 cambia de signo en todas las
51:47partes donde aparece. ¿Ya? Bueno, y
51:50ahora
51:53recordemos
52:021/ido por 1 - x. Ya lo hemos dicho en
52:04esta misma clase, es sumatoria de x a la
52:07k para k mayor o igual que 0, ¿no es
52:09cierto? y 1/ido por 1 - lambda x sería
52:16sumatoria de lambda a la k x a la k para
52:21acá mayor o igual que 0. Entonces u se
52:25puede expandir así.
52:27U es igual a la sumatoria
52:31para acá mayor o igual que 0
52:34de
52:361
52:38partido por 3 -√3
52:44* 2 +√3
52:47a la k
52:49+ 1/ 3 +√3
52:542 -√3 3 a la K y todo multiplicado por y
53:00a la K.
53:05¿Okay? ¿Y cómo interpretamos esto?
53:13Este
53:15es el coeficiente que multiplica al y a
53:19la A k. Por lo tanto, es el número de
53:21maneras de recubrir un un rectángulo de
53:26altura tres
53:29usando dominóos. Ahora, ¿cuántos
53:31dominóos? Este y a la K es lo mismo que
53:35z a la 3K, ¿cierto? Porque y es Z³. Dice
53:40que el número de dominos está lo leemos
53:42ahí. El número de dominos lo leemos en
53:45el exponente.
53:46El número de dominos es 3K y el número
53:49de maneras es lo que tengo encerrado en
53:51el valor grande. Ahí. Entonces, esto de
53:55aquí es igual al número de maneras
54:02de recubrir
54:07un rectángulo
54:12de altura 3
54:17usando
54:193K dominos.
54:33Okay,
54:35ya. Ahora estamos aquí tenemos la
54:38respuesta. Ahora, la pregunta que
54:40habíamos hecho al principio era un
54:42poquito distinta. ¿Cuál era la pregunta?
54:44Nosotros habíamos dicho de cuántas
54:47maneras se podía recubrir un rectángulo
54:52de altura 3
54:57y ancho N, ¿no es cierto?
55:01Eh,
55:04entonces, ¿qué relación hay entre el K o
55:08los 3K dominó con el N, que es el ancho
55:11del rectángulo? Está. Eh, lo que vamos a
55:14aquí, lo que podemos hacer es comparar
55:16áreas.
55:19Comparando áreas.
55:22Ya, el área de ese rectángulo es 3n, ¿no
55:25es cierto? Pero por otro lado, si yo
55:28estoy usando
55:30eh 3K dominó, como cada uno de ellos
55:34tiene área dos, el área es 6K.
55:41Okay. Y eso implica que n es igual a 2K.
55:50Así es que
55:52el
55:58esa es la relación que hay entre el K
55:59que que yo tengo allá en mi expansión en
56:02serie y el N, que es lo que me estaban
56:05como como dato del problema al origen.
56:08Si ahora yo quiero eh expresar mi
56:12solución en términos de de n, okay, eh
56:17tengo que sustituir K por n medios.
56:23Okay. Entonces,
56:31eh sustituyendo
56:38k = n med
56:41ya. Eh,
56:45me quedaría que eso
56:48uno pone k igual n medios en la fórmula.
56:50No lo voy a hacer para no repetir tanto,
56:52¿ya? Pero eh es igual entonces al número
56:56de maneras
57:01de recubrir
57:05un rectángulo
57:10usando
57:12como K en medios 3K dominó serían 3/ N.
57:26A ver, eh, Dominos,
57:34eh,
57:40eh, ya, pero mm
57:46a ver, está bien eso, ¿eh? Acá
57:52en realidad eh
57:54ya en realidad eso es cierto, pero no es
57:56lo que yo quería decir. Lo que quería
57:57decir era que esta
58:02esta lo que tengo encerrado ahí, lo que
58:05hay que hacer sustituir K igual n medios
58:09aquí
58:13n medios n medos, pero ese n medios
58:17tiene que ser entero,
58:19¿ya? Por lo tanto, eh no no cualquier N
58:25va a satisfacer eso. Y lo mismo el
58:28número de dominós también tiene que ser
58:31entero, por lo tanto, eh n
58:35par para que eh esto pueda funcionar. A
58:40ver, está bien. Claro, n tiene que ser
58:44par. Si n es impar, eh no es factible.
58:48¿Se fijan? Eh, por ejemplo, bueno, el
58:53cero es para si es que eh un una
58:55recubrimiento vacío es factible. Si
58:58fuera un recubrimiento de ancho uno, ya,
59:01eso no es factible.
59:03Yo no puedo cubrir eso con dominó, no me
59:05no me cuadra, pero si está hecho dos,
59:07sí, ahí tengo tres horizontales, o bien
59:11vertical, vertical y un horizontal
59:12debajo o bien vertical, vertical y un
59:14horizontal arriba. se hace de hecho, de
59:16hecho dos, sí, de hecho tres no es
59:18factible así solo para n pares se es
59:21factible cubrir esto. Y eso viene de que
59:24aquí el número de dominos
59:27tiene que ser un número entero. Ya.
59:31Bueno, dejémoslo hasta ahí. Entonces
59:34está okay.
59:38Esto como les digo, si tienen ganas de
59:42verlo explicado de otra manera o incluso
59:47profundizado un poquito,
59:49ver el libro de Graham Canus y
59:52Batashnick, ya donde está tomado toda
59:55esta parte.
59:58Muy bien, mecanza el tiempo para ver el
1:00:02siguiente
1:00:03problema que bien este es super clásico,
1:00:08problema de dar vuelto.
1:00:14Supongamos que yo eh que a mí me tienen
1:00:17que dar un vuelto en moneda. Ah, y
1:00:20existen diversos tipos de monedas. Eh, y
1:00:25eh hay que ver de cuántas maneras
1:00:27distintas me pueden dar ese vuelto.
1:00:29Entonces, por ejemplo,
1:00:34de cuántas maneras distintas
1:00:46se puede dar,
1:00:51por ejemplo, 100 pesos de vuelto,
1:00:56ya.
1:00:59Bueno, depende de qué tipo de monedas
1:01:00tenemos. Si solo hubiera monedas de 100
1:01:02pes y nada más, sería una manera, ¿no es
1:01:04cierto? Pero si hay de 50, ahí tengo
1:01:06otra manera que es dar dos monedas de
1:01:0850, ¿ya? Y si hay de 10, se vuelve más
1:01:11variada la cosa todavía. Entonces,
1:01:12depende del repertorio de monedas.
1:01:14Supongamos que el repertorio de monedas,
1:01:16esto ya sea
1:01:19suponiendo
1:01:21que el repertorio
1:01:27de de monedas
1:01:32es que hay monedas de un peso. hayan
1:01:36capaz que nunca las hayan conocido, pero
1:01:38para fines de este capítulo supongamos
1:01:40que existen
1:01:42monedas de cinco,
1:01:44monedas de 10,
1:01:46monedas de 50
1:01:50y monedas de 100. Ya,
1:01:54si esto fuera en eh en Estados Unidos,
1:01:58habría que agregar los quarters que son
1:01:59de 25 centavos, ¿no es cierto? Pero creo
1:02:02que los penis ya circulan, ¿no? Cobre
1:02:05que aparecía Lincoln. En fin, pero
1:02:07supongamos a nuestro efecto que estas
1:02:09son las monedas que existen y vamos a
1:02:11suponer que hay una cantidad ilimitada
1:02:14de monedas de cada tipo, ¿no? No es
1:02:16problema que se nos acaben las monedas
1:02:18de algún tipo. Hay una cantidad
1:02:24ilimitada
1:02:28ilimitada de monedas de cada tipo.
1:02:40Entonces,
1:02:42en en mi ejemplo de que yo quiero dar
1:02:44100 pesos devuelto, ¿cómo podría dar 100
1:02:46pesos devuelto? una posibilidad es dar
1:02:47una moneda de 100, ¿no es cierto? Y
1:02:49estoy listo. Esa es una otra manera
1:02:52sería dar dos monedas de 50. Es es otra.
1:02:57Otra posibilidad sería dar una moneda de
1:03:0050
1:03:02y luego varias monedas de 10.
1:03:11por ejemplo, cuatro monedas de 10 y
1:03:14después, por ejemplo, dos monedas de
1:03:16cinco.
1:03:19Y así como esto, hay muchas maneras. De
1:03:21hecho, la pregunta de este problema es,
1:03:22¿cuántas maneras son? Pero son muchas,
1:03:24¿no?
1:03:26Aquí tenemos que eh
1:03:30tomar una decisión respecto de lo que
1:03:32sería una forma canónica de expresar
1:03:33estos estos vueltos. Porque se fijan
1:03:37ustedes que si, por ejemplo, en el
1:03:38tercer caso, yo podría entregado las
1:03:41monedas en otro orden, por ejemplo,
1:03:43partir con las de 5, luego las de 10 y
1:03:45al final la de 50 o más desordenado,
1:03:48pues dos de 10, una de 50, una de cinco,
1:03:52las dos de 10 que faltaban y la de cinco
1:03:53que estaba faltando al final y o
1:03:56cualquiera otra orden en que se me
1:03:58ocurriera. Ya, cuando hay distintos
1:04:01órdenes que yo puedo entregar un mismo
1:04:03vuelto, yo no quiero contar esos otros
1:04:05órdenes como que fueran distintos. O
1:04:08sea, es es el mismo vuelto, ¿no es
1:04:10cierto? Entonces, eh ese tipo e entonces
1:04:15lo que yo voy a definir una manera
1:04:17canónica, una manera estándar de
1:04:19escribir un vuelto, lo voy a escribir en
1:04:21orden decreciente de valor de las
1:04:23monedas. ¿Ya? Entonces,
1:04:27para escribir,
1:04:29para evitar
1:04:31ambigüedades que conducen a que las
1:04:34cosas se puedan contar más de una vez,
1:04:39vamos
1:04:41a definir
1:04:46una manera canónica
1:04:53de escribir un vuelto.
1:05:03que va a ser en orden decreciente
1:05:07decreciente
1:05:11de valor de las de las monedas.
1:05:17De hecho, esos vueltos que yo escribí
1:05:19ahí están escritos en orden canónico.
1:05:22¿Okay?
1:05:24Y eh
1:05:27y lo que puedo observar ahora es que
1:05:30estas monedas que tengo ahí es como que
1:05:32fueran letras de un alfabeto.
1:05:34Ya. Si en vez de decir moneda de 100, yo
1:05:36dijera A y en vez de decir moneda de 50
1:05:39dijera B. Ya. Entonces el primer vuelto
1:05:41es A, el segundo es BB, ¿ya? y así
1:05:45sucesivamente. O sea, en el fondo, dar
1:05:47un vuelto es como escribir una palabra
1:05:49en un eh
1:05:52con un con cierto alfabeto, escribir
1:05:56palabras dentro de un cierto alfabeto,
1:05:58¿okay? Y o sea, es como un problema en
1:06:01lenguaje formal en realidad. Entonces,
1:06:04eh esto de aquí es una que nos va a
1:06:06resultar útil. Esto aquí es lo mismo que
1:06:10escribir
1:06:15palabras
1:06:19eh
1:06:20con
1:06:22el alfabeto
1:06:26de las monedas.
1:06:32Ya.
1:06:34Ahora generic generalicemos nuestro
1:06:36problema. Entonces digamos que nuestro
1:06:38problema
1:06:41es
1:06:42de cuántas maneras distintas
1:06:54se pueden
1:06:56dar.
1:06:59n pesos de vuelto.
1:07:04Okay.
1:07:07En particular, el problema inicialmente
1:07:09planteado es para caso n = 100, pero
1:07:11digamos que es para cualquier N.
1:07:13Bueno, ya lo hemos hecho varias veces,
1:07:15así es que ustedes a esta altura supongo
1:07:16que lo esperan. En lugar de tratar de
1:07:19resolver el problema para un n
1:07:20específico, lo vamos a resolver para
1:07:23todos los nes de una sola vez,
1:07:25describiendo el lenguaje, el conjunto de
1:07:28todos los vueltos posibles,
1:07:30sea cual sea el valor monetario, ¿ya? Y
1:07:34luego vamos a condicionar a que el valor
1:07:35monetario sea n, pero vamos a describir
1:07:38primero todos los vueltos posibles. Ya.
1:07:41Entonces, generalizando,
1:07:49llamemos
1:07:54p corta
1:07:56al
1:07:58Ah,
1:08:02a ver.
1:08:05a la clase,
1:08:08la cual también podemos llamar lenguaje
1:08:15de todos los vueltas posibles,
1:08:27sea cual sea su valor, sea
1:08:32cual sea
1:08:34su valor.
1:08:36Okay.
1:08:38Bueno, ¿cómo yo puedo escribir esta
1:08:41clase B corta? A ver, ¿quién tiene
1:08:43alguna idea?
1:08:45Lo que yo tengo que hacer, quiero una
1:08:47clase que me describa al conjunto
1:08:53una descripción que me para el conjunto
1:08:56de todos los vueltos posibles, no solo
1:08:57los que suman 100 pesos como los que
1:08:59están aquí, sino que todos.
1:09:02Ya, ¿cómo yo puedo escribir un vuelto?
1:09:05Cualquiera.
1:09:08Si ustedes fuera un cajero que tuviera
1:09:10que dar vuelto. ¿Cómo escribieron
1:09:12ustedes
1:09:14todos los vueltos del universo?
1:09:22Comenzando por el vuelto vacío. Si
1:09:23tienen que dar cero pesos de vuelto, no
1:09:25entregan nada y con eso ya cumplieron,
1:09:26¿no es cierto? Es el caso de borde, por
1:09:28así decirlo, dar cero pesos de vuelta.
1:09:31el vuelto vacío. Pero, ¿cómo escriben a
1:09:34todos los vueltos posibles?
1:09:45Como lenguaje. Es simple. si lo piensa
1:09:47como lenguaje.
1:09:50Cuando [resoplido] supongamos que
1:09:53ustedes tienen un alfabeto que tiene las
1:09:55letras A, B, C, D, etcétera, y tienen
1:09:58entonces la A es la moneda de 100, B la
1:10:00moneda de 50, C la moneda de 10 y así
1:10:03sucesivamente hacia abajo y tienen que
1:10:06dar vuelta, o sea, escribir palabras
1:10:09y esas palabras tienen que estar en
1:10:10orden canónico, o sea, las letras tienen
1:10:12que ir siempre del mismo orden. Primero
1:10:13las A, después las B, después la C, ¿ya?
1:10:16Pero respecto al número de veces que
1:10:18puede hacer cada letra es cualquiera,
1:10:21¿no es cierto? Todas opciones están
1:10:23permitidas. Pued haber ceredas de 100,
1:10:25una moneda de 100, dos monedas de 100,
1:10:27tres monedas de 100, ¿no es cierto? Y
1:10:28eso corresponde que la palabra puede
1:10:30empezar por cero letras A, una letra A,
1:10:32dos letras A, la cantidad que quiera,
1:10:34pero cuando se acaban las A, empiezan
1:10:35las B y así. ¿Ese lenguaje, ¿cómo lo
1:10:38podrían describir?
1:10:48Comencemos en orden. Las letras A. Puede
1:10:51haber cero o más letras A. ¿Cómo
1:10:53describimos eso en términos de lenguaje?
1:11:00exaciones regulares.
1:11:08A lo mejor ustedes no han tomado curso
1:11:09de lenguaje, ¿o sí? De ¿Cómo se llama el
1:11:12lenguaje? Este se llama fundamento o
1:11:15algo.
1:11:19Si ustedes tienen que escribir una
1:11:20palabra que consiste de cero o más
1:11:22letras A. ¿Cómo se describe eso?
1:11:28Lo hemos usado en la misma clase hace
1:11:29poco rato.
1:11:34Asterisco.
1:11:35Asterisco. Claro. Si usted comienza por
1:11:38cero o más letras A, eso es asterisco. Y
1:11:41luego continúa con cero o más letras B,
1:11:44eso es be asterisco. Y sigue con cero o
1:11:47más letras C, se asterisco. Y así
1:11:49sucesivamente. Ah, o sea, describir este
1:11:52lenguaje de todos los vueltos posibles
1:11:53es s simple. Quiere decir que
1:11:57hay cero o más monedas de 100,
1:12:02seguida de cer o más monedas de 50,
1:12:06seguido de cero o más monedas de 10,
1:12:10seguido de cero o más monedas de cinco
1:12:13y seguidas de cer o más monedas de uno.
1:12:16Ese el lenguaje,
1:12:18¿ya?
1:12:20Y eso como ya sabemos es 1/o por 1 men
1:12:26eso por 1/*
1:12:371/* 1 men eso*
1:12:411/
1:12:45eso. Okay.
1:12:48Y esto yo lo puedo expandir en serie.
1:12:53Cada uno de estos se expande como la
1:12:55sumatoria de uno partido por la moneda a
1:12:58la K, ¿no es cierto? Para A mayor o
1:12:59igual que cer. Como tengo cinco tipos de
1:13:02distintas monedas, va a ser una
1:13:03quintuple sumatoria
1:13:06sobre I, J K LM.
1:13:12Ya.
1:13:14Y en esta quinta pr sumatoria
1:13:17eh
1:13:20va a
1:13:24va a ser eh
1:13:35claro, va a ser
1:13:38va a ser simple, va a ser moneda de 100
1:13:41a la i
1:13:42por moneda 50 a la J
1:13:47por moneda 10,
1:13:49perdón, no era eso.
1:13:53Por moneda de 10
1:13:55a la K
1:13:58por moneda de C
1:14:01a la L
1:14:03por moneda de uno a la M. Ya, esa es la
1:14:07expansión en serie de de todos esos 1
1:14:10partido por 1 menos. Ya, pero eh
1:14:16aquí nos falta una cosa super importante
1:14:18que es eh
1:14:23cómo yo sé cuánto
1:14:25cómo yo sé cuál es el valor monetario
1:14:27que tiene este vuelto. [carraspeo]
1:14:31Por ejemplo, si yo les digo, mire, mi
1:14:33vuelto consta de
1:14:35eh dos monedas de 100 y una de 50, ¿ya?
1:14:40¿Cuánto es en valor monetario?
1:14:46Dos monedas de 100, una de 50.
1:14:59Vamos. Algunas han tenido monedas en su
1:15:00mano, ¿no? Si tien en su mano dos
1:15:03monedas de y una de 50, ¿cuánto es
1:15:05total?
1:15:07la suma de los valores de las monedas
1:15:08que tengo.
1:15:10Ya, pero digámoslo en términos más
1:15:12matemáticos, si tienen dos monedas de
1:15:15100 y una de 50, ¿cuánto es el total?
1:15:19Sabemos que es 250, ¿no es cierto? Pero,
1:15:21¿cómo lo describen? Es 2 por 100 + 1 por
1:15:2450, ¿no es cierto?
1:15:26O sea, el número de monedas de 100 hay
1:15:28que multiplicarlo
1:15:30e
1:15:32hay que evaluarlo como como 100 veces
1:15:35eso, ¿no es cierto?
1:15:36Por ejemplo, cuando yo tengo aquí, si yo
1:15:38tengo aquí
1:15:40y monedas de 100,
1:15:43el valor monetario que eso tiene es 100
1:15:45por I.
1:15:47Y si tengo J monedas de 50, el valor
1:15:49monetario es 50 por J, ¿no es cierto? Y
1:15:55acá esto aporta 10 por K y esto aporta 5
1:15:59por L y esto aporta 1 por M.
1:16:02Okay.
1:16:04Si yo quiero saber cuánto
1:16:07yo lo que yo querría hacer es algo así
1:16:10como esto,
1:16:13lo que yo querría
1:16:15es de alguna manera poder transformar
1:16:19esto en una sumatoria
1:16:22sobre n mayor o igual que 0 de alguna
1:16:26cosa aquí multiplicando a z a la n.
1:16:30ya que que de la fórmula anterior yo
1:16:34pueda llegar a esta donde n es el valor
1:16:36monetario que aportan todas las monedas
1:16:39que aparecían en la línea anterior.
1:16:42¿Okay? Ahora, ¿cuánto sería el valor
1:16:45monetario que aportan todas estas
1:16:46monedas que aparecen aquí?
1:16:50Aportarían 100* i + 50* j + 10 * k + 5 *
1:16:561* m, ¿no es cierto? Y toda esa suma en
1:16:59los exponentes tiene que ser n.
1:17:02¿Ya? ¿Y cómo consigo eso? Muy simple. La
1:17:06moneda 100 yo la reemplazo por z a la
1:17:08100. Entonces aquí esto va a quedar como
1:17:11z a la 100i.
1:17:13Esta la moneda 50 la reemplazo por z a
1:17:16la 50 y acá z a la 50 j. Entonces va a
1:17:20ser z en todas partes, pero en el
1:17:22exponente va a aparecer sumado el valor
1:17:24monetario que va a ser el n. ¿Ya?
1:17:26Entonces, esto yo lo hago de la
1:17:28siguiente manera.
1:17:30Lo que yo digo es que la moneda, para
1:17:32lograr lo anterior, ya la moneda es 100,
1:17:37yo la reemplazo por Z a la 100.
1:17:41La moneda de 50 la reemplazo por Z a la
1:17:4550. Se fijan. Y así la moneda de 10 la
1:17:49reemplazo por Z a la 10.
1:17:52la moneda de 5 por Z a la 5
1:17:57y la moneda de 1 por Z a la 1, o sea, Z.
1:18:02¿Ya? Y al hacer ese reemplazo aquí
1:18:07va a quedar solo variable Z, pero en el
1:18:09exponente de la Z va a quedar el N, que
1:18:11es lo que suman todos estos, ¿no es
1:18:13cierto? Si yo simplemente hubiera
1:18:15reemplazado cada moneda por Z,
1:18:18el exponente sería I + J + K + L + M.
1:18:20Pero eso no representaría adecuadamente
1:18:22el valor monetario.
1:18:24Para que sea adecuadamente representado,
1:18:27eh, las I monedas de 100 tienen que
1:18:28aportar 100 por i, no i, sino que 100
1:18:30por i. Y eso lo aportan al reemplazar,
1:18:32no por z, sino que por z a la 100. ¿Ya?
1:18:35Y si yo hago eso, entonces el
1:18:39coeficiente,
1:18:41este coeficiente que queda multiplicando
1:18:42ahí, pongamos otro por aquí, ya es el
1:18:46número de maneras
1:18:53de dar
1:18:56pesos n devuelto.
1:19:01Okay. Entonces, eso es el plan.
1:19:05El plan es
1:19:07tomar esta fórmula de aquí,
1:19:12¿ya?
1:19:14y reemplazar la moneda [resoplido] de
1:19:16100* z a la 100, la moneda de 50 por z a
1:19:19la 50, la moneda de 10* z a la 10, la
1:19:22moneda de 5* z a la 5 y la moneda de 1
1:19:24por z a la 1. Entonces lo que queda es
1:19:30corta va a ser igual a 1/
1:19:34z a la 100
1:19:37* 1/
1:19:38z a la 50 * 1/
1:19:42z a la 10 * 1/
1:19:47z a la 5 * 1/ z
1:19:52y luego
1:19:55luego
1:19:57expandir en serie
1:20:03y tomar
1:20:05el coeficiente que multiplica z a la
1:20:08nessa
1:20:09de corte expandida en serie. En
1:20:11particular, el caso n = 100 es el que
1:20:13nos interesa para nuestro ejemplo. Ya.
1:20:16Entonces, estamos a tiempo de cambiarnos
1:20:19de pantalla.
1:20:38A ver,
1:20:40pantalla, ¿sí o no?
1:20:43M, está pegado en algo. Ah, está dando
1:20:45vuelta. Esto no se ve bien.
1:20:53Ya. Oh, lo logró, lo logró. Ya están
1:20:56viendo mi
1:20:58mi hoja de cálculo de
1:21:03de se, ¿no es cierto? Sí.
1:21:06Ya. Entonces, voy a definir la variable
1:21:09Z como una variable formal.
1:21:15Ya. Y luego voy a, como yo es bien
1:21:18repetitivo esto que es 1 parido por z
1:21:21algo que s, voy a definir una función
1:21:24que me ayuda a escribir esto con menos
1:21:26menos esfuerzo. Voy a definir la función
1:21:28fj
1:21:30ya como una función que retorna
1:21:36eh
1:21:381 parido por 1,
1:21:41perdón, paréntesis. 1 - Z a la J.
1:21:49Eh,
1:21:52no, no era ese.
1:21:55Ahí está.
1:21:571 - Z a la J. Okay, eso.
1:22:02Eh, ya listo.
1:22:08Y ahora
1:22:10vamos a definir nuestra B corta. que va
1:22:13a ser 1/ por 1 - z a la 100, que eso es
1:22:17fid
1:22:23por 1 men z a la [resoplido] 50 que es f
1:22:25de 50
1:22:28por f de 10
1:22:30por f de5
1:22:33por f de1.
1:22:36Okay, ya. Y para asegurarnos que esto
1:22:39esté bien,
1:22:44eh, que nos muestre de corta. Ya,
1:22:50ahí está.
1:22:55Y ahora
1:22:57vamos a pedir que este corta le aplique
1:22:59la función Taylor,
1:23:02¿okay? Que tiene parámetros. Primero hay
1:23:06que decirle cuál es la variable que es
1:23:07Z, y después hay que decirle en torno a
1:23:10qué punto se hace la expansión de ser
1:23:11que es el cero. Y después cuántos
1:23:14términos queremos, digamos, 100.
1:23:20Y ahí la tenemos.
1:23:23Aquí está la expansión en serie de
1:23:24Taylor. Y fíjese, el coeficiente que
1:23:27está multiplicando a Z a la 100 es 159.
1:23:31Ya. Por lo tanto, eh hay 159 maneras de
1:23:37dar 100 pesos devuelto usando el
1:23:39repertorio de monedas que hemos que
1:23:42hemos definido. Okay.
1:23:45Entonces volvemos a la que está seguro.
1:24:00Algo lo está demorando.
1:24:02Bueno, si si se demora mucho,
1:24:07si se demora mucho, no es mucho lo que
1:24:09se ha perdido. Eh, lo que estoy tratando
1:24:12de hacer es volver a mi pizarra. Ya. Eh,
1:24:16y para que para indicar que después que
1:24:20usando
1:24:22se
1:24:25tenemos
1:24:28tenemos que
1:24:32hay
1:24:35159
1:24:37maneras.
1:24:39Lo pueden escribir ustedes por su
1:24:40cuenta. Va a estar en el en la pizarra
1:24:42que les voy a subir. Hay 159 maneras de
1:24:45dar
1:24:48100 pesos devuelto.
1:24:54Okay,
1:24:56está pausado. Ah, resume.
1:25:01Por alguna razón decidió pausar esto.
1:25:04Digo stop share.
1:25:06Ya. Y ahora le digo share. parte
1:25:16sigue declarando que está pausado. Bien,
1:25:19a ver, digamos, stop share.
1:25:22Sigue diciendo que está pausado el
1:25:24share.
1:25:27Ya. Eh, ¿qué están viendo ustedes en
1:25:29este momento?
1:25:34Est como la pantalla en negro.
1:25:36Ya, lo mismo que veo yo. E
1:25:42y ya e agaramos un último intento de
1:25:46share de iPhone
1:25:52sigue diciendo que parte pausado.
1:25:59Sigue pausado.
1:26:02Qué mal.
1:26:06A ver si le digo que
1:26:10ya, pero por suerte esto ocurrió cuando
1:26:12faltaba solo una línea en el
1:26:19solo una línea en el
1:26:22en la clase. Ah,
1:26:24ya. Bueno, mis disculpas. Ah, va a estar
1:26:28esa línea que faltaba, que dice que con
1:26:29se tenemos que hay 159 maneras de dar
1:26:31100 pesos devuelto, va a estar en la
1:26:34pizarra que les voy a subir y ahí
1:26:35ustedes lo pueden ver. Ah, mis disculpas
1:26:38por esto. Voy a tener que investigar qué
1:26:40fue lo que pasó. Ah, si yo hagamos un
1:26:44penúltimo intento, si yo trato de volver
1:26:46a la screen de acá de
1:26:50Sage,
1:26:52eso funciona ya. O sea, lo que no está
1:26:54funcionando es compartir con mi iPad
1:26:57para la para la pizarra. A ver, digo,
1:27:03entonces vamos share.
1:27:25Ah, éxito. Ahí está, ahí está el último
1:27:28par de líneas. Ah, con eso estamos justo
1:27:31a la hora para concluir la clase. Espero
1:27:33que les hayan gustado estos ejemplos. Yo
1:27:36yo lo encuentro bien bonito. Ah. Eh, la
1:27:40próxima clase vamos a a
1:27:44ver otro tipo de funciones generatrices
1:27:46que son las funciones generatrices
1:27:47exponenciales
1:27:49y para qué sirven. Listo. Hasta luego.
1:27:53Entonces,
1:27:57profe. Muchas gracias.
1:28:00No.