Full transcript
0:05Buenos días. Buenos días. Bienvenidos de
0:08nuevo.
0:10Eh, vamos a comenzar
0:14el semestre
0:16con este curso de
0:20análisis avanzado de algoritmos.
0:21Entonces, quiero comenzar contándoles de
0:24qué se trata el curso y un poco cuáles
0:26van a ser las reglas que que vamos a
0:28seguir.
0:29E esta es una materia que a mí me gusta
0:35mucho, ha sido eh
0:39un poco la
0:41el tema que ha conducido mi mi
0:44investigación en ciencia y computación a
0:46lo largo de los años.
0:48Eh, y
0:51es algo que ustedes eh en el curso C1 ya
0:55han tenido alguna oportunidad de de
0:57entrar en contacto con esto, que es el
0:59análisis de algoritmos. Básicamente lo
1:02que nosotros queremos es eh dado un
1:05algoritmo, una secuencia de pasos ah
1:08para resolver un problema, poder
1:10estudiar cuánto demora ese algoritmo,
1:12por ejemplo. Ah eh normalmente el
1:15recurso que
1:17más eh nos preocupa es el tiempo.
1:20También es posible que en algunos casos
1:22queramos estudiar otras cosas, por
1:24ejemplo, ¿cuánta memoria utiliza el
1:26algoritmo para funcionar? Ya. Eh, hay
1:31situaciones en que algunos algoritmos se
1:34pueden implementar en en
1:38chips y en ese caso eh la superficie del
1:41chip también es un recurso importante,
1:44el consumo de energía, por supuesto,
1:46también, etcétera. Nuestro foco aquí va
1:48a ser principalmente, como les digo, el
1:50tiempo, cuánto demora. Hm. Y quienes
1:53pasaron por el curso de estructuras de
1:56datos y algoritmos, que me imagino son
1:58todos. Ah eh ya sabrán que ese esa
2:02pregunta de cuánto demora un algoritmo
2:03la podemos resolver con distintos
2:05niveles de detalle. Ah eh
2:09podríamos, por ejemplo, tomar el tiempo
2:12exacto que demora un algoritmo de
2:13comienzo a fin, desde que yo apreto
2:15enter hasta que me da el resultado. Ah
2:17eh ese tipo de detalle en general no no
2:21nos va a interesar ah eh entrar a ese
2:24nivel. Por una parte, porque es muy
2:26complicado, hay que tomar en cuenta todo
2:29lo que influye en eh el tiempo que
2:32demora un algoritmo,
2:34eh
2:36qué computador están usando, ¿no es
2:38cierto? ¿Qué versión del software tiene?
2:41Eh, cuando es un sistema de uso
2:43compartido, cuántos otros procesos o
2:45personas están usando el computador al
2:47mismo tiempo, etcétera, etcétera. Ya.
2:49Así que no vamos a entrar a ese nivel,
2:52nos vamos a abstraer, ¿no es cierto? y
2:54vamos a eh considerar eh parámetros más
2:59fácilmente observables y que de alguna
3:01manera son representativos a lo que
3:02vemos el algoritmo. Por ejemplo, si
3:04fuera un algoritmo de ordenación,
3:06querríamos saber eh cuántos cuántas
3:08comparaciones ejecuta ese algoritmo
3:09cuando está ordenando un conjunto, ¿no
3:12es cierto? O cuántos intercambios hace
3:15cuando son algoritmos que se basan en
3:17hacer intercambios de datos y y otros
3:19parámetros de ese estilo que son mucho
3:21más fáciles de identificar y y de
3:23contar.
3:25Y eh ahí eh también eh nos va a
3:30interesar generalizar eh y no entrar a
3:32un detalle específico porque alguien
3:33podría decir, "Ya, okay, dígame usted
3:35cuántas comparaciones utiliza su
3:38algoritmo para ordenar este conjunto que
3:40yo le estoy dando, que tiene 100 datos y
3:43quiero saber cuánto demora, cuántas
3:45comparaciones hace." Por ejemplo, nos va
3:47a interesar responder ese tipo de
3:48preguntas de manera más general, decir,
3:50"Mira, aquí tengo un conjunto de tamaño
3:51n ah y quiero eh saber cuántas
3:55comparaciones haría como función de n,
3:58¿no? Y de esa manera poder responder
4:00preguntas mucho más generales
4:03también. E y ahí nos enfrentamos de
4:06inmediato a la pregunta, ¿ya? Pero, ¿qué
4:08es lo que quiere contar? ¿En cuál es el
4:09escenario que usted está interesado?
4:11¿Está buscando cuál sería el peor caso?
4:13¿Ya? está buscando cuál sería el mejor
4:16caso, está buscando cuál sería un caso
4:18promedio, ya que son las los casos que
4:22normalmente nosotros eh abordamos. Ah,
4:25el peor caso es eh
4:28yo creo el el que más frecuentemente se
4:30utiliza por varias razones. Uno es
4:33porque es más es más conservador, ¿no es
4:36cierto? La respuesta que obtenemos ahí
4:39nos da garantía de que en ningún caso va
4:41a ser peor, obvio, por definición de
4:43peor caso, ¿no es cierto? Y si ese peor
4:45caso es bueno, entonces podemos estar
4:47tranquilos que nuestro algoritmo va a
4:48funcionar bien en todos los casos, sí o
4:50sí. Ah eh de ahí es donde uno llega, por
4:53ejemplo, a al diseño de estructuras de
4:56datos de tipo árboles balanceados,
4:59porque los árboles balanceados nos
5:00garantizan que en todos los casos la
5:03altura va a ser logarítmica. en el peor
5:06caso, ya a diferencia de una bebé, un
5:09árbol de búsqueda binaria, en donde para
5:11ciertos
5:13inputs el árbol podría degenerar a una
5:16lista lineal y en ese caso su tiempo de
5:19búsqueda en el peor caso sería el orden
5:22de n y no eh log n, ¿no es cierto?
5:25Entonces, esa es una de las razones por
5:26las cuales a menudo uno se enfoca en el
5:28peor caso y lo otro es porque también a
5:30menudo ese análisis es más fácil. Ah,
5:34entonces con menos trabajo podemos dar
5:36una respuesta que nos da mayores
5:37certezas
5:39en este curso.
5:41En contra de lo que yo estoy diciendo
5:43recién, eh, no nos vamos a enfocar tanto
5:45en el peor caso, sino que más bien en el
5:47caso promedio.
5:49Eh, ¿por qué? Porque eh si solo nos
5:52enfocáramos en el peor caso,
5:54descartaríamos algoritmos que que son
5:56muy útiles. De partida los mismos
5:58árboles de búsqueda binaria. Los árboles
6:00de búsqueda binaria tienen un promedio
6:01muy bueno que es es el logarítmico,
6:04pero un percaso malo. Entonces, si
6:06solamente nosamos percaso,
6:08abandonaríamos
6:10eh eh los árboles búsqueda binaria, que
6:13como les digo, es una estructura muy
6:14útil, muy importante de conocer y de
6:16entender bien.
6:19es otro eh caso en que la
6:25eh
6:27la si nos enfocáramos solo en el per
6:29caso, el hashing es pésimo. Ah, para los
6:31que no se acuerden, el hashing es un
6:34algoritmo en donde eh tengo una tabla en
6:38donde quiero almacenar los datos.
6:40Antes de llegar a la tabla tomo la
6:42llave, le aplico una función de hashing
6:44que me entrega un subíndice dentro de la
6:46tabla. ese sub índice, la idea es que
6:48tiene un comportamiento pseudo
6:50aleatorio. Entonces, voy al lugar donde
6:53me dice esa función y ahí almaceno mi mi
6:56dato. Ya. Y si ahí está ocupado, tengo
6:58algoritmos para ver cómo busco lugares
7:01alternativos, ¿no es cierto? Pero es
7:03básicamente eso
7:05y los hashing, de hecho, es una
7:08estructura sumamente importante en la
7:09práctica, eh utilísima,
7:13eh y que en promedio funciona superb, ya
7:18que tiene un caso muy malo, porque ¿qué
7:20es lo que peor que podría pasar? que por
7:22pura mala suerte, para todos los datos
7:24que quiero en la tabla, la función de
7:27Hashim me los envía todos al mismo
7:28lugar,
7:30como una función de comportamiento
7:31seudalatorio,
7:33una llave puede ir a cualquiera de los
7:34lugares disponibles, ¿no es cierto? Eh,
7:37y por mala suerte podrían ir todas a
7:39donde mismo y eso me genera el la máxima
7:43competencia por estar dentro de la tabla
7:45y el peor caso para los algoritmos de
7:48hashing. Eh, eso puede pasar.
7:52Pero con una función de hashiming bien
7:53diseñada, eso puede pasar con una
7:55probabilidad increíblemente
7:58pequeña,
7:59de modo que en realidad no vale la pena
8:04eh preocuparse o por lo menos
8:06preocuparse demasiado de eso y por eso
8:09que el hasching se utiliza mucho en la
8:10práctica, porque en la práctica funciona
8:12muy bien, pero eso último no lo
8:14sabríamos a menos que nos hubiéramos
8:16dado trabajo de analizar cómo funciona
8:18hashing en promedio, eh, y no nos
8:20hubiéramos quedado solamente con el peor
8:22caso. Así que eso de alguna manera
8:25define el enfoque que le vamos a dar a
8:28este curso. Ah. E ahora eh la
8:34tenemos que antes de comenzar a entrar a
8:36la materia propiamente tal, quiero
8:38darles dos
8:40informaciones importantes. Una es el
8:44funcionamiento del curso y lo otro es
8:46qué contenido le vamos a dar y qué
8:47enfoque le vamos a dar. Partamos por la
8:49parte más práctica ah de cómo funciona
8:53el curso. Ustedes ya se habrán dado
8:54cuenta, por lo menos los que están aquí,
8:57ya, de que las clases son en línea. Eh,
9:01los va a ser los lunes y viernes a las
9:048:30 de la mañana.
9:06Las clases quedan grabadas para que
9:07quienes no pueden asistir a esta hora
9:09temprana la puedan ver en otro horario
9:11que les acomode, pero yo de les
9:14recomendaría fuertemente de que si no la
9:16pueden ver en vivo a esta hora eh la
9:18vean lo antes posible después de eso.
9:20Hm. Porque las tareas que vamos a dar se
9:24basan en lo que hemos visto en la clase.
9:25Así que si ustedes postergan mucho las
9:28clases y se le empieza a acumular un
9:29montón de clases que todavía no han
9:30visto, van a estar eh no van a contar
9:32con la información necesaria para hacer
9:34las tareas. ¿Ya? Y y segundo, porque es
9:37fácil descuidarse y ir acumulando
9:40trabajo pendiente y estar pillado por la
9:43máquina, eh, y eso no es bueno para
9:45ustedes ni para el funcionamiento del
9:47curso. Así es que por favor, si no
9:49pueden ver las clases en vivo, veéanlas
9:51lo antes posible después de de eso. Ah,
9:54las clases yo trato que queden en
9:56disponibles inmediatamente una vez
9:58terminadas, así es que no debería ser
10:00problema si las quieren ver al poco rato
10:02después. Ya, el curso se evalúa
10:06exclusivamente en base a tareas, no
10:08vamos a tener controles, no vamos a
10:10tener examen, por lo tanto, las tareas
10:11son super importantes que las hagan y
10:13que las hagan bien. Ya. Eh, el trabajo
10:16es individual, pero por otro lado, eh,
10:20no está prohibido conversar sobre el
10:23enfoque que están intentando hacer. Eh,
10:26intercambiar información está bien, ya,
10:29pero lo importante es que al final lo
10:31que ustedes entreguen sea el trabajo de
10:33ustedes y no el trabajo de un amigo,
10:35¿ya? Y en estos tiempos tampoco el
10:38trabajo de una inteligencia artificial.
10:40Así es que eh por favor comprométase con
10:42eso. Ah, que cada cosa que ustedes
10:44escriban es algo que ustedes
10:47han redactado y y están en condiciones
10:50de defenderlo en caso que se les
10:52pregunte cómo llegaron a esa a ese
10:55resultado o o cómo eh enfocaron un un
10:59cierto razonamiento. Ah. Eh, así que eh
11:03eso ah
11:05después eh
11:07si ustedes
11:09se preocupan de ir al día con la
11:12materia, eh no van a tener problema para
11:15hacer las tareas y y aprobar el curso y
11:18más aún probablemente les va a ir bien
11:19incluso. Ah, así es que no no se
11:23estresen eh demasiado por eso. Eh, mi
11:26interés es que ustedes aprendan y lo
11:27pasen bien.
11:29Hay un profesor de la Universidad de
11:31Stanford que se llama Donald Kuth, que
11:35eh vamos a citar a menudo. Él es de
11:37hecho el fundador de esta área del
11:39análisis de algoritmos. eh la fundó
11:42cuando él era un estudiante como ustedes
11:44eh hace ya a mediados del siglo pasado.
11:48Todavía afortunadamente está vivo y
11:50todavía produciendo eh él es el autor de
11:53la serie de libros de The Art of
11:55Computer Programming que eh no por haber
11:59sido escrita hace muchos años, está
12:01obsoleta, todo lo contrario.
12:03Así que vamos a a referirnos a eso a
12:06menudo como algo de referencia más que
12:09como un texto. Eh, si se trata de texto,
12:12les voy a mencionar dos pronto. E
12:17las tareas. Eh, entonces, como les
12:19decía, no se no se estresen demasiado de
12:22que les va a ir mal o qué sé yo, en
12:23realidad les va a ir bien. Me interesa
12:25que que aprendan y como les dije, decía
12:27que lo que lo pasen bien. Ah, una vez eh
12:31precisamente hablando del profesor Donal
12:32Conh, un seminario que él de Stanford
12:35que lo daba todos los semestres o creo
12:37que una vez al año e en la primera clase
12:41eh habló de cómo era el curso, lo que
12:43iban a hacer, qué sé yo, y de lo de lo
12:45menos que habló fue de cómo se iba a
12:47evaluar.
12:48Entonces, al final un alumno levanta el
12:50dice, "Profesor, y y ¿cómo qué pasa con
12:53las notas? ¿Cómo cómo nos va a evaluar?"
12:56Ah, sí, sí, como se le había olvidado
12:58esa parte. Ah, un detalle sin
13:00importancia. Sí, sí, no están todos
13:02aprobados. Ah, vamos a a enviar a la a
13:07la universidad de la información de que
13:08ustedes todos aprobaron con la nota
13:09máxima. Sí, felicitaciones.
13:13Yo les voy a dar a ustedes feedback y
13:14qué sé yo, pero no se preocupen. Ah, acá
13:17no llegamos a tanto. No les puedo
13:18asegurar que todo a terminar con un
13:19siete, pero sí les digo, relájense y no
13:23se estresen y aprendan y pásenlo bien.
13:26Eh, ya eso.
13:29Ah, bueno, la la forma de entrega las
13:31tareas. Ah, me interesa que ustedes eh
13:34traten de hacer un trabajo de nivel
13:37profesional eh por supuesto con
13:39problemas que a menudo son problemas
13:42pequeños comparados con lo que uno
13:43podría abordar en un proyecto de
13:45investigación, que uno podría pasarse un
13:47año trabajando y finalmente producir un
13:49paper sobre eso, ¿ya? eh pero que en el
13:54estilo y en en en la forma de de
13:56presentar resultado traten de enfocarse
13:59un estándar eh de tipo profesional. Y
14:02eso hay un par de papers que puse en el
14:05material docente para darles una idea,
14:07pero tengan presente que esos papers son
14:09resultados de much trabajo de mucho
14:11tiempo, así es que no no es que les vaya
14:13a pedir que escriban 30 páginas. Ah, e y
14:17pero un poco para que vean el estilo y e
14:21y tiene que ser bien presentado. Ah, en
14:23particular usando látex. Ah. Eh, látex
14:26entre paréntesis eh funciona sobre un
14:29sistema que se llama Tech, ¿ya? Y Tech
14:33también es fue hecho por Donald Canu,
14:35así es que ustedes van a toparse con la
14:37obra de Canus de más de una manera en
14:39este curso. Ah, el látex. Así es que si
14:43no saben látex, aprendan látex. Eh, no
14:45es tan tan fácil, pero tampoco es
14:48difícil. Así que eh si no lo conocían,
14:51va a ser algo que que ustedes van a
14:52adquirir en este curso.
14:54Vamos, ¿alguna pregunta sobre todo esta
14:56parte operativa? Seguro que se debe
14:57haber algo que se me escapa antes de
15:00entrar al al contenido mismo del curso y
15:02el enfoque.
15:04Entre paréntesis, eh
15:07ustedes a lo mejor no les tocó vivir
15:09demasiado el tiempo de la pandemia, ¿no?
15:10En que todo era vía Zoom. capaz que no
15:12el tiempo pasa y esas cosas van quedando
15:15atrás. Así es que hay hay un protocolo,
15:18¿no es cierto? Eh, a través de Zoom no
15:19puede levantar la mano para pedir la
15:22palabra. Hm. Eh, yo les diría que en
15:26este curso por lo menos eso no es
15:28necesario. Ah, porque a menudo yo estoy
15:32concentrado en dar la clase y no me voy
15:33a dar cuenta que alguien levanta la
15:34mano. Así es que eh no tengan problema
15:38en abrir su micrófono y interrumpirme,
15:40decir, "Profesor,
15:42que no me quedó claro tal cosa, qué sé
15:44yo, no es ningún problema para mí que
15:46que me interrumpan y pregunten cosas."
15:49Okay. Eh,
15:52sería ideal para mí poder además ver con
15:55quién con quién estoy, eh, ah, verles
15:58las caras y y y porque después lo que
16:01pasa es que lo nos cruzamos en el
16:03pasillo y yo no los reconozco porque
16:04para mí ustedes son un rectángulo negro.
16:06Ah eh, pero entiendo que no sé por qué
16:10motivo desde el principio del del del
16:13uso de Zoom se se acostumbró a que los
16:16alumnos no encendieron sus cámaras, así
16:17es que lo aceptaremos, pero no se no se
16:22molesten si no los reconozco cuando nos
16:23crucemos en el pasillo.
16:26Si si me reconocen a mí, salúdenme y
16:28preséntense.
16:30Siempre me gusta conocer a los alumnos
16:32ya. Y e
16:36de nuevo algo se me haya quedado eh se
16:39me haya olvidado respecto de la forma
16:41cómo vamos a a del funcionamiento y cómo
16:44vamos a evaluar eh vamos a dar como una
16:46tarea cada dos semanas más o menos. Ah,
16:49eh, lo cual nos da tiempo para hacer
16:50como unas seis tareas en el en el
16:52semestre para que más o menos
16:54dimensionen. Depende un poco de las
16:56eventualidades que haya y a veces los
16:59alumnos me convence dar un poco más de
17:01plazo y se corre un poco la fecha de
17:03entrega, eso lo veremos. Ah, pero por
17:04ahí para que dimensionen su tiempo
17:07deberían andar bien con los con los
17:10créditos asignados al curso. Ya parece
17:13que no hay palabas
17:15sobre funcionamiento. Bueno, en todo
17:17caso igual me la puedes preguntar
17:18después si se le ocurre algo.
17:22En ustedes deben estar viendo en su
17:24pantalla
17:27eh el programa del curso, el inicio por
17:29lo menos del curso.
17:33Este, el objetivo, lo que esperamos que
17:36ustedes sean capaces de hacer al final
17:38del curso es analizar el comportamiento
17:40de una variedad de algoritmos y
17:41estructuras de datos frente a entradas
17:43aleatorias usando métodos basados en
17:45funciones generatrices. Ya. E todas las
17:50entradas aleatorias es lo que nos
17:52conduce al análisis del caso promedio.
17:56Eh, siempre se habla de que estudiamos
17:57el caso promedio, pero la verdad es que
18:00a menudo vamos a
18:04eh ah, que usualmente se pega el video,
18:07no es cierto. No se Eso es una cosa
18:12individual. A una persona se le puede
18:14pegar su video cuando hay
18:18eh cuando su conexión intermitente, que
18:20se yo, pero no son funciona bien con
18:23todas las cámaras entendidas a nivel de
18:24cientos de usuarios, pero no se
18:27preocupen, o sea, esa es la cultura y la
18:30aceptaremos.
18:34decía que hablamos del caso promedio,
18:38eh, y así se llama, va ah, pero es un
18:40poco un mal nombre porque si ustedes han
18:43pasado por los cursos de estadísticas
18:44saben que el promedio, la media, el mu
18:47ah es un parámetro nada más de los que
18:50pueden definen una un comportamiento
18:54aleatorio, ¿no es cierto? Eh, en algunos
18:57casos la varianza sigma cuadrado también
18:59es muy importante. Ah, y de hecho vamos
19:02a ver algunos casos en que precisamente
19:04vamos a enfocarnos en el estudio de la
19:05varianza. Así es que más que estudiar
19:08solo promedios, vamos a intentar ir más
19:10allá. Ah, y para eso vamos a usar
19:13métodos que están sobre todo basados en
19:15lo que se llaman funciones generatrices.
19:16Ah, y si no las conocen, en un pocos
19:20minutos más les voy a contar de qué se
19:22trata. Ya. Eh, ah, respecto a
19:25metodología docente, eh vamos a hacer
19:28uso bastante intensivo de sistemas de
19:31álgebra computacional.
19:33Eh, la verdad es que yo no entiendo por
19:34qué después de que estos estos sistemas
19:36han existido por qué s 50 años más o
19:40menos ya deberán ser de uso común y
19:42corriente. Eh, y yo nunca he entendido
19:45muy bien por qué, por lo menos en
19:46nuestra escuela, en los cursos
19:47matemáticos, eso no es eh una
19:50herramienta que la gente adquiera y lo
19:53utiliza todo el tiempo. Ah. Eh, o sea,
19:56hoy día nadie
19:58debería integrar una función a mano, ah,
20:02por mucho que sepa hacerlo, porque uno
20:04la integra usando un sistema que que son
20:06para eso y que no se equivocan, ¿no es
20:09cierto? y que nos permite manipular las
20:11fórmulas, eh simplificar y eh así que
20:15vamos a hacer bastante uso de eso. El
20:17sistema que yo usado siempre siempre ha
20:18sido Maple, que un sistema que fue
20:23desarrollado en la universidad donde yo
20:24hice mi estudio de posgrado en Canadá en
20:27Waterloop. Eh, pero ahora último, la
20:31Contraloría
20:33Interna
20:35está empezando objetar de que se
20:37renueven licencias de software eh
20:41sin una licitación o qué sé yo, en la
20:44cual podría ganar cualquiera. Ah. Eh,
20:48eso encuentro que no es una política que
20:51necesariamente debería aplicarse en
20:52casos como este, pero parece que se está
20:54aplicando. El caso es que el Centro de
20:57Computación en este momento no tiene
21:00certeza de que les vayan a autorizar a
21:02renovar la licencia de Maple para este
21:05semestre, lo cual nos genera una duda
21:08respecto de qué herramientas vamos a
21:09tener disponible. Afortunadamente
21:11existen alternativas de open source como
21:14Sage o Sage Math. Así es que eh si queda
21:20claro que cuando
21:23eh que no va a ser factible contar con
21:25Maple este semestre, vamos a pasarnos a
21:28a Sage Math.
21:30Y
21:32ahí tendremos la experiencia de que de
21:34que ustedes y nosotros y yo los esté
21:37esté aprendiendo usar se más o menos al
21:38mismo tiempo. Así que y y de hecho en
21:42ese caso los invitaría a a a aprender
21:44más que yo para que me me resuelvan las
21:46dudas que me puedan surgir. Así que si
21:49si quieren darle una mirada es se llama
21:52Sage S, pero como Sage es una palabra
21:55medio común y corriente en las búsquedas
21:57es si busquen Sage math s a g e mat y
22:02ahí van a encontrar cómo instalar se en
22:04su computador y y las formas en que se
22:07puede ejecutar, que son básicamente dos.
22:10una forma o quizás tres, una forma es eh
22:14con eh eh como comandos en en en una
22:19ventana, así como un shell. Ah, ustedes
22:22ya sin duda saben lo que es un shell en
22:24en en Linux e así tipo Shell ejecutando
22:28comandos a mano. Y la otra es en un
22:30notebook tipo Júpiter como
22:33colab que que ustedes deben de haber
22:35usado en el curso de de estructura
22:38algoritmo. Mm. Así es que eh vamos a
22:41usar formato tipo Júpiter y la tercera
22:44que les digo es que hay forma de usarlo
22:46sin instalarlo, sino que en vía vía web
22:51eh sistemas que un sistema que se llama
22:54Cocalk
22:56que que era cocalk.com y ahora es
22:58cocal.ai porque hoy día todo es AI. Eh,
23:02y y ahí también se puede y eso es de
23:05alguna manera parecido si ustedes son
23:07usuarios de látex a lo que sería usarlo
23:10instalar en su computador versus usarlo
23:12en un sitio como overlif. Eh, así es que
23:16ese esa es una alternativa que también
23:17existe. Bueno, como les digo, yo todavía
23:21sé no sé demasiado de SCH, así es que eh
23:24estamos en eso. Ya. Eh, después el
23:28contenido mismo del curso.
23:30Vamos a partir
23:33con un capítulo de métodos matemáticos.
23:35Eh, no porque ustedes no sepan
23:37matemáticas, sin duda saben muchísimo.
23:39Si pasaron por el plan común saben más
23:40de lo que necesitarían probablemente,
23:43pero porque la tipo de matemáticas que
23:46nosotros más vamos a usar nos no es
23:48tanto lo que se enfatiza en el plan
23:49común, que son matemáticas continuas,
23:51¿no es cierto? en que ustedes eh
23:54aprenden a derivar, integrar, a plantear
23:56ecuaciones diferenciales, a resolver
23:57ecuaciones diferenciales, etcétera. Acá
24:00las funciones que a nosotros nos va a
24:01interesar estudiar son más 100 funciones
24:03discretas, eh, donde en vez de de
24:07funciones, perdón, de ecuaciones
24:10diferenciales, vamos a encontrarnos con
24:12ecuaciones de recurrencia y ver cómo
24:15resolverlas, etcétera. Ya en el curso
24:17anterior de estructuras de datos y
24:19algoritmo ustedes vieron algunos métodos
24:20para resolver ecuaciones de recurrencia.
24:23Eh, hay un método superimportante que no
24:26lo vemos en general porque está un
24:29poquito más es un poquito más avanzado y
24:31también por falta de tiempo que son las
24:33funciones generatrices. Así que les
24:35vamos a dedicar harto tiempo aquí a las
24:37funciones generatrices.
24:39Los que hayan
24:43estudiado ecuaciones fenciales y puesto
24:46atención hasta
24:49cuando llegan a ecuaciones diferenciales
24:51lineales, se acordarán de las
24:55transformadas de la plaz. Ya. Bueno, las
24:58funciones genetriz de alguna manera son
24:59el equivalente de las transformadas de
25:01la PL, pero para funciones discretas. ah
25:05no son exactamente el análogo de las
25:07transformar la PL, pero juegan un rol
25:09similar. Eh, entonces son funciones que
25:12en que una función
25:15resume eh el
25:18resume toda la información de de la
25:21función discreta que estamos analizando,
25:23porque una función discreta en realidad
25:24es una sucesión, una sucesión de valores
25:27infinita, ¿no es cierto? Entonces, de
25:28alguna manera, esa sucesión infinita de
25:30valores se resume en una función eh de
25:34una variable, digamos, Z, ¿ya? y eh
25:39vamos a eh estudiar esa esas funciones
25:43en general como funciones simplemente
25:45formales, sin darles una interpretación,
25:48pero en algunos casos en que eso sea
25:50necesario, vamos a eh
25:54vamos a
25:56interpretarlas como funciones en el
25:57plano complejo, ¿ya? Pero eso va a ser
26:00más bien excepcional. Hm. Y vamos a
26:03aprender toda una serie de formas de
26:07de utilizar estas funciones
26:09generatrices. Y vamos a ver incluso que
26:12a través del uso de funciones
26:14generatrices, nosotros podemos eh evitar
26:18plantear ecuaciones de recurrencia
26:21y saltarnos directo a la función
26:22generatriz. Eso eh ustedes van a ver
26:25cuando lleguemos ahí, pero es algo s
26:28super útil, eh superpereroso como método
26:31y que fue originado. Bueno, hay hay
26:35muchos que que contribuyeron en sus
26:37inicios, pero uno de quienes más lo
26:39desarrolló fue el profesor Philip
26:42Flayolé de Francia. Eh, y eh hay un par
26:48de libros en en que tengo enlazados en
26:51la página de un curso que que Flayo le
26:54es uno de los autores. Ah, así que ahí
26:56vamos a tener la oportunidad de estudiar
26:58algo de las cosas que él contribuyó. Eh,
27:02y vamos a llegar a hablar también de
27:03probabilidad discreta, de nuevo, porque
27:05la eh funciones de probabilidad que
27:09nosotros eh eh
27:11que estudiamos en plan común son
27:13normalmente probabilidades continuas,
27:16¿cierto? función distribución normal,
27:18por ejemplo.
27:19Pero acá nuevamente lo que nos va a
27:21interesar más bien son las
27:24distribuciones de probabilidad
27:27eh
27:30discreta. Ah eh hay varias que ustedes
27:34deben conocer, las vamos a repasar. Ah,
27:36pero en donde el parámetro del cual
27:38depende no es un parámetro continuo,
27:40sino que es un parámetro discreto, o
27:41sea, un n. Hm. Así que ahí vamos a ver
27:45repasar método de probabilidad discreta
27:48y luego vamos a llegar aplicaciones a
27:50algoritmos y estructuras de datos. Ya.
27:54Eh,
27:56vamos a a diferencia lo que dice el
27:59orden de aquí, he encontrado en los
28:01últimos tiempos que me conviene más
28:02comenzar con árboles de búsqueda. Así
28:04que vamos a partir por el por el
28:06capítulo dos. Ya. Eh, vamos a dedicarnos
28:09bastante a estudiar árboles de búsqueda.
28:11Vamos a estudiar árboles de búsqueda eh
28:14que ustedes bien conocen los ABBs, pero
28:16también vamos a estudiar variantes que
28:18son interesantes, eh, que tienen que ver
28:20con neurística local. Vamos a estudiar
28:23algo de árboles digitales, ah, pero de
28:25hecho va a hac un capítulo más o menos
28:26largo y luego nos vamos a dedicar a
28:28estudiar hashing, lo que yo les
28:30describía que ustedes se acordarán. Eh,
28:33y ahí nuevamente a partir vamos a
28:35comenzar analizando los métodos bien
28:37conocidos, pero luego vamos a avanzar a
28:39estudiar algunas eh variantes que han
28:42surgido y que son son interesantes. Así
28:44es que eso va a ser nuevamente otro
28:46capítulo largo dentro del curso que
28:48vamos a ir estudiando esto. Y si nos
28:50queda tiempo vamos a hablar de Skip
28:51List, que eso también es una estructura
28:53interesante. Eh, el contenido mismo del
28:57curso es e
29:00no está escrito en piedra. Ah. Eh, no es
29:03que en este curso yo tenga que pasar
29:04esto, esto, esto, esto, esto, sino que
29:06lo que me interesa es que a través de
29:07los problemas que vamos abordando,
29:10ustedes vayan a ir adquiriendo un
29:11dominio cada vez mayor de las
29:13herramientas analíticas que estamos
29:14adquiriendo. Ya, ese esa es la idea. Así
29:17que si al final que si no alcanzamos a
29:19ver skip listingú problema. usted va a
29:21estar perfectamente en condiciones de ir
29:22y estudiar por su cuenta los papers
29:24sobre skiplit que hay publicado,
29:26etcétera. Ah, así que eso.
29:29Y finalmente, para completar esta
29:32introducción,
29:34eh,
29:37la bibliografía h eh vamos a utilizar
29:41bastante paper sobre el tema los temas
29:43del curso que ustedes los vamos a ir
29:44viendo por el camino.
29:46Eh, un par de ellos son los que ya están
29:47publicados, que se los puse para a
29:49título como de ejemplo. Y eh
29:54el
29:57la referencia que nos va a guiar durante
29:59sobre todo la parte de inicial de
30:01métodos matemáticos es un libro que se
30:03llama Concrete Mathematics, Foundation
30:06for Computer Science, eh que fue escrito
30:10por Ron Graham, Donald Conus y Joren
30:12Patashnik.
30:14Ahí ustedes ven, pueden ver la mano de
30:16Cuz Ron Graham fue un gran
30:18combinatorialista,
30:20fallecido ya hace algunos años. Ah, y
30:22Donald Con es Donald Con el gurú del
30:25área y Oren Paten, que era el profesor
30:28auxiliar del curso, que entiendo que
30:30colaboró en la escritura de de de esto
30:33que comenzó como un apunte que hoy día
30:35un libro ya.
30:37Y el otro libro que también les voy a
30:42sugerir como referencia es un libro
30:45nuevamente este de Flayo que el profesor
30:47francés que les decía en conjunto con
30:50Bob Schwick que se llama Analytic
30:52Combinatorics. En general le llaman
30:54Analytic Combinatorics a esta forma de
30:56analizar problemas en función de
31:00utilizando funciones generatrices
31:01directamente.
31:03Eh, y Folé, sin duda el autor principal
31:07de ese libro, pero Pop Swck también es
31:09un autor super importante. Eh, tiene un
31:12montón de libros que ustedes a lo mejor
31:14han visto en la biblioteca sobre eh
31:16estructuras de dato, por ejemplo,
31:17análisis de algoritmos en distintos
31:18lenguajes como en Pascal, en que se en
31:21Java, supongo. y además es fue quien en
31:26sus inicios como estudiante de doctorado
31:29analizó algoritmos como Quicksort, muy a
31:32fondo y Quicksort es uno de los
31:33algoritmos más importantes que hay, así
31:35que eh tiene un gran prestigio. Así que
31:38eso un poco lo que vamos a utilizar. Si
31:42ustedes
31:44quieren pueden pedir en la biblioteca
31:47los libros físicos de Concret
31:48Mathematics, Analytic Combinatorics o si
31:51les gusta mucho hasta comprarlo, pero en
31:54la sección de enlaces del curso le he
31:56puesto el los links eh para versiones
32:00online que ustedes pueden bajar y
32:02utilizar. Ah, y así que no hay problema
32:07con eso. Y ese es el contenido del
32:10curso. Ah.
32:12Si es que eh
32:15me gustaría que ustedes eh me dijeran
32:17ahora si hay algo que no les quede claro
32:21antes de que
32:24antes de que que antes de que
32:27entremos a ver algunos eh
32:32algunos eh ya inicios de la materia, así
32:36que quiero darles un minuto o algo así
32:39para que ustedes vean si quieren algo
32:43que quede
32:45que quede eh que no haya quedado claro.
32:48Ah,
32:50un minuto y seguimos.
32:53Eh, profesor, respecto de el uso de
32:56funciones generatrices, ¿vamos a ver
32:58solamente la función generatriz comunic
33:00y corriente? ¿Vamos a ver otro tipo de
33:01funciones generatrices, por ejemplo, la
33:02exponencial?
33:03Super buena pregunta. Vamos a ver eh la
33:06función generatriz ordinaria en un
33:09primer lugar, lo que se llama función
33:10generatriz, pero luego vamos a ver eh la
33:13función generatriz exponencial. Eh y eso
33:17tiene que ver con el tipo de objetos que
33:19se están enumerando. Ah eh y
33:24después vamos a ver otras funciones
33:26generatrices también importantes como la
33:28función generatriz de poazón, que que se
33:30suele llamar la transformada de poazón.
33:32Ah, y si nos da el tiempo, vamos a ver
33:36incluso otro tipo que son la que se
33:38llama la transformada binomial. H, así
33:41es que por funciones generatrices no se
33:44van a quedar cortos. Ah, de hecho,
33:48hecho espero que al final del curso la
33:49función generatriz eh sea su mejor
33:53amigo.
33:56Perfecto, muchas gracias.
34:00¿Alguna
34:02otra pregunta?
34:26Todo bien por acá, profe.
34:28Ya
34:29vamos entonces a
34:32a comenzar.
34:39Dme un segundo para organizarme aquí.
34:44Eu
35:36A ver,
35:38disculpen la demora, que tengo aquí un
35:41setup que estoy armando.
35:44Vamos de nuevo.
36:03Ya, por alguna razón esto no está
36:05funcionando de la manera como yo
36:07esperaba.
36:09Vamos a probar un plan B.
36:39Ahí estamos, parece.
36:44Sí, están viendo una pizarra blanca que
36:48dice CC 5101, etcétera. Sí,
36:52sí,
36:52ya.
36:53Sí, profe.
36:55Ya, perfecto. Eso era lo que quería y
36:59no funcionó como pensaba, pero funcionó
37:01el plan B. Siempre hay que tener un plan
37:03B. Esa es una de las cosas que no son
37:04material del curso, pero es bueno que
37:05ustedes la sepan. Ya. Bien, vamos a
37:08comenzar con problema de
37:10precalentamiento. Ah, para que vean un
37:13poco ya cómo vamos a ir haciendo estas
37:15clases y cómo vamos a ir pasando la
37:16materia. Eh, vamos a tomar un problema
37:21de juguete para ilustrar eh
37:27un poco nuestro enfoque y el problema
37:29que vamos a a ver es el problema de
37:32completar un álbum.
37:48Ya, si todo está bien, ustedes deberían
37:49estar viendo mi
37:52lo que escribo en la pizarra, ¿no es
37:53cierto? Ya. Okay. ¿Qué que eso completar
37:57un álbum? A propósito del álbum del
37:59mundial. Ah, supongamos que ustedes
38:02quieren completar un álbum que tiene un
38:05total de n láminas, ¿ya? Entonces,
38:08queremos
38:16un álbum
38:19que tiene
38:22n láminas.
38:24Y aquí vamos a
38:28a aquí ustedes pueden ver que esto no es
38:30un curso muy muy realista, por lo menos
38:34algunas cosas, porque vamos a suponer
38:35que son todas equipables. Ah, o sea, que
38:37no hay ninguna que es más difícil que
38:39otra que aparezca, lo cual, por
38:40supuesto, en la práctica no era cierto.
38:42Ya, todas equipables.
38:49Entonces, eh, ¿qué cómo funciona esto?
38:52Ustedes parten con el álbum vacío,
38:55entonces van y compran una lámpina.
38:56Supongamos las láminas se compran de
38:58una, no en paquetes. Ya compran una
38:59lámina, eh, y obvio que le sirve, pues
39:02está todo el álbum vacío, así que la la
39:04ponen ahí. Van y compran otra lámina.
39:08Lo más probable de lejos es que también
39:09les va a servir porque va a ser una
39:10lámina distinta que la que ya tenían,
39:12pero ya con alguna probabilidad no
39:14porque se va a repetir la que ya tenían,
39:16¿no es cierto? Entonces que comprar otra
39:19y otra y otra hasta que salga una nueva
39:22y esa la pone en el álbum y van ahora a
39:25tratar de llenar una tercera
39:28lámina y cada vez lo mismo, ¿no es
39:30cierto? Cada vez ustedes compran una
39:33lámina y puede que no les sirva porque
39:35se repite alguna que ya tenían o quizás
39:37sí les sirve y en ese caso van
39:39avanzando, avanzando hasta que al final
39:40llenan el álbum completo, las n láminas.
39:44Entonces, la pregunta es
39:50entonces la pregunta
39:55es, ¿cuánto
40:02es el número promedio
40:07de láminas
40:11que hay que comprar?
40:21hasta completar el álbum.
40:34Okay.
40:36En función de n, por supuesto, como
40:38función de n.
40:40¿Han visto este problema? ¿Alguno?
40:42¿Alguien ya lo ha visto?
40:47No,
40:48qué bueno. Así para que no se aburran,
40:51¿eh? ¿Alguien se atreve a aventurar más
40:55o menos cuál se cuál va a ser la
40:56respuesta?
40:58Obvio que el mínimo es N, ¿no es cierto?
40:59Mejor caso sería N. Ya tientas tanta
41:04suerte que nunca se les repite una
41:05lámina y lo llenan y
41:08para llenar el álbum de N láminas le
41:09fastó haber comprado N. el mejor caso,
41:13bien improbable, pero mejor caso. Peor
41:15caso en este caso es infinito, ¿no es
41:17cierto? Infinito. Después estás
41:19comprando láminas para siempre y jamás
41:21llenarlo. Eh, lo que nos interesa el
41:24promedio. Ya. Eh,
41:27yo les vería como con casos más básicos,
41:30más directos, como de dos o tres láminas
41:33quechando.
41:34Por ejemplo, en el caso de dos, el costo
41:36de promedio serían tres. Una, la primera
41:38es gratis, la segunda te obliga a dos. Y
41:40en caso de tres, eh, va aumentando como
41:44en relación como al porcentaje de
41:45probabilidad de que te salga una que no
41:47tengas.
41:48Efectivamente, claro, eso es un buen
41:50enfoque, partir a veces con algunos
41:52casos simples y y de ahí ir avanzando.
41:56¿Te atreves a aventurar una respuesta en
41:58función de n? Obviamente tiene que ser
42:01una función mayor que n, ¿no es cierto?
42:04porque n era el mejor caso,
42:06¿no?
42:07Sería como
42:11el inverso de la probabilidad de que no
42:12te salga repetida todas esas veces sumas
42:14por cada por cada una de las láminas.
42:18Entonces la primera, la probabilidad es
42:22es una, así que está al tiro. Después la
42:25siguiente es nido n, pero es al revés y
42:28así todo una serie.
42:33Yo siento que es como el problema de los
42:35cumpleaños.
42:38Mientras más láminas tenemos, más es
42:40probable que se repitan en un futuro.
42:44Tiene que ver con precisamente tiene que
42:46ver con el problema de los cumpleaños.
42:48Buena observación.
42:50Okay. Piénselo. Si alguno se le ocurre
42:52algo, me lo dice ahí. Que
42:55por ejemplo, alguien podría decir,
42:58¿qué s yo? o n²ado, ¿no?
43:02Bueno, vamos, sigamos. Entonces, ¿cómo
43:04podemos modelar esto? Vamos a a verlo
43:07como un diagrama de estado. Vamos a
43:10decir, miren, vamos a estar inicialmente
43:12va a estar en un estado cero. Quiere
43:13decir que hasta el momento tenemos cero
43:15láminas en nuestro álbum, ¿no es cierto?
43:19Entonces vamos y compramos una lámina
43:21con probabil, o sea, con toda seguridad.
43:25Esa lámina nos sirve. Y ahora pasamos al
43:27estado uno, que quiere decir que tenemos
43:29una lámina en nuestro álbum. Y ahora
43:31viene lo interesante. Compramos otra
43:34lámina y esa lámina puede que nos sirva
43:37o que no nos sirva.
43:39¿Cuál es la probabilidad de que no nos
43:41sirva?
43:44Uno entre n. Exacto, ¿no es cierto?
43:47Entonces, pongámoslo aquí con
43:48probabilidad
43:501 div por n sirve y seguimos en el
43:53estado uno. Todavía tenemos solamente
43:54una lámina en nuestro álbum. Y por
43:56supuesto, entonces con la probabilidad
43:58complementaria, o sea, 1 - 1 parido por
44:01n, si nos sirvió y ahora tenemos dos
44:05láminas en el álbum.
44:07Ya vamos. Y ahora compramos una lámina
44:10más. ¿Cuál es la probabilidad que no nos
44:12sirva?
44:29Sí.
44:291 - 2n
44:32o
44:33no. La probabilidad es que no nos sirva
44:36dos partidos en n
44:382 partidos por n. Ah, si quieren tener
44:40una idea, eh, la probabilidad que no nos
44:42sirva sigue siendo muy pequeña, ¿no es
44:44cierto? Si es muy grande, la
44:46probabilidad que la segunda ya se
44:48repitan es muy baja. Así es que si fuera
44:51como tú decías uno menos 2 par por n,
44:54eso es la contraria. Ah, esta la
44:56probable de que no nos sirva es 2 parid
44:58por n.
45:01Ya. Y por supuesto el complemento 1 - 2
45:06par por n es la probabilidad de que sí
45:08nos sirva y pasamos al estado 3, ¿no es
45:11cierto? Y así seguimos y seguimos y
45:14seguimos. ¿Hasta cuándo? ¿Hasta cuándo
45:16llegamos a tener n-1 lámas en nuestro
45:18álbum
45:20y queremos
45:22que aparezca la que nos falta? ¿Ya?
45:26Eh, ¿cuál sería la probabilidad que la
45:30que compramos una lámina y no nos sirve?
45:37N - 1 par N.
45:39N - 1 parido por N. Claro, eso es
45:41extrapolación natural del 1 parido por
45:43n, 2/ por n, después sería 3 par por n,
45:45¿no es cierto? Esta sería n - 1 par por
45:47n.
45:50Esa es la probabilidad que no nos sirva
45:53y por supuesto la complementaria, ¿no es
45:56cierto? Es la probabilidad eh eh que le
46:02hayamos acertado justo a la que nos
46:03faltaba, que es 1 parido por n.
46:09Y en ese caso llegamos a tener n álbum,
46:12que es el estado final, ¿no es cierto?
46:16Okay,
46:17ya. Eh,
46:21vamos a
46:23regularizar un poquito la la forma de
46:26escribir estas cosas.
46:29Otro color. Eh, este 1 men 1 parido por
46:33n.
46:34A ver, de hecho, incluso aquí podemos
46:37agregar un arco absolutamente inútil,
46:40pero que nos sirve para por regularidad,
46:42que sería 0 parido por n, ¿no es cierto?
46:45Ya
46:47ahí la probabilidad de que la primera
46:48lámina que nos que compramos no nos
46:50sirva de cero, ¿no es cierto? Porque lo
46:51podemos escribir como 0 partido por n
46:53para si todas las que vienen a
46:54continuación son del mismo formato. Ya.
46:57Y eh y acá la estas transiciones hacia
47:02la derecha las puedo escribir como n -
47:061/ n,
47:08n - 2 paro por n. Así se ven más
47:10regulares, ¿no es cierto?
47:12Y esta vendría a ser como n - n - 1
47:16parido por nesta
47:19sería n - 0. N - 0 par por n. Así todas
47:23se ven iguales.
47:25¿Ya?
47:26Entonces,
47:29visto de esa manera,
47:33el caso general
47:40es que yo estoy en el estado i
47:44y con probabilidad
47:48Iido por n me quedo en el mismo estado
47:51con probabilidad n - i par
47:56paso al estado y+ 1. Ese caso general,
47:59¿no es cierto? Ya.
48:02Y la pregunta
48:05es, ¿cuántas transiciones yo hago en
48:09promedio hasta que logro avanzar de
48:10estado? ¿No es cierto? Eso yo quiero
48:13saber cuántas ve cuánto me quedo yo
48:16pegado en en este en este espacio hasta
48:18que logro avanzar al siguiente estado.
48:22para ver eso lo podemos ver eh todavía
48:26más general
48:31como
48:33decir, mire, yo estoy en un estado aquí
48:36y con probabilidad
48:38Q
48:40yo me quedo en el mismo estado y con
48:42probabilidad P avanzo estado, ¿cierto?
48:45donde b + q = 1
48:50y eso probablemente se asemeja cosa que
48:53ustedes ya conocen. Entonces, ¿cuál es
48:56la probabilidad
48:59que hay que hacer cada intentos
49:02para lograr avanzar? Ya. Eh, ¿cuándo
49:07cuándo yo hago exactamente K intentos?
49:10Cuando yo
49:12eh k - 1 veces
49:15me sale eh la probabilidad Q, ¿no es
49:17cierto? K- un veces yo me quedo en el
49:21mismo estado, mismo estado menos estado
49:23y a la última la césima intento avanzo,
49:27¿cierto? Y eso, ¿qué probabilidad tiene?
49:29Q a la K - 1* P, ¿no es cierto?
49:35¿Ya?
49:40Y entonces eh eso es la probabilidad que
49:42haya exactamente cada intentos. Por lo
49:44tanto, el número esperado de intentos,
49:47la media
49:53ya es la sumatoria
49:56de K
49:59por la probabilidad de que haya K
50:01intentos.
50:03¿cierto?
50:06Eh, esto es para K mayor o igual que 1
50:11porque tiene que haber por lo menos un
50:12intento, no puede haber cero intentos.
50:14Ya. Eh, y eso es es igual a
50:22sumatoria para K mayor o igual que 1 de
50:27K por Q a la K- 1
50:31por P, ¿cierto?
50:34Ya. Y esa sumatoria cuánto vale, ya más
50:39adelante, cuando guardemos sumatorias
50:41como esto, quizás más complicadas, vamos
50:43a usar un sistema de álgebra
50:46computacional. Okay. Pero por el momento
50:50eh
50:52por el momento digamos que eh queremos
50:56hacerlo a mano, entonces, ¿cómo lo
50:57podríamos hacer a mano? ¿Alguien tiene
51:00alguna sugerencia cómo lo podríamos
51:01hacer a mano?
51:03Eh, considerando que es un diagrama de
51:04estados, podríamos meter todo dentro de
51:06una matriz, de modo que multiplicar la
51:10matriz que a veces represente en sí
51:12mismo
51:14eh la cantidad de pasos que doy con cada
51:17probabilidad de dar tantos pasos.
51:20Entonces, el estado inicial es el vector
51:221
51:24de modo que con probabilidad uno estoy
51:27en el estado cero. Sí, eso es una super
51:30buena sugerencia, pero que en este caso
51:32no me funciona porque para poder
51:34plantearlo como matriz tiene una matriz
51:36de que se 10* 10 lo que sea tiene que
51:40ser de algún tamaño, ¿no es cierto? Pero
51:42este sería una matriz como n por n. Ah,
51:45que eso me dificulta un poco las cosas,
51:47pero yo creo que, o sea, se puede se
51:49puede eh
51:51dificulta hacerlo con un sistema de
51:53álgebra computacional, quiero decir. Ah
51:56eh porque ahí las dimensiones tienen que
51:58ser específicas, no pueden ser
51:59genéricas. Pero ya vamos a llegar a un
52:02caso más adelante donde el enfoque que
52:04tú estás sugiriendo justo es lo que
52:06necesitamos, pero aquí en realidad
52:08tenemos una forma mucho más simple de
52:10abordarlo, mucho más simple. Est una
52:13sumatoria, ¿no es cierto? Si ustedes se
52:16le dijan, "Mire, calcule cuánto vale
52:18esta sumatoria, ¿cómo cómo lo harían?"
52:23Con un for, un ciclo for pongo el valor
52:26inicial y lo voy.
52:27No, porque porque
52:31esto es una suma infinita, ¿eh?
52:35Ah, pero ese sumatoria tiene forma
52:36cerrada.
52:37Exacto. Pues quiero encontrar la forma
52:39cerrada.
52:41Ya, déjeme darle un hint. Ya.
52:49La sumatoria de Q a la K para K mayor o
52:53igual que 0. Ustedes deberían saber
52:55cuánto vale esa
52:591 sobre 1 men k, o sea, 1 sobre 1 men q.
53:02Exacto. 1/ido por 1 men q,
53:07¿cierto? Y eso es lo mismo que 1 parido
53:10por P
53:12porque P + Q vale 1, ¿no es cierto? Esa
53:16esa sumatoria la podemos dar por
53:17conocida. Okay.
53:20Entonces, si esa sumatoria la damos por
53:22conocida, ¿cómo a partir de ahí
53:24podríamos encontrar la sumatoria más
53:26arriba?
53:29Ah, o sea, suponiendo que ustedes saben
53:31esto,
53:32o sea, podemos cambiar de índice porque
53:34al final partir desde uno y que sea Q
53:36elevado
53:37Claro, el detalle del del índice no es
53:39no es fundamental. Ah, tienes razón,
53:42pero el problema no es el índice, el
53:44problema es que el K que está
53:45multiplicando.
53:47Eh, podemos considerar que Q es lo
53:48suficientemente bonito y derivar
53:50respecto de Q.
53:52Exactamente.
53:54Podemos tomar la sumatoria que ustedes
53:56ya conocen, ¿ya? Y eh y derivar respecto
54:00de Q,
54:02¿ya? Oye, esto y esto lo vamos a hacer
54:04todo el tiempo en el curso. Eh, esto de
54:06que sea suficientemente bonito, ¿no es
54:08cierto? Que sea una variable
54:10suficientemente continua, etcétera. Ya,
54:12la verdad es que eh no necesitamos nada
54:16de eso si trabajamos exclusivamente de
54:18manera formal. Ah, esto es una serie
54:21formal, es 1 + q + q² + q, qué sé yo,
54:25que se puede derivar ya término término.
54:28Eh, no necesitamos hablar de
54:30convergencia, pero en este caso
54:32casualmente sí hay convergencia. Ah,
54:35porque Q e podemos suponer que Q es
54:37menor que 1. Ya no tendría sentido si p
54:41fuera cer jamás avanzaríamos, ¿no es
54:43cierto? Así que P tiene que ser mayor
54:45que 0, por lo tanto Q es menor que 1, o
54:46sea, la sumatoria converge. Okay. Ya.
54:50Entonces, esto a partir de este hint,
54:54pongamos en otro color para que Okay. A
54:57partir de este hintemos
54:59aplicar
55:01de, perdón,
55:08podemos aplicar de ADQ.
55:11¿Ya?
55:13¿Y cómo queda? Queda que la sumatoria
55:17de K por q a la K - 1 ya es y es igual
55:28a DQ/
55:32por 1 - Q1, ¿no es cierto?
55:35Y eso va a ser -1 par 1 - q cu todo eso
55:39al cuadrado por la derría de adentro que
55:42nos da un signo negativo. Por lo tanto,
55:43se va el menos de afuera y queda 1/ido
55:45por 1
55:47- q²,
55:50o sea, 1/ido por p².
55:54¿Qué pasa con el subíndice de la
55:56sumatoria?
55:58Como yo el sumatoria de Q a la K es 1 +
56:02q + q², etcétera, al derivar el 1 se va,
56:05¿no es cierto? Eh, por lo tanto, yo
56:07puedo poner que esto parte desde K mayor
56:09o igual que 1
56:12porque término es cero y ahí tengo casi
56:16exactamente lo que yo necesitaba allí
56:17arriba, ¿no es cierto?
56:19Por lo tanto, esto de aquí ahora sería
56:24igual a eh
56:281 parido por p²ad, ¿no es cierto? Que es
56:30lo que me da la sumatoria del k * 4 k -
56:321 por p, o sea, 1 parido por p.
56:38Ese es el número esperado de intentos
56:40hasta que yo logro avanzar en el
56:42diagrama de estado, ¿ya?
56:45O sea,
56:49es el número esperado de intento que yo
56:50estoy
56:55que me que me a quiere poder avanzar
56:57aquí. Por lo tanto, el número esperado
56:59de intentos para avanzar acá
57:03va a ser eh n par n - i 1 paro por p,
57:07¿no es cierto? Esto es p, así que 1
57:09parido por p es n par por n - i.
57:12Okay.
57:14Entonces,
57:20por lo tanto,
57:23número esperado
57:28de intentos
57:33para avanzar
57:37desde i hasta i + 1
57:44es n/ido por n - i 1 par por p ya y por
57:49lo tanto número
57:52esperado
57:55total de intentos
58:01ya o sea este es el número esperado de
58:04intentos para avanzar desde
58:08un estado al siguiente, ¿no es cierto?
58:10de aquí a acá, pero yo necesito avanzar
58:12desde aquí hasta allá. Entonces, tengo
58:14que sumar los intentos de aquí más los
58:16de aquí más los de aquí más los de aquí.
58:18O sea, va a ser la sumatoria de lo
58:20anterior para ir desde 0 hasta n - 1.
58:30Ya. Entonces va a ser
58:34igual a la sumatoria
58:390 menor o igual que i menor igual que n
58:42- 1
58:44de n par n - i.
58:48Ahí, ya.
58:51Y eso va a ser n
58:54y expandamos la la sumatoria.
58:58Eh, 1/ n - i para = 0 es 1/ n.
59:04Eh, para = 1 es 1/ n - 1.
59:10Y para el último, para n = n - 1 va a
59:12ser 1/ido por 1.
59:18Ya.
59:21Y esto de aquí
59:24son los famosos números armónicos
59:28que se definen como la sumatoria de 1
59:31parido por J.
59:33para 1 menor o igual que j menor igual
59:36que n, ¿cierto? Que si lo expandiéramos
59:39serían 1 + 1/2 + 1/3
59:44hasta más
59:471/o por n. Okay.
59:51Es Ah, pero y ahora está multiplicado
59:52fuera. O sea, eh
59:56entonces el resultado que estamos
59:59buscando
1:00:02que número
1:00:07esperado
1:00:09total
1:00:12de lámina
1:00:16que hay que comprar.
1:00:24es NHT.
1:00:28Esa es la respuesta que estábamos
1:00:29buscando. Ah, donde HN, como les digo,
1:00:32es número armónico.
1:00:35Una duda, ¿no? Que los númer la suma de
1:00:38de los recíprocos es no convergente o
1:00:40no. Si fuera infinito. Sí, exactamente.
1:00:43Lo cual quiere decir que HN tiende a
1:00:45infinito cuando n tiende a infinito.
1:00:51Correcto.
1:00:53Sí, como que entonces un álbum como con
1:00:56300 láminas te demoráis, podéis tardarte
1:01:00muchísimo tiempo en llenarlo.
1:01:03Claro. Se, o sea, el número de láminas
1:01:05se multiplica por HN. Sí. Y
1:01:10efectivamente ah puede ser es es algo
1:01:13que los que están comprando láminas
1:01:15probablemente no lo no lo saben. Ah,
1:01:19sería una manera de introducirlos a la
1:01:21al análisis de algoritmo si les
1:01:23explicáramos lo que acabamos de ver.
1:01:27Okay, ya. Pero aquí tenemos nuestra
1:01:29solución. Ahora ustedes a lo mejor si
1:01:32pusieron atención en el curso de CC3001
1:01:35ya saben que de qué estamos hablando
1:01:38aquí. Pero si alguien
1:01:40no estuvo presente o se le olvidó o o lo
1:01:43que fuera, un problema interesante es
1:01:46ver cuál es el comportamiento
1:01:49de HN, ¿cierto?
1:01:52Ah,
1:01:56la pregunta es,
1:01:59¿cómo se comporta
1:02:06la función HN?
1:02:11Ya.
1:02:13Y eso me da la oportunidad para intentar
1:02:16por lo menos eh mostrarle un poquito de
1:02:20lo que uno hace con cálculo simbólico.
1:02:22¿Ya? Entonces vamos aquí.
1:02:26Aquí yo tengo una planilla en un Jupiter
1:02:29Notebook, pero con la opción de utilizar
1:02:33eh Sage en vez de Python. Ya, ahora se
1:02:39incluye Python, así es que no es tan
1:02:41distinto. Ah, entonces partimos el 100%
1:02:44display látex para que las fórmulas se
1:02:46vean bonitas. Látex.
1:02:52Ya. Eh,
1:02:55luego definamos eh la función eh de los
1:03:00números armónicos. Entonces decimos que
1:03:02vamos a usar dos variables N com K, que
1:03:06son variables formales,
1:03:13¿ya? Y definimos la función HN
1:03:20como eh return,
1:03:24la suma
1:03:26de 1/o por K.
1:03:32Eh, horca
1:03:35in range
1:03:38de 1, n + 1. Recuerden que el range en
1:03:42Python es abierto a la derecha. Okay, ya
1:03:48tenemos nuestra función H.
1:03:51Y ahora vamos a
1:03:54vamos a
1:03:57voy a hacer una un Ah, seas en Carvajal.
1:04:00Sí, perdón, no te había visto. Dime n
1:04:01más.
1:04:05Ah,
1:04:08no hay problema. Ya. Y ahora voy a a no
1:04:13puedo decir que que grafique la función
1:04:15HN porque va a pensar que es una función
1:04:17continua y la función HN está definida
1:04:18una oríola continua. Así que lo que voy
1:04:20a hacer es voy a darle un conjunto de
1:04:23pares ordenados eh K HDK para que lo
1:04:27grafique lo que llaman un scatter plot.
1:04:30Entonces voy a construir una lista
1:04:33en que es una lista, o sea, es así y que
1:04:37dentro de la lista tiene
1:04:40pares que son de la forma K HD hdk.
1:04:47Okay. Eh, for
1:04:53K en range, digamos, de uno a 100, por
1:04:58ejemplo, para tener una idea.
1:05:01Eso debería estar bien,
1:05:04¿eh? Okay.
1:05:08A ver, hagamos antes esto, eh,
1:05:12pongámoslo un poquito más. Pongamos 10
1:05:15no más para que no sea tan gigante. Ya.
1:05:18Y digamos el que me muestre la lista.
1:05:23Ahí tiene usted los primeros números
1:05:25armónicos. Ah, uno.
1:05:27Eh, profe, deberíamos estar viendo algo
1:05:29más aparte de la pizarra porque
1:05:31ah,
1:05:31al menos yo solo estoy viendo la
1:05:32pizarra.
1:05:34Eso es lo que alguien a lo mejor la mano
1:05:36levantada quería decir eso. Claro,
1:05:37ustedes deberían estar viendo otra cosa
1:05:39que es bueno que me lo dijeron, pero no
1:05:41es mucho lo que hemos avanzado. Así que
1:05:43ya vamos a hacer stop share
1:05:46y nos vamos a campear
1:05:48y vamos a ver mi otra
1:05:53desktop. Ahí sí
1:05:55deberían haber alegado mucho antes.
1:05:59Ahí está lo que yo escribí mientras les
1:06:00hablaba. Ya se ve como un Jupiter
1:06:03Notebook.
1:06:05Está el display látex. Aquí está la
1:06:06definición de la función hn. Aquí está
1:06:08la definición de la de la lista de
1:06:11pares. Y aquí están los pares. ¿Se
1:06:13fijan? Que los valores son 1 3/ 116 25
1:06:17etcétera. Esos son esos son los números
1:06:19armónicos. Okay, ya. Pero volviendo
1:06:23atrás,
1:06:25voy a quitar eso porque no quiero se vea
1:06:27porque voy a poner que son 100 y 100
1:06:29sería como un poquito mucho. Ya.
1:06:33Okay. Y ahora
1:06:37eh voy a decir que me lo grafique. Esos
1:06:40son scatter plot.
1:06:50Y así se ve la la función HN.
1:06:54Ya ustedes les recuerda alguna función
1:06:58conocida eso
1:07:02alguna que hayan visto antes por la
1:07:04forma.
1:07:10Al final es un logaritmo, ¿no?
1:07:12Se se ve logarítmica, ¿no es cierto? Y
1:07:14claro, de hecho, para para que la
1:07:15comparen, podríamos hacer un plot
1:07:19de log de X
1:07:26eh en el rango 0 a 100, perdón, de de 1
1:07:31a 100.
1:07:41Aquí está el logaritmo, ¿se fijan?
1:07:44Ahí está el HN, acá está el logaritmo,
1:07:47¿no? De hecho,
1:07:50lo que nosotros podríamos hacer es eh
1:07:56graficar las dos una sobre la otra.
1:08:01Entonces yo lo haría,
1:08:06vamos a hacer un plot,
1:08:11el log de X.
1:08:16e
1:08:19en el rango de uno a 100
1:08:24y a eso les
1:08:26tumo el scatter plot
1:08:30de la lista L y eso deberá ser, ¿no? A
1:08:33ver, vamos, crucemos los dedos. Ahí
1:08:36está. Fíjense,
1:08:39se parecen muchísimo y la distancia
1:08:42entre ambas da la impresión que fuera
1:08:44una constante, ¿no es cierto? Son como
1:08:47paralelas, como como van como a la misma
1:08:49distancia y efectivamente eso se puede
1:08:52demostrar que que es así. Entonces,
1:08:56hagamos un intento de de hacer un
1:08:58poquito matemática que que nos expliquen
1:09:00esto. Ah, entonces ahora tratando de no
1:09:03equivocarme,
1:09:04voy a volver. Esperamos
1:09:35si no hacemos
1:09:58Ahí estamos.
1:10:00No es tan rápido como yo querría, pero
1:10:03ya. Entonces
1:10:07vamos a estudiar.
1:10:14Lo que debemos ver es qué relación
1:10:17habría entre HN,
1:10:20que es la sumatoria
1:10:22de
1:10:251/ido por k para 1 menor o igual que K
1:10:28menor o igual que n
1:10:31versus
1:10:32eh una función f(x) que es
1:10:38eh
1:10:41a ver, No,
1:10:46a ver, eh,
1:10:53en realidad me interesa que la función
1:10:55sea 1 parti por x, pues después la voy a
1:10:56integrar. Ya, ya. Entonces, la idea es
1:10:58la siguiente. Mir, a ver. No, eso no
1:11:02estuvo muy bueno.
1:11:05Yaamos aquí.
1:11:09Okay. Entonces, vamos a poner aquí el 1
1:11:122 3
1:11:16N - 1,
1:11:20¿no es cierto? Entonces
1:11:23yo eh y aquí tengo mi función
1:11:291 fx
1:11:31igual 1/ por x.
1:11:34Y aquí entonces
1:11:44ya
1:11:49quiero eh ver si la integral bajo la
1:11:53curva continua de alguna manera aproxima
1:11:56a los números armónicos.
1:11:58Entonces, voy a hacer lo siguiente.
1:12:00Ustedes saben que un integral se puede
1:12:03aproximar por el método de los
1:12:04trapecios, ¿no es cierto? Entonces voy a
1:12:06poner aquí trapecios. Voy a conectar ese
1:12:09con ese, ese con ese, ese con ese. Todas
1:12:12estas líneas azules son trapecios. Okay.
1:12:15Entonces, aquí tengo el área trapecio.
1:12:17El área trapecio. Sí. ¿Ya?
1:12:20Entonces, eh
1:12:23lo que vamos a decir aquí es que
1:12:27la integral entre 1 y n de f(x) de x,
1:12:34¿ya? Que es el logaritmo
1:12:40de n, ¿no es cierto? La integral de f(x)
1:12:43dx se aproxima por la suma de las áreas
1:12:46de los trapecios. ¿Cuánto la área de un
1:12:48trapecio? ¿Se acuerdan? El área de un
1:12:50trapecio es la base por la semisuma de
1:12:52las alturas. La base es de ancho uno.
1:12:56Así que en realidad lo que tengo que
1:12:57hacer es tomar el promedio de las
1:12:58alturas.
1:13:00Entonces, la esta altura aquí
1:13:05es HD1, ese es HD2, perdón, eso es 1 par
1:13:09por 1. Eso es 1 par por 2, ya. 1 por 3.
1:13:141 por 4 1/ por n - 1, parido por n.
1:13:19Entonces
1:13:24va a ser
1:13:26el primer trapecio es de altura.
1:13:30F de1 + F2
1:13:33parido por 2 semisuma de las alturas.
1:13:35Ya,
1:13:37el segundo f2 + f3
1:13:43promediado, ¿ya? Y así sucesivamente
1:13:46hasta que el último es fn - 1 + f(n)
1:13:52partido por 2. Y si ustedes se fijan
1:13:55aquí, el
1:14:01aquí hay f2/, pero también hay f2/, así
1:14:04que f2. Ya, acá en el que ustedes no ven
1:14:08había un FN -1 medio y acá está el que
1:14:10le falta, se que es FDN. Y los únicos
1:14:12que no tienen a su compañero que le
1:14:15ayuda a completar el valor total el F1,
1:14:19que es solo F1 medio, le falta un F1
1:14:21medio para completarse y
1:14:25el FN medio, que le falta un FN medios
1:14:27para completarse, ¿no es cierto?
1:14:29Entonces, lo que yo puedo hacer es sumar
1:14:30y restar lo que falta. Sumo y resto lo
1:14:32que falta. Entonces,
1:14:35si yo sumo lo que le falta, se completa
1:14:40f1 + f2 hasta + fn,
1:14:46perdón,
1:14:53ya que es hn,
1:14:56pero tengo que restar lo que sumé y le
1:14:58resté, perdón, le sumé un f de 1 medios
1:15:02que faltaba.
1:15:04y le sumé un f de n - 1/2 que faltaba,
1:15:09¿no? Fn, perdón,
1:15:15un fn medio que faltaba. Ya. Y esto de
1:15:20aquí,
1:15:27esto de aquí es 1/o por 2n.
1:15:32Eh, no
1:15:34es 1 par por 2 no más
1:15:38y este de acá es 1/ido por 2n.
1:15:43Okay. Así es que el resultado de esto me
1:15:46dice que el logaritmo natural de n se
1:15:48aproxima
1:15:50como h de
1:15:53- 1/2
1:15:55- 1/ 2n.
1:15:59Okay. O sea, quizás sería mejor expresar
1:16:02el hn. El hn se aproxima por el
1:16:05logaritmo natural de n
1:16:08más 1/2
1:16:11+ 1/ 2n.
1:16:14¿Okay?
1:16:16Ahora, esto en realidad es una
1:16:18aproximación, pero las e
1:16:22los
1:16:24el 1 parti por x es una función cóncava,
1:16:27así es que los
1:16:30el techo de cada trapecio
1:16:34siempre va por encima, así que la suma
1:16:37del área de los trapecios es mayor o
1:16:39igual que el logaritmo.
1:16:41Pero aquí podría haber puesto
1:16:47mayor igual
1:16:50y por lo tanto,
1:16:54a ver, ¿estás bien eso?
1:16:58Claro. Y esto quedaría entonces aquí
1:17:01menor igual y esto quedaría como mayor o
1:17:03igual.
1:17:05Ya.
1:17:06Eh, se puede se puede demostrar una cota
1:17:10inferior también logarítmica si es que
1:17:13el HN se comporta
1:17:15exactamente de forma logarítmica.
1:17:17Y y aquí vamos a decir que se puede
1:17:23demostrar lo siguiente, no lo vamos a
1:17:24hacer aquí, pero se puede demostrar
1:17:25usando la aproximación de Oiler
1:17:27Mcflorin.
1:17:29puede demostrar que
1:17:35ya porque en en esta fórmula que tengo
1:17:37aquí antes,
1:17:40este tiende a cero cuando tiende a
1:17:42infinito, así que lo que importa es el 1
1:17:44medio. ¿Okay? Entonces eso me está
1:17:46diciendo que la estas dos curvas que
1:17:50veíamos que iban paralelas, ¿no es
1:17:52cierto?,
1:17:53a una cierta distancia que parece al ser
1:17:55constante. Eh, esa distancia constante
1:17:57sería cercana a un medio, ¿no? En
1:18:00realidad eh en realidad eh es un poquito
1:18:05más que un medio.
1:18:07Se puede mostrar lo siguiente, que hn
1:18:13es igual al logaritmo natural de n
1:18:16más una constante que se llama gama, que
1:18:20donde es la constante de masqueroni que
1:18:23es aproximadamente 0.5 5
1:18:277
1:18:297
1:18:3121 etcétera. Ya. Más términos del orden
1:18:36de 1 parido por n.
1:18:40Los términos del orden de 1 paro por n
1:18:42tienden a 0, pero la constante gama es
1:18:47una constante, por lo tanto no tiende a
1:18:48cero. Okay.
1:18:52Ya. Y para completar lo que les quería
1:18:55contar hoy día, yo les dije que HDN es
1:18:59una función discreta y por cierto es una
1:19:01función discreta, pero tiene un análogo
1:19:03continuo y el análogo continuo viene
1:19:07entonces el
1:19:10el análogo continuo
1:19:15de HN
1:19:18viene de lo siguiente.
1:19:21Existe una función que se llama la
1:19:22función gama, que se define
1:19:26de esta forma
1:19:36y que tiene la siguiente propiedad,
1:19:42que gama de z + 1
1:19:47es igual a z por gama de z.
1:19:51Ya. Y esa propiedad es análoga
1:19:58a que n factorial es igual a
1:20:03n* n - 1 factorial.
1:20:07¿Ya? Entonces, eh la función gama de Z
1:20:11eh es un análogo continuo
1:20:21del factorial.
1:20:28Bueno, ¿qué tiene que ver eso con la
1:20:30función armónica? Bueno, que se puede
1:20:33definir la función si de z
1:20:39como la derivada logarítmica de la gama.
1:20:42¿Qué quiere decir derivada logarítmica?
1:20:43que toma el logaritmo de la cama
1:20:47y lo deriva ya y se puede demostrar
1:20:52que, bueno, esto es otra es otra
1:20:57al derivad del logaritmo lo que uno toma
1:20:59es la derivada de la gama, la derivada
1:21:02de logaritmo que es un partido por gama
1:21:03por la derivada de lo de arriba, que es
1:21:05gama prima, ¿cierto?
1:21:08Así que otra forma de definir si de
1:21:10zomadido
1:21:12por la cama.
1:21:14Ya. Y se puede mostrar la siguiente
1:21:16propiedad,
1:21:21que si de z + 1
1:21:25es igual a 1/ z
1:21:29+ c de z,
1:21:33que es análoga
1:21:38a que hn es 1/ido por n.
1:21:43+ HN - 1.
1:21:47Entonces, la
1:21:49función sí
1:21:56eh tiene esta esta
1:22:00recurrencia
1:22:02similar a esta.
1:22:05La diferencia está en que esto se define
1:22:09para Z + 1 en vez de Z.
1:22:12Y esto es z en vez de z - n - 1 acá. Ah,
1:22:16y lo mismo acá. ¿Se fijan que esto esto
1:22:21es para z + 1 y no para n esto es para z
1:22:25y no para n - 1. Entonces,
1:22:27desafortunadamente, de hecho, las
1:22:30funciones continuas análogas a a estas
1:22:32funciones discretas están definidas
1:22:34corridas en uno. Ah, y eso hay que vivir
1:22:37con eso porque así están definidas. Ah,
1:22:39pero genera a menudo una cierta
1:22:42incomodidad y posibilidad de
1:22:45equivocarse. Ya. Entonces, eh en
1:22:48términos continuos, la función sí es la
1:22:50que juega el rol del del armónico. Hm.
1:22:53Eh, y hay una relación entre entre ambas
1:22:58que voy a dejar que ustedes la
1:22:59investiguen. Eh, entonces, bueno, sí, y
1:23:03con eso con eso creo que estamos listos
1:23:07con la materia que yo quería mostrarles
1:23:09hoy día.
1:23:11Y a partir de aquí les voy a dar una
1:23:14primera tarea que la voy a publicar más
1:23:15tarde hoy día, que es simple, o sea,
1:23:18todos de sacarse un siete en la primera
1:23:20tarea, ya, que es escribir lo que hemos
1:23:24hecho en esta clase, presentarlo
1:23:26ordenadamente en látex, bien escrito,
1:23:28bien argumentado, ¿ya? Y eh que pudiera
1:23:32ser entonces como un apunte del de la
1:23:34primera clase del curso y eh es ir un
1:23:37poquito más allá. Les voy a pedir que
1:23:39investiguen un poco más allá de la
1:23:41relación que hay entre la función sí y
1:23:43la función eh de los números armónicos,
1:23:46¿ya? eh para que hagan algo por cuanto
1:23:50de ustedes, pero básicamente
1:23:53pero eso si no lo hacen, falta la nada
1:23:56misma para tener el siete.
1:24:00Pero lo importante es que con esto
1:24:01ustedes
1:24:03se se habitúen a la forma como a tener
1:24:06que entregar las tareas, que aprendan a
1:24:07usar látex los que no saben, que se vean
1:24:10cómo instalar eh
1:24:14Sage y empezar a usarlo para hacer un
1:24:16poco esta
1:24:18esta
1:24:20los gráficos que hemos visto aquí. Ah,
1:24:23y eso. Ah, entonces todo lo que tiene
1:24:26que ver con esta clase se los voy a
1:24:27dejar publicado para para ayudarlos con
1:24:29para que sea una llu memoria y eso. Ah,
1:24:34y como les digo,
1:24:37no veo ninguna razón por la cual ustedes
1:24:39no deberían todos sacar un siete en esta
1:24:41tarea número uno. Okay. Y con eso
1:24:44estamos en la hora para terminar, a
1:24:45menos que haya una pregunta rápida para
1:24:47responder en un minuto o menos.
1:24:52Parece que no.
1:24:54Ya pues muy bien. Un agrado que hayan
1:24:57venido a la clase ya y
1:25:04nos veremos el viernes.
1:25:09Tengo que ver.